Các phương pháp giải Phương trình - Bất phương trình - Hệ mũ - lôgarit

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 1 
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) 
Gửi tặng: www.Mathvn.com 
Bỉm sơn. 11.04.2011 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 2 
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ - LÔGARIT 
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ 
CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 
I. Phương pháp: 
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: 
Dạng 1: Phương trình    f x g xa a 
TH 1: Khi a là một hằng số thỏa mãn 0 1a  thì        f x g xa a f x g x   
TH 2: Khi a là một hàm của x thì    
   
1
0 1f x g x
a
aa a
f x g x

    
 
 hoặc 
     
0
1 0
a
a f x g x

      
Dạng 2: Phương trình: 
  
 
0 1, 0
log
f x
a
a b
a b
f x b
  
  

Đặc biệt: 
Khi 0, 0b b  thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm 
Khi 1b  ta viết    0 0 0f xb a a a f x     
Khi 1b  mà b có thể biếu diễn thành    f xc cb a a a f x c     
Chú ý: 
Trước khi biến đổi tương đương thì    àf x v g x phải có nghĩa 
II. Bài tập áp dụng: 
Loại 1: Cơ số là một hằng số 
Bài 1: Giải các phương trình sau 
a. 1 1 1
12 .4 . 16
8
x x x
x
 

 b. 
2 3 11 3
3
x x 
   
 
 c. 1 22 2 36x x   
Giải: 
a. PT 1 2 2 3 3 42 2 6 4 4 2x x x x x x x           
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 3 
b. 
2
2
3 1
( 3 1) 1 21 3 3 3 ( 3 1) 1 
3
x x
x x x x
 
            
 
2 13 2 0
2
x
x x
x

      
c. 1 2 2 8.2 22 2 36 2.2 36 36
4 4
x x x
x x x         
x x 49.2 36.4 2 16 2 4x       
Bài 2: Giải các phương trình 
a. 2 3 20,125.4
8
x
x

     
 
 b.  
2 1
7
18 0, 25 2
x
x
x

  c. 2 2 3 32 .5 2 .5x x x x   
Giải: 
Pt  
1
22 32
3
1 2. 2
8 2
x
x


 
     
 
5 5 5
3 2(2 3) 3 4 6 4 92 2 2 52 .2 2 2 2 2 2 4 9 6
2
x
x xx x x x x x

                 
 
b. Điều kiện 1x   
PT 
2 1 73 2 21 2
1
2 12 2 3 7 2 7 9 2 0 21 2
7
x x
x
x
x x x x
x x




          
 

c. Pt    2 32.5 2.5x x  
2 310 10 2 3 1x x x x x       
Bài 2: Giải phương trình:  
3log12 2
2
x
x x x     
 
Giải: 
Phương trình đã cho tương đương: 
33 loglog
3
2 0 22 0
111 log ln 0ln 01 222
222 0
xx
x xx
x xxx
xxx
     
                                    
3
2 2 2
log 0 1 1
21 1 3ln 0 1
2 2 2
2 22
x x x
x x x
x
x x x
x xx
   
                                       
       
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 4 
Bài 3: Giải các phương trình: 
a.    
3 1
1 310 3 10 3
x x
x x
 
    b.  
2
1 1
3 22 2 4
x
x x


 
 
  
Giải: 
a. Điều kiện: 
1
3
x
x


 
Vì 110 3
10 3
 

. 
PT    
3 1
2 21 3 3 110 3 10 3 9 1 5
1 3
x x
x x x x x x x
x x
 
               
 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 5x   
b. Điều kiện: 
0
1
x
x

 
PT    
 
 
2 3
2 22
2 131 12 12 2 4 2 .2 4
x
x xxx xx x

     
 
   
 
   
2 32
1 2 1 2 322 4 2
1 2 1
4 2 3 4 1 4 10 6 0 3 9
x
x x x x
x x x
x x x x x x x x
 
 
   

    
 
            
Vậy phương trình có nghiệm là 9x  
Loại 2: Khi cơ số là một hàm của x 
Bài 1: Giải phương trình    sin 2 3cos2 22 2 xx x x x      
Giải: 
Phương trình được biến đổi về dạng: 
  
2
2
2
1 2(*)
2 0
1 0(1)
2 1 sin 2 3 cos 0
sin 3 cos 2(2)
x
x x
x x
x x x x
x x
  
         
         
Giải (1) ta được 1,2
1 5
2
x  thoả mãn điều kiện (*) 
Giải (2): 1 3sin cos 1 sin 1 2 2 ,
2 2 3 3 2 6
x x x x x k x k k Z                  
 
Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 5 
1 11 2 2 1 2 0,
6 2 6 2 6
k k k k Z  
 
                  
   
khi đó ta nhận được 3 6
x  
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt 1,2 3
1 5 ;
2 6
x x   . 
Bài 2: Giải phương trình:    
22 43 5 2 23 6 9
x xx xx x x
  
    
Giải: 
Phương trình được biến đổi về dạng:      
2
2 243 5 2 2 2( 4)3 3 3
x xx x x xx x x
           
2 2 2
3 1 4
4
0 3 1 3 4
5
3 5 2 2 2 8 7 10 0
x x
x
x x
x
x x x x x x
   
                       
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = 4, x = 5. 
Bài tập tự giải có hướng dẫn: 
Bài 1: Giải các phương trình sau 
a. 
2 1
1 24.9 3.2
x
x

  b. 1 2 4 37.3 5 3 5x x x x      
c.  
4 3
745 4 327 3
x x
x x

 
 
  
 d.    
31 13 1 1x xx x    
HD: 
a. 
2 3
3 31
22
x
x

 
    
 
b. 
1
1 1 33 5 1 1
5
x
x x x

          
 
c. 10x  
BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 
I. Phương pháp: 
Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùng 1 cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có 
các dạng: 
Dạng 1: Phương trình: 
  
 
0 1, 0
log
f x
a
a b
a b
f x b
  
  

Dạng 2: Phương trình: (cơ số khác nhau và số mũ khác nhau) 
   ( ) ( ) ( )log log ( ) ( ).logf x g x f x f xa a aa b a b f x g x b     
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 6 
 hoặc ( ) ( )log log ( ).log ( ).f x g xb b ba b f x a g x   
Đặc biệt: (cơ số khác nhau và nhưng số mũ bằng nhau) 
Khi      
 
 
0
( ) 1 0
f x
f x f x a af x g x a b f x
b b
             
   
 (vì ( ) 0f xb  ) 
Chú ý: Phương pháp áp dụng khi phương trình có dạng tích – thương của các hàm mũ 
II. Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Giải các phương trình 
a. (ĐH KTQD – 1998) 
1
5 .8 500.
x
x x

 b. 
2
2 3
23 .4 18
x
x x

  
c. 
2 4 22 .5 1x x   d. 
2 2 32
2
x x  
Giải: 
a. Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng: 
1 1 33 3 2 385 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1
x x x
x x xx x
  
     
Lấy logarit cơ số 2 vế, ta được: 
   
3 3
3 3
2 2 2 2 2
3log 5 .2 0 log 5 log 2 0 3 .log 5 log 2 0
x x
x xx x xx
x
 
               
   
  2
2
3
13 log 5 0 1
log 5
x
x
xx

           

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
2
13;
log 5
x x   
Cách 2: PT 
33( 1) 3 1
3 2 3 35 .2 5 .2 5 2 5 2
xx x
x x xx x x
 

          
 
3
31
3
11
5
3 0 315 5.2 1
log 25.2 12
x
x
x x
xx
x x
x



                     
b. Ta có 
2 2
2 3 2 3
2 2
3 33 .4 18 log 3 .4 log 18
x x
x xx x
 
     
 
 2 23 3 34 6 3( 2)2 .log 2 2 log 2 4 .log 2 0x xx xx x
 
         
   2 3 2
3
2 0
2 2 3log 2 0 2
2 3log 2 0 ( )
x
x x x x
x x VN
 
       
  
c. PT 
2 4 2
2 2log 2 log 5 0 
x x    
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 7 
    2 2 24 2 log 5 0 2 2 log 5 0x x x x          
2 2
2 2
2 log 5 0 2 log 5
x x
x x
  
        
d. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được: 
2 2 2 2
2 2 2 2
3log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0
2
x x x x x x           
Ta có , 2 21 1 log 3 log 3 0      
suy ra phương trình có nghiệm x = 1 2log 3. 
Chú ý: 
Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hoá. 
Bài 2: Giải các phương trình 
a. 428 4.3
x
xx   b. 
1 1
2 12 24 3 3 2
xx x x    
c. 
9
14 )2cossin5
2(sin5,0log 
 xxx d. 1 2 3 15 5 5 3 3 3x x x x x x        
Giải: 
a. Điều kiện 2x   
PT  
3 2
42
2 2
3 12 3 2 (4 ) log 3 4 . log 3 0
2 2
x
xx x x x
x x

              
2 3
4 0
4
1 log 3 0 2 log 2
2
x
x
x
x
 
      
b. 
PT 
1 1 1
2 1 2 2 23 44 2 3 3 4 . 3 .
2 3
x x xx x x        
3 3
2 2 34 3 0 0
2
x x
x x
 
       
c. Điều kiện  2sin 5sin .cos 2 0 *x x x   
PT  1 2 242log sin 5sin .cos 2 log 3x x x     
 22 2log sin 5sin .cos 2 log 3x x x      thỏa mãn (*) 
 2
cos 0
sin 5sin .cos 2 3 cos 5sin cos 0
5sin cos 0
2 2
1tan tan
5
x
x x x x x x
x x
x k x k
x lx



 

          
     
    
d. PT 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 8 
5 5.5 25.5 3 27.3 3.3
531.5 31.3 1 0
3
x x x x x x
x
x x x
     
       
 
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 0x  
Bài 3: Giải các phương trình 
a. lg 21000xx x b.  2 4log 32 xx   
c.  
2
25 5log 5 1 log 77 x x  d. 13 .8 36
x
x x  
Giải: 
a. Điều kiện 0x  
 
  
22lg .lg lg1000 lg lg 2 lg 3 0
lg 1 0 1 /10
lg 1 lg 3 0 
lg 3 0 1000
x x x x x
x x
x x
x x
      
   
         
b. Điều kiện 0x  
PT        2 4log2 2 2 2 2 2log log 32 log 4 .log 5 log 1 . log 5 0 
xx x x x x        
2
2
2log 1
1log 5
32
xx
x x
    

c. Điều kiện 0x  
       
 
2
25 5log 5 1 log 7 2
5 5 25 5 5 5
52 2
5 5 5 5
5
log 7 log log 5 1 .log 7 log 7.log
1log 11 log 5 log 1 0 log 2 log 3 0 5
log 34 125
x x x x
x x
x x x x
x x
    
              
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
1
5
125
x
x
 


d. Điều kiện 1x   
     
 
1
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
3
3log 3 .8 log 36 2 2log 3 .log 3 2 2 log 3
1
.log 3 3 log 3 2 1 2 1 log 3
2
.log 3 1 log 3 2 2log 3 0
1 log 2
x
x x xx
x
x x x x
x
x x
x
       

      

          
Vậy phương trình có nghiệm là: 
3
2
1 log 2
x
x

   
Bài 4: Giải các phương trình sau : 
a. 
2 1 18 .5
8
x x   b. 1 43 . 9
27
x x
x
  c. 12.3
2
xx d. 22 .5 10x x  
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 9 
Giải: 
a. Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được 
2 21 1
8 8
1 18 .5 log 8 .5 log
8 8
x x x x    
 2 1 1 28 8 8 8log 8 log 5 log 8 1 log 5 1x x x x         
       2 8 81 1 log 5 0 1 1 1 log 5 0x x x x x        ... y nhất 1t  (bạn đọc tự cm) 
7x y   
TH 2: Với x y  thế vào (2) được phương trình  3log 6 1 3 3y y x       
Bài tập tự giải có hướng dẫn: 
Bài 1: (ĐHDB – 2007) Chứng minh rằng hệ 
2
2
2007 (1)
1
2007 (2)
1
x
x
y
e
y
x
e
x
 

 







 có đúng hai nghiệm 
0
0
x
y





HD: 
Từ 0; 0 1; 1x yx y e e     
Lấy (1) – (2)  (3):    f x f y , 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 174 
Với    
2
( 1)
1
t tf t e t f t
t
   

 đồng biến t >1  x = y 
   
2
2007 0 ” 0
1
x xg x e g x
x
      

kết hợp tính liên tục của hàm số  đpcm 
BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
I. Phương pháp: 
II. Bài tập áp dụng: 
Bài 1: (ĐHTN – 1997) Giải hệ phương trình 
  2 2
2 2
log log 1 (1)
1(2)
x ye e y x xy
x y
    

 
Giải: 
Điều kiện x; y 0 
Giải (1) ta có nhận xét sau: 
- Nếu 2 2log logx y x y   , khi đó: 
 
 
1
1
0
0
VT
VP



 (1) vô nghiệm 
- Nếu 2 2log logx y x y   , khi đó: 
 
 
1
1
0
0
VT
VP



 (1) vô nghiệm 
- Vậy x y là nghiệm của (1) 
Khi đó hệ có dạng: 2 2 2
1
1
1 2 1 2
2
x yx y x y
x y
xx y x
   
           
Vậy hệ có 1 cặp nghiệm 1 1;
2 2
 
 
 
. 
Bài 2: Giải hệ phương trình
 
 
2
2
log 1
log 1 1x y
x y x y
xy x y 
    

   
Giải: 
Điều kiện: 
0
0
1 0
1 0
0 2 1
x y
x y
xy
xy
x y
 
 
   
     
Từ phương trình thứ nhất của hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t x y 0   , ta được: 2log 1t t  
Đặt 2log 2
uu t t   khi đó phương trình có dạng: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 175 
2
2
log 00 1
2 1
1 log 1 2
Bernoulliu tu x yu
u t x y
   
         
+ Với x + y = 1 hệ có dạng: 
 3
1 1 1 0; 1
log 1 0 1 1 0 1; 0
x y x y x y x y
xy xy xy x y
         
     
         
+ Với x + y = 2 hệ có dạng: 
 4
2 2 2
log 1 1 1 4 3
x y x y x y
xy xy xy
      
   
      
Khi đó x; y là nghiệm của phương trình: 2 2 3 0t t   vô nghiệm 
Vậy hệ có 2 cặp nghiệm (0;1) và (1;0) 
Bài 3: Giải hệ phương trình: 
    2 23 3
2 2
2 2
log log . *
4
y x y x x xy y
x y
     


  
Giải: 
Điều kiện: x > 0 ; y > 0 . 
Ta có : 
2
2 2 23 0
2 4
yx xy y x y       
 
yx, >0 
Xét x > y 3 3
2 2
VT(*) 0
log log
VP(*) 0
x y

   

 (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. 
Xét x < y 3 3
2 2
VT(*) 0
log log
VP(*) 0
x y

   

 (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. 
Khi x = y hệ cho ta 
2 2
0 0
2 2 4x y


 
 x = y = 2 (do x, y > 0). 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất    ; 2; 2x y  
Bài tập tự giải có hướng dẫn: 
Bài 1: (ĐHDB - 2002) Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm 
 
3
32
2 2
1 3 0
1 1log log 1 1
2 3
x x k
x x
    


  

HD: 
Xét BPT ta có  322 2
1 1log log 1 1
2 3
x x   
- Giải xong được 1 2x   
- Xét BPT 31 3 0x x k    3( ) 1 3k f x x x     
- Xét 1 1x   ,  3( ) 1 3k f x x x    
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
2 2
2 3
2 2
2 3
log (1 3 1 tan 2 log (1 tan )
log (1 3 1 tan 2 log (1 tan )
x y
y x
     

    
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 176 
HD: 
Nếu một trong ba số x, y, z bằng 1 
Giả sử x = 1 thì – 1 lny y y 
Xét   –1 – lnf y y y y 
    ’ ln ; ’ 0 1f y y f y y     và  1 0f  
Nếu 0 1y  thì  ’ 0f y  suy ra   0f y  
Nếu 1y  thì  ’ 0f y  suy ra   0f y  
Vậy y = 1 là nghiệm duy nhất 
Bài tập tổng hợp tự giải: 
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 
a. 









zxzz
yzyy
xyxx
)6(log.62
)6(log.62
)6(log.62
3
2
3
2
3
2
 b. 
3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x
z
x x x y
y y y y z
z z z x
      

     
      
c. 2 3
2 3
log 1 3sin log (3cos )
log 1 3cos log (3sin )
x y
y x
  

 
 d. 
 
3 2 3
3
3 3 2
2 1log log 3
1 2y x
x x y y
x y x
y x
    

             
e. 
2
2 log
log log
4 3y
x y
x
xy x
y y
 

 
 f. 
 
   
2 2lg 1 3lg 2
lg lg lg3
x y
x y x y
   

   
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 
a. 
   3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y

 
    
 b. 
3 3log log
3 3
2 27
log log 1
y xx y
y x
  

 
c. 
   
   
log 3 5 log 3 5 4
log 3 5 .log 3 5 4
x y
x y
x y y x
x y y x
   

  
 d. 
   
   
2 4 4 2
4 2 2 4
log log log log
log log log log
x y
x x



e. 
     
   
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log log 2 1 log 3
log 1 log 4 2 2 4 log 1
x y x x y
xxy y y x
y
     


      

 f. 
    33 log 2log
2 2
4 2
3 3 12
xy xy
x y x y
  

   
Đs: a. (2;1) b. 
1
3 9
9 1
3
xx
y x
  
 
  

 e. (ĐHM – 1999) 
x
y





 với 0  tùy ý hoặc 
2
1
x
y



f. (1;3), (3;1) 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 177 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau 
a. 
   
   
2
1 2
1 2
2.log 2 2 log 2 1 6
log 5 log 4 1
x y
x y
xy x y x x
y x
 
 
        

   
 b. 
 
 





0lg.lglg
lglglg
2
222
yxyx
xyyx
c. 
 
2 2 2
7
log log 2 log 3
log 1
x y
x y
  

 
 d. 





1loglog
4
44
loglog 88
yx
yx xy
e. 
    





 3
81log2log
142
21 xy
yxyx
yx
 f. 






9loglog.5
8loglog.5
4
3
2
2
42
yx
yx
Đs: 
d.(TCKT – 2001) 
1
8 2
12
8
xx
y x
  
 
  

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau 
a. 
 
 




223log
223log
xy
yx
y
x b.  








1log
433.11
3 yx
x
xx y 
c. 







02
0loglog
2
1
23
3
2
3
yyx
yx
 d. 
 





8
5loglog2
xy
yx xy 
e. 
  





16
2loglog
33
22
yx
xyxyyx
 f. 
   





3lg4lg
lglg
34
43
yx
yx
Đs: 
a.    ; 5;5x y  d.      ; 4;2 , 2;4x y  
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau 
a.  



yyy
yx
x 813.122
3log
2
3 b. 







2log
4log
2
1
2
y
x
xy
c. 4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
 

  
 d. 3 3 3
log log 1 log 2
5
x y
x y
  

 
e. 
2 2
lg lg 1
29
x y
x y
 

 
 f. 
 
5
log 2
log 3
4
.
log 1
y
y
x
y x
y x x
y 

 

 
Bài 6: Giải các hệ phương trình sau 
a. 






2
log.2
loglog
43
xxy
yy
yx
xy
 b. 





2lglg
1
22 yx
xy
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 178 
c. 4 4 4
log log 1 log 9
20 0
x y
x y
  

  
 d. 
log log 2
3 2 3
x yy x
x y
 

   
Đs: d. 2x y  
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau 
a. log log
2 2 3
y x
x y
xy y 

 
 b. 
( 1) ln
( 1) ln
( 1) ln
x y y y
y z z z
z x x x
 

 
  
c. 
   
   
2 2
2 3
2 2
2 3
log 1 3 1 log 1 2
log 1 3 1 log 1 2
x y
y x
     


     

 d. 
2
4
2 2 1
1 6log (1)
2 2 (2)x x
x y
y y 
  

 
Đs: 
a. 2
3log
2
x y  
b. Nếu x  1 theo trên y, z  1 hệ đã cho 
ln
1
ln
( 1)
ln
( 1)
y yx
y
z zy
z
x xz
x

 

  




 hệ vô nghiệm 
d.      ; –1;1 4;32x y   
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau 
a. 






3
2)(log
2log2loglog
27
333
yx
yx
 b. 





16
3log2log
44
22
yx
yx
c. 






xy
yx
22
2
3
22
log8log
2logloglog5
 d. 





3
3)(log)(log 22
xy
yxyx
e. 








3
2loglog12log
2
3loglog3log
333
222
yyxx
xyyx
 f. 






6
7loglog
2)(log
4 yx
yx
x
x
g. 






5,0)213(log
7,1lg)1(log
2
3 xx
xx
 h. 






1lg3
3lg2
2 xy
xy
i. 





 3)23(log
2log
1 y
y
x
x k. 






2lglglg
1)(lg 2
xy
yx
 l. 






2222
2
)(lg
2
5lglg ayx
axy
Đs: 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 179 
a.      ; 3;6 , 6;3x y  b.  42 2; 8 c. 3 3
322 2;
2
 
 
 
d.   3 3 73;1 ;
7 3
 
   
 
 e.  1;2 f.  5;2 g. 3 5 9 29;
2 2
   
  
 
h.  10;4 i.  2;4 k.   10 2010;20 ;3 3
    
 
 l. 3 31 1; ;a a
a a
      
   
Bài 9: Giải các hệ bất phương trình sau 
a. 
2 2
2 2
3
2
log log 0
3 5 9 0
3
x x
x x x
  


   

 b. 
     
 
11 log 2 log 2 1 1 log 7.2 12
log 2 2
x x
x
x
x
      

 
c. 
 
 
11 lg 2 lg(2 1) lg(7.2 12)
log 2 2
x x
x
x
x
     

 
 d. 
2 2
1 1
1 1
log (1 2 ) log (1 2 ) 4
log (1 2 ) log (1 2 ) 2
x y
x y
y y x x
y x
 
 
      

   
e. 
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
    

  
Đs: d. 2 2;
5 5
  
 
 e. (0;0) 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGA CÓ CHỨA THAM SỐ 
Bài 1: Cho hệ 







0
0loglog
2
1
23
3
2
3
ayyx
yx
 (a là tham số) 
a. Giải hệ khi 2a  
b. Tìm a để hệ có nghiệm 
Đs: 0a  
Bài 2: Cho hệ 






4)(log).(log
4)(log)(log
bxaybyax
bxaybyax
yx
yx 
a. Giải hệ khi 3, 5a b  
b. Giải và biện luận khi 0, 0a b  
Bài 3: Cho hệ 






4)sincos(log).sincos(log
4)sincos(log)sincos(log


xyyx
xyyx
yx
yx 
a. Giải hệ khi 
4

  
b. Cho 0;
2

   
 
 biện luận hệ 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 180 
Bài 3: Xác định a để hệ có nghiệm 





1)(log)(log 22
22
yxyx
ayx
  0 1a  
Bài 4: Giải và biện luận hệ  
log (3 ) 2
log (3 ) 2
x
y
x ky
k R
y kx
 
  
LỜI KẾT: 
 Tôi hi vọng rằng tại liệu này sẽ có ích cho tất cả cac bạn học sinh, cũng như các bạn đồng nghiệp, 
tài liệu dài và có tham khảo thêm một số tài liệu nên không thể tránh được những sai sót, rất mong các 
bạn lượng thứ 
Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long 
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa 
“Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao chào thân ái” 
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com