Các phương pháp tìm nguyên hàm

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 1 
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 
Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ 
Loinguyen1310@gmail.com 
SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM 
Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép 
biến đổi đại số 
Bảng các nguyên hàm: 
Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số 
hợp 
Trường hợp thường gặp 
dx x C  
1
1
xx dx C




 
 
lndx x C
x
  
2
1dx C
xx
   
  Cedxe xx 
  Ca
adxa
x
x
ln
  Cxdxx sin.cos 
  Cxdxx cos.sin 
2
2
1 (1 tan ). tan
cos
dx x dx x C
x
    
 22
1 1 cot cot
sin
dx x dx x C
x
     
   Cedxe xx 
0dx C 
  Cudu 
1
1
uu du C




 
 
  Culnu
du 
2
du 1 C
u u
   
  Cedue uu 
  Caln
adua
u
u 
  Cusinuducos 
  Cucosudusin 
2cos
du tgu C
u
  
2 cotsin
du gu C
u
  
 x
1
n
n nxxdx C
n
 
 
   
1
1
1
ax b
ax b dx C
a





  
 
  Cbaxadxbax ln
1
)(
1 
   Ceadxe
baxbax )()( 1 
1
ln
mx n
mx n aa dx C
m a

   
1cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
   
1sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
    
 
 2
1 tan
cos
dx ax b C
aax b
  

 
 2
1 cot
sin
dx ax b C
aax b
   

TQ: 
1
f(ax + b)dx = F(ax + b) + C
a
Mở rộng: 
10. ln
sin 2
dx xtg
x
 +C 
11. ln (
cos 2 4
dx xtg
x

  +C 
14. 2 2
1 ln
2
dx x a
x a a x a


  +C 
15. 2 2
2 2
lndx x x a
x a
  

 +C 
16. 
  Caxx
aaxxdxax 22
2
2222 ln
22
17.
2 2
arcsindx x C
aa x
 

 
10. ln
sin 2
du utg
u
 +C 
11. ln (
cos 2 4
du utg
u

  +C 
14. 2 2
1 ln
2
du u a
u a a u a


  +C 
15. 2 2
2 2
lndu u u a
u a
  

 +C 
16. 2 2 2 2
2
uu a du u a   
2
2 2ln
2
a u u a   +C 
17.
2 2
arcsindu u C
aa u
 

 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 2 
18. 2 2
1dx xarctg C
a x a a
 
 
19.
2
2 2 2 2 arcsin
2 2
x a xa x dx a x C
a
     
18. 2 2
1du uarctg C
a u a a
 
 
19.
2
2 2 2 2 arcsin
2 2
u a ua u du a u C
a
     
Chứng minh một số công thức cơ bản : 
10. ln
sin 2
dx xtg
x
 +C 
11. ln tan
cos 2 4
dx x
x
   
 
+C 
 Chứng minh : 
10. Ta có : 
2 2sin cos sin cos1 1 2 2 2 2
sin 2sin cos 2sin cos 2cos 2sin
2 2 2 2 2 2
x x x x
x x x x x xx

    
sin cos (cos ) (sin )1 12 2 2 2
2 2cos sin cos sin
2 2 2 2
ln cos ln sin ln
2 2 2
x x x xd d
I dx dxx x x x
x x xC tg C
     
     
   
11. Ta có: cosx = sin(x+
2
 ) = 2sin( )cos( )
2 4 2 4
x x 
  kết quả 
14. 2 2
1 ln
2
dx x a
x a a x a


  +C 
Ta có : 2 2
1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1
( )( ) 2 ( )( ) 2
x a x a
x a x a x a a x a x a a x a x a
                  
Do đó : 1 ( ) ( ) 1 ln
2 2
d x a d x a x aI C
a x a x a a x a
           
15. 2 2
2 2
lndx x x a
x a
  

 +C 
Ta đặt : 
2
2
2 2
2
2
2
(1 )
ln ln
x x x at x x a dt dx dx
x a x a
x a dx dt dtdx dt I t C x x a C
t t tx a
  
        
   

           


16.
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x ax a dx x a x x a      +C 
Ta đặt: 
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
xdxduu x a
x a
dv dx v x
x dx x a a dxI x x a x x a
x a x a
   
  
  
 
      
 
 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 3 
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
ln
ln
2 2
dxx x a x a dx a
x a
x x a I a x x a
x aI x a x x a C
    

     
      
 
Ví dụ 1: (SGK – ban cơ bản T 101 và 102) Tìm các nguyên hàm: 
d.    Ce2
1dxeI 2x32x3 
XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:







01
0
)(
2 khixxx
khixe
xF
x
là một nguyên hàm của hàm số:






012
0)(
khixx
khixexf
x
 trên R. 
Giải: 
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau: 
- Với x  0, ta có: 






012
0
)('
khixx
khixe
xF
x
- Với x = 0, ta có: 
1lim
0
)0()(
lim)0('
11lim
0
)0()(
lim)0('
0
00
02
00


















x
ee
x
FxFF
x
exx
x
FxFF
x
xx
xx
Nhận xét rằng:      ’ 0 ’ 0 1 ’ 0 1F F F     , có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0. 
Tóm lại: )(
012
0
)(' xf
khixx
khixe
xF
x






 
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. 
Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ? 
a.   1 ln logn x x aF x x x cosx + sinx + tanx + cotx + e a x xx
       . 
b.   ln tan
2
xF x  c.   ln tan
2 4
xF x    
 
d.   2ln ( )F x x x a a R    e.    2 21 .ln2F x x x a a x x a C      . 
Giải: 
a.     1 2 2 2
1 1 1 1 1 1’ sin cos .ln
.lncos sin2
n x xF x f x nx x x e a a
x x ax x xx
            . 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 4 
b.    
2
2
'
2
xt an ' os 1 12 2’
x s inxtan tan 2cos tan
2 2 2 2
x
xc
F x f x
x x x
 
 
 
 
 
      
Nhận xét: 1 ln tan
sin 2
xdx C
x
  
c.    
xt an '
2 4 1 1’
x osxt an sin x+
2 4 2
F x f x
c

 
         
      
   
Nhận xét: 1 ln tan
s x 2 4
xdx C
co
    
 
d.    
 
/
2
2
2 2 2
1
1’
x
x x a x aF x f x
x x a x x a x a
     
    
Nhận xét: 2
2
1 lndx x x a C
x a
   

 
e.    
2
2 2
2 2
1’
2 x
x aF x f x x a x a
x a a
 
          
Nhận xét:  2 2 21 .ln2x adx x x a a x x a C       
Bài tập áp dụng. 
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số ( )
ln
xF x
x
 từ đó suy ra nguyên hàm: 
 I = 2
1 1( )
lnln
dx
xx
 
Bài 2: Cho hàm số ( ) 3f x x x  . Xác định a, b, c để    2 3F x ax bx c x    
là nguyên hàm của f(x). 
Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: 2 1(1 2 3 ... )nI x x nx dx     biết  0 0F  . 
Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số    sin 1 sinf x x x  biết rằng 1
4
F     
 
Bài 5: Tính đạo hàm của F(x) = 2ln 1x x C   từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: 
2
1( )
1
f x
x


Bài 6: Chứng minh rằng 
a. ( ) ln
2
xF x tg C  là nguyên hàm của hàm số: 1( ) ( )
sin
f x x k
x
  
b. ( ) ln ( )
2 4
xF x tg C   là nguyên hàm của hàm số: 1( ) ( )
cos 2
f x x k
x

   
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 5 
c. 2 21( ) [ ln( )]
2
F x x x a a x x a     là nguyên hàm của hàm số: f(x) = 2x a . 
Bài 7: Chứng minh rằng hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số   f ax b với a, b là hắng số a khác 
0 có nguyên hàm là:  1 F ax b C
a
  
Áp dụng tính các nguyên hàm sau. 
3
3
. sin 5 .
1. cos .
2 7
xa xdx b e dx
c dx d dx
x
 
 
Bài 8: Cho g(x) là một hàm số tuỳ ý. Cmr hàm số ( ) ln ( )F x g x C  là nguyên hàm của hàm số: 
'( )( )
( )
g xf x
g x
 . Áp dụng tính các nguyên hàm của các hàm số sau. 
2
2 cos. .
1 2sin5
. cot .
x xa dx b dx
xx
c gxdx d tgxdx
 
 
Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số   2 lng x x x từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: 
  2 lnf x x x 
Bài 10: Chứng minh:    2ln 0F x x x k k    là một nguyên hàm của  
2
1f x
x k


 trên các 
khoảng mà chúng cùng xác định. 
 Áp dụng: tính 
3
2
0 16
dxI
x


 
Bài 11: Tính đạo hàm.   2 1u x x x   . Suy ra nguyên hàm các hàm số sau : 
a.  
 
2
2
2
1
1
x x
f x
x
 


 b.  
2
1
1
h x
x


 c.  
 2 2
1
1 1
g x
x x x

  
. 
Bài 12: Tìm hàm số  f x biết rằng 
1.  ’ 2 1f x x  và  1 5 f  
HD:        ' 2 21 1 1 5 3 3 f x f x dx x x C f C C f x x x               
2.   2’ 2 –f x x và   72 
3
f  Đs:  
3
2 1
3
xf x x   
3.  ’ 4f x x x  và f(4) = 0 Đs:  
28 40
3 2 3
x x xf x    
4.   2
1’ 2f x x
x
   và f(1) = 2 Đs:  
2 1 32
2 2
xf x x
x
    
5.   2’ , '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2
bf x ax f f f
x
      Đs:  
2 1 5
2 2
xf x
x
   
TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT 
SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM 
Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm: 
a.    
2010
2009 2 32 3
4020
x
I x dx C

    
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 6 
b. 24sin 2 sin 2I xdx x x C    
c. 1 cos 4 1 sin 4
2 2 4
x xI dx x C      
 
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: 
a. 3 3
tan 1
cos 3cos
xI dx C
x x
   b. 
1 cos 4 1 sin 4
2 2 4
x xI dx x C      
 
Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau: 
a. 
2
x xe ey

 b. 
2 lg
2
xe xy  c. 3 3sin .cos 3 cos .sin 3y x x x x  
d. log lnay x x  e. sin .cos y mx nx (m, n là hằng số) 
Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau: 
a. 
33 3x x x my
x
  
 b. 
4 33 2x x x my
x
  
 c. 3
1 2ln my x
xx
   
d. 3( )py qx
x
  e. cos .cosy px qx (với m, n, p, q là các hằng số) 
TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC 
VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP) 
Cho hàm số  y f x xác định trên  ,a b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có 
1. Vi phân của hàm số  y f x kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx) 
2. Công thức tính: 'dy y dx hoặc    'df x f x dx 
Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số 
3. Vi phân của các hàm số thường gặp: 
1.   . d ax b a dx  
2.    2 2d ax bx c ax b dx    
3.    3 2 23 2d ax bx cx d ax bx c dx      
4.  cos sin . d x x dx  
5.  sin cosd x xdx 
6.    sin .cos .d ax b a ax b dx     
7.    cos sind ax b a ax b dx      
8.  x xd e e dx 
9.   ax b ax be ae dx  
10.   2
1tan
cos
d x dx
x
 
11.   2
1cot
sin
d x dx
x
 
12.   1
2
d x dx
x
 
13.  
2
ad ax b dx
ax b
 

14.   1lnd x dx
x
 
15. 
2 2
1 xd dx
x a x a
 
 
  
16.    1 1 m md x m x   
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (với a, b, c, m, n là các hằng số): 
1.  2007y mx n  2. 1y
mx n


 3. 4 3 2
1 2
2
xy
x x x


 
4. 2 3
2
( )
ax by
ax bx c


 
 5. ln
n xy
x
 6. 2008
cos sin
(sin cos )
x xy
x x



Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 7 ... ìm nguyên hàm: 
sin cos 2
dxI
x x

 
HD: Tương tự VD2 
Dạng 13: sin .cosm nI x xdx  
Trường hợp 1: 
 - Nếu m lẻ đặt cosxu  
 - Nếu n lẻ đặt sinxu  
 - Nếu m và n lẻ 
sin
cos
 Ha bâc nâng cung 
m n u x
m n u x
m n
  
   
  
Trường hợp 2: m và n chẵn  ; 0m n  dùng công thức hạ bậc nâng cung 
Trường hợp 3: m và n chẵn   ; 0m n  đặt tanu x 
Các trường hợp đặc biệt. 
+    sin , cos sin , cosR x x R x x   tức là R lẻ đối với sinx ta đặt cost x 
+    sin , cos sin , cosR x x R x x   ta đặt sint x 
+    sin , cos sin , cosR x x R x x   ta đặt tan .t x 
Trường hợp 4: (sin ;cos )R x x dx 
Phương pháp: Đặt 
2
2 2
2
2 1sin ; cos
1 1
2 2
1
t tx xx t tt tg
dtdx
t
 
     
 
 
Ví dụ : Tìm nguyên hàm: 
 



0
2
2 .sin2
2sin

dx
x
xI 
Giải: Ta có nhận xét rằng: 
     2 2 2
sin 2 2sin cos 2sin ( cos )(sin ,cos ) (sin , cos )
2 sin 2 sin 2 sin
x x x x xR x x R x x
x x x

      
  
Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi. 
Đặt: sint x , khi đó cos .dt xdx 
Đổi cận:
x 0 t 0
x t 1.
2

  

     

; 
Khi đó: 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 44 
 
 
   
   
00 0 0
2 2 2
1 1 1 1
2 2 1 2 22 2 2 2 2 ln 2 2ln 2 2.
2 22 2 2
ttdtI dt d t t
t tt t t   
                      
   
Bài tập tự giải: 
a. cos (1 sin )
2 sin
x xI dx
x


 b. 3sin .cos
dxI
x x
  c. 3 54 sin .cos
dxI
x x
   tant x 
d. 
2
3
cos
sin
xdxI
x
  e. sin 2 2sin
dxI
x x

 g. 
cos sin
1 sin 2
x xdxI
x


 
h. sin cos
2cos sin
x xdxI
x x


 i. 2
sin 2
1 sin
xdxI
x

 k. 2 4sin .cos
dxI
x x
  
Dạng 15: Tìm nguyên hàm: 


nxdxmxI cos.sin 
Cách làm: biến đổi tích sang tổng . 
Dạng 16: Tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng giác và các 
phép biến đổi lượng giác 
- Phép biến đổi tích thành tổng 
 a.    1cos .cos cos cos
2
x y x y x y      b.    
1sin .sin cos cos
2
x y x y x y      
 c.    1sin .cos sin sin
2
x y x y x y      d.    
1cos .sin sin sin
2
x y x y x y      
- Công thức nhân đôi 
 a. sin 2 2sin cosx x x 
 b. 2 2 2 2cos 2 1 2sin 2cos 1 cos sinx x x x x      
- Công thức hạ bậc 
 a. 2 1 cos 2sin
2
xx  b. 2 1 cos 2cos
2
xx  
 2 1 cos 2tan
1 cos 2
xx
x

 

 c. 3 3sin sin 3sin
4
x xx  d. 3 3cos cos3cos
4
x xx  
Chú ý: Một số công thức 
 a. 4 4 2 21 1 1 1 3sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
2 2 2 4 4
x x x x x       
 b. 6 6 23 3 5sin cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
x x x x     
 c. 22
1 1 tan
cos
x
x
  d. 22
1 1 cot
sin
x
x
  e. 2 2sin cos 1x x  
VD 1: Tìm nguyên hàm: sin 3 sin 4
cot 2
x xI dx
tgx g x

 
Giải: 
Ta biến đổi: 
sin cos 2 sin 2 sin cos 2 cos cos 1cot 2
cos sin 2 sin 2 cos sin 2 cos sin 2
x x x x x x xtgx g x
x x x x x x x

      
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 45 
 sin 4 sin 3 1sin 4 sin 3 sin 2 cos cos7 sin 2
cot 2 2
x x x x x x x x
tgx g x
   

 1 1 1sin 2 cos sin 2 cos7 sin 3 sin sin 9 sin 5
2 2 4
x x x x x x x x      
 1 1 1 1 1sin 3 sin sin 9 sin 5 cos3 cos cos9 cos5
4 12 4 36 20
I x x x x dx x x x x C           
VD2: Tìm nguyên hàm: cos sin cos
2 sin
x x xI dx
x


 
Giải: 
Ta biến đổi: cos sin cos cos (1 sin )
2 sin 2 sin
x x x x xI dx dx
x x
 
 
   
Đặt: sin cost x dt xdx   
1 2 1 ln 2 sin ln sin 2
2 2 2
t t dtI dt dt dt t t C x x C
t t t
  
            
      
VD 3: Tìm nguyên hàm: 3sin cos
dxI
x x
  
Giải: 
Ta biến đổi: 3 4sin cos tan cos
dx dxI
x x x x
   
Đặt: 2
1tan
cos
t x dt dx
x
   
2
2 21 1 1ln tan ln tan
2 2
t dtI dt tdt t t C x x C
t t

            
VD 3: Tìm nguyên hàm: 
3 84 tan cos
dxI
x x
  
Giải: 
Ta biến đổi: 
3 8 2 34 4tan cos cos tan
dx dxI
x x x x
   
Đặt : 2
1tan
cos
t x dt dx
x
   
3
44 4
3
4
4 4dtB t dt t C tgx C
t

        
Bài 6: Tìm các nguyên hàm: 
a. (ĐHAN 1997) 1 1 1cos3 .cos5 . sin 8 sin 2
2 8 2
I x x dx x x C     
 
b. (ĐHBKHN – 1999) 1 1 1 1sin .sin 2 .cos5 . sin 2 sin 4 sin8
4 2 4 8
I x x x dx x x x C      
 
Bài 7: (HVQHQT – 1997) Tìm nguyên hàm: 
  10 10 6 6 1 3sin cos sin cos 33 7sin 4 sin 864 8I x x x x dx x x x C
        
 
Bài 8: (HVQHQT – 1998) Tìm các nguyên hàm: 
a.  3 1sin .sin 3 . 3cos 2 3cos 4 6cos 1
8
I x x dx x x x C      
b.  3 3 3sin .cos3 cos .sin 3 cos 416I x x x x dx x C     
Bài 9: (ĐHNT TPHCM – 1999) Tìm các nguyên hàm: 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 46 
a. sin cos ln sin cos
sin cos
x xI dx x x C
x x

    
 
C1: đặt sin cosu x x  
C2:  sin cos
sin cos
d x x
I
x x

 
 
C3:   
 2
sin cos sin cos cos 2
1 sin 2sin cos
x x x x xI dx dx
xx x
 
 

  
b. cos 2 sin cos
sin cos
xI dx x x C
x x
   
 
Bài 10: Tìm các nguyên hàm: 
a. (ĐHSPHN П – 1999) 
3sin 1 sin 3 1ln
3sin 4 6sin 6 3sin 2 48 sin 3 1
x xI dx C
x x x x

   
   
b. (ĐHNTHN – 1997) sin 3 .sin 4 1 1 1 1cos cos3 cos5 cos9
tan cot 2 4 3 5 9
x xI dx x x x x C
x x
          
Bài 11: (ĐHNT TPHCM – 1997) Tìm nguyên hàm: 
cos sin .cos sin ln 2 sin
2 sin
x x xI dx x x C
x

    
 
Dạng 16: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến 
Bài 12: (ĐH TCKT HN – 1996) Tìm nguyên hàm: 
4
3 54
1 4 tan
sin .cos
I dx x C
x x
   
Bài 13: (ĐHHH – 1999) Tìm nguyên hàm: 
1 1 2 cos 1ln
sin 2 2sin 8 1 cos cos 1
xI dx C
x x x x
  
       
 
Bài 14: (HVQY – 1998) Tìm nguyên hàm: 
2 .cot ln sinsin
xI dx x x x C
x
     
Bài 15: Tìm nguyên hàm: 
2
3 2
cos cos ln tan
2sin 2sin
x x xI dx C
x x
     
Bài 16: (ĐHCĐ – 2001) Tìm nguyên hàm: 
2cot 2 cot 2
4 4
I x dx x x C             
   
Bài 17: (ĐHNTCS П – 2001) Tìm nguyên hàm: 
9
9 9
cot 1 sinln
91 sin 1 sin
x xI dx C
x x
  
  
Bài 19: (ĐHNT – 1997) Tìm nguyên hàm: 
sin 3 sin 4 1 1 1 1cos cos3 cos5 cos9
tan cot 2 4 12 20 36
x xI dx x x x x C
x x
      
 
Bài 20: (HVQHQT – 1997) Tìm nguyên hàm: 
  4 4 6 6 33 7 3sin cos sin cos sin 4 sin 8
64 64 512
I x x x x dx x x x C       
Bài 28: ( ĐHNT CSП – D 1998 ) Tìm các nguyên hàm: 
a. 3 1 3 3 1cos cos3 . sin 2 sin 4 sin 6
8 2 4 6
I x dx x x x x C       
 
b. 2 1 1 1cos cos 2 . sin 2 sin 4
4 4 16
I x dx x x x C     
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 47 
Bài 33: (ĐHNT CS П – 2000) Tìm các nguyên hàm: 
a. 5 316 20cos5 .tan . cos cos 5cos
5 3
I x x dx x x x C      
b. 34cos3 .tan . cos 3cos
3
I x x dx x x C     
Bài 35: (ĐHHĐ – A 2000) Tìm nguyên hàm: 3cos cos5 .I x x dx  
Bài 23: (ĐHTCKT – 1995) Tìm nguyên hàm: 
2 2 2 2
1 
2sin .cos
1cos sin 
khi b c
bx xI
b x c x khi b c
b c
  

  
   
 
 
Bài 26: (ĐHQG TPHCM – 1999) Tìm nguyên hàm: 
cos .cos
0 
khi p q
I px qxdx
khi p q
 
  

 
Bài 27: Tìm nguyên hàm: 1
1 sin cos
I dx
x x

  
HD: 
HD: 
Đặt 
2
2 2
2
2 1sin ; cos
1 1
2 2
1
t tx xx t tt tg
dtdx
t
 
     
 
 
 khi đó ln 1
1
dtI t C
t
   
 
Bài : Xác định A, B, C sao cho với mọi x ta có: 
 sin – cos 1 sin 2cos 3 (cos – 2sin )x x A x x B x x     . Từ đó tính: 
sin cos 1
3 sin 2cos
x xI dx
x x
 

  
Bài tập tổng hợp: 
Bài 1: (ĐHBKHN-99) Tìm nguyên hàm: . 2 . 5I sinx sin x cos xdx  
HD: 
   1 1sin .sin 2 .cos5 cos 2 cos 4 cos8 1 4sin 2 2sin 4 sin 8
4 32
x x xdx x x x dx x x x C         
PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ: 
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ 
đạo là tìm kiếm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số    f x g x dễ xác định hơn, từ đó suy 
ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x). Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến 
hành thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x). 
Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số  f x g(x) , tức là: 





')()()(
)()()(
CxBxGxF
CxAxGxF
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 48 
Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được:       .F x A x B x C     
Đối với phương pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ 
dàng hơn. 
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số:   sin
sin cos
xf x
x x


. 
Giải: 
Chọn hàm số phụ:   cos
sin cos
xg x
x x


. 
Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). 
Ta có:     sin cosf x g x
sin cos
x x
x x

 

Suy ra: 
  CxxxxF
CxxGxF
CxxxGxF
CxdxxGxF
xx
xxxgxf
Cxx
xx
xxddx
xx
xxxGxF





















cossinln
2
1)(
')()(
cossinln)()(
')()(
1
cossin
cossin)()(
cossinln
cossin
)cos(sin
cossin
cossin)()(
VD : Tìm nguyên hàm: cos
cos s inx
xI dx
x

 
Giải: 
Xét nguyên hàm: sin
cos sin
xJ dx
x x

 khi đó ta có: 
I + J = cos
sin cos
x dx
x x + 
sin
sin cos
x dx
x x = 1dx x c  
Mà: I – J = cos
sin cos
x dx
x x - 
sin
sin cos
x dx
x x = 2
cos sin ln sin cos
sin cos
x x dx x x c
x x

  
 
Vậy I = 1 1ln sin cos
2 2
x x x C   
Bài tập áp dụng. 
Bài 1: Tính các nguyên hàm sau. 
2 2
2
2
1. cos(ln ) 2. cos
3. cos 4. cos cos 2
cos5.
cos 2
x
ax
I x dx I e xdx
I e bxdx I x xdx
xI dx
x
 
 

 
 

Bài 2: Tính các tích phân sau : 
a. cos
cos s inx
xI dx
x

 và 
s inx
cos s inx
J dx
x

 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 
 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 49 
Ta có: 
1 ( ln cos s inx )
2
ln cos sinx 1 ( ln cos s inx )
2
I x x CI J x
I J x C J x x C
       
        

b. 
2os
os2
c xI dx
c x
  và 
2sin
os2
xJ dx
c x
  . ĐS 
1 1 sin 2 1ln
2 4 sin 2 1
1 1 sin 2 1ln
2 4 sin 2 1
xI x C
x
xJ x C
x
   
      

         
Bài 3: Tính các tích phân sau: 
a. sin
cos sin
xdxI
x x

 b. 
4
4 4
sin
cos sin
xdxI
x x

 c. 
x
x x
eI dx
e e

 
d. 2sin .cos2I x xdx  e. 2cos .sin 2I x xdx  f. 
x
x x
eI dx
e e

