Các phương pháp tính tích phân

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
Ÿ Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì 
Ÿ Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :
 (?)
Lưu ý : không xác định tại nên I không tồn tại.
Thí dụ 1 : Tính (Đề ĐH Ngoại ngữ HN - 1999)
Giải :
Thí dụ 2 : Tính (Đề ĐH Ngoại thương HN - 1999)
Giải :
.
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ 3 : Tính 
Giải : 
2. Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì 
Thí dụ 4 : Tính (Đề Học viện KTQS - 1999)
Giải : Đặt Û Þ .
Đổi cận : Þ ; x = 4 Þ .
Do đó :
Thí dụ 5 : Tính (Đề Học viện BCVT - 1999)
Giải : Đặt t = -x Û x = -t Þ dx = -dt.
Đổi cận : x = -1 Þ t = 1 ; x = 1 Þ t = -1 ta có :
 Þ .
Chú ý : - Để tính không nhất thiết phải tìm nguyên hàm F(x) của f(x).
- Cách tích phân dạng với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên.
Thí dụ 6 : Tính
Giải : Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :
Suy ra : I = 0.
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ luôn bằng 0.
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :
 = ...
Thí dụ 7 : Tính 
Giải : Đổi biến số u = . Ta có : 
Mặt khác : dx = -du.
Do đó : I = .
Chú ý : Nếu gặp tích phân mà tính mãi không được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng.
Thí dụ 8 : Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :
Giải : Ta có (*)
Xét , đặt u = x - T Û x = u + T Þ dx = du.
Đổi cận : x = T Þ u = 0 ; x = a + T Þ u = a, do đó :
.
Thay vào (*) ta có đpcm.
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của hàm số tuần hoàn.
Thí dụ 9 : Tính 
Giải : Chứng minh dễ dàng hàm số y = là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là .Do đó :
3. Sử dụng công thức tích phân từng phần :
Ta có : 
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến :
Thí dụ 10 : Tính (Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
Giải : Đặt Û Þ dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 Þ t = 0 ; Þ t = p nên :
 = .
Thí dụ 11 : Tính I =
Giải : Xét . Đặt .
Theo công thức tích phân từng phần ta có :
với mọi n nguyên và n >1.
Ta có : .
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho n = 2;3;4;5.
Bài tập :
1. 
2. 
3. .dx
4. ;
5. ;
6. ;
7*. 
8. 
9.