Các đề tích phân tuyển chọn từ tạp chí

Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
CÁC ĐỀ TÍCH PHÂN TUYỂN CHỌN TỪ TẠP CHÍ: 
“TOÁN HỌC TUỔI TRẺ” 
Đề 1: ( Sách 2010) Tính diện tích của hình phẳng, giới hạn bởi hai đường có phương trình:
 2 3 2 0y x- + = và 2 3 2 0x y- + = . 
Gợi ý: 
2 2 2
1 1
2 13 2d d
3 9
xS x x x+= - - =ò ò (đ.v.d.t) 
Đề 2: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
2
0
1 sin d
1 cos
π
xxI e x
x
+æ ö= ç ÷+è øò 
Gợi ý: 
2
2
20
1 .tan d .tan 2
2 2cos 02
π
π
x x x
π
x xI e e x e ex
æ ö
ç ÷ æ ö= + = =ç ÷ ç ÷è øç ÷
è ø
ò 
Đề 3: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
( )
2
3
0
sin d
sin 3 cos
π
xI x
x x
=
+
ò 
Gợi ý: 
Ta có sin 3 cos 2sin
3
πx x xæ ö+ = +ç ÷è ø
Phân tích: 1 3sin sin cos
2 2 2 3
π πx x xæ ö æ ö= + - +ç ÷ ç ÷è ø è ø
 nên ta có : 
2 2
2 30 0
cos d
1 d 3 3 3 33
16 16 12 12 6sin sin
3 3
π π πx x
xI
π πx x
æ ö+ç ÷è ø= - = + =
æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷è ø è ø
ò ò 
Đề 4: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
1 3 3
4
1
3
dx xI x
x
-
= ò 
Gợi ý: 
1
1 3
2 3
1
3
1 11 . dI x
x x
æ ö= -ç ÷è øò . Đặt 2
1 1t
x
= - . Đáp số: 6I = . 
Đề 5: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
2
3
0
d
8
xI
x
=
+ò 
Gợi ý: 
( )2 2 2 2
3 2 2
0 0 0 0
2 2 dd 1 d 1 1 d 1 ln 2
12 2 24 4 128 2 4 2 4 12 3
x xx x x πI
xx x x x x
-
= = - + = +
++ - + - +ò ò ò ò 
Hoặc: Đặt 2 tanx t= 
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Đề 6: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
1
3 1
0
dxI e x+= ò 
Gợi ý: Đặt 3 1t x= + ta có 
2 1 2 d d
3 3
tx x t t-= Þ = . 
1: 2
0 : 1
x t
x t
= =
= =
. Khi đó 
2 2
1
2 2d ...
3 3
t eI te t= = =ò ( Tích phân từng phần) 
Đề 7: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
2
1
1 d
5
x xI x
x
-
=
-ò 
Gợi ý: Đặt 21 1 d 2 dt x x t x t t= - Þ = + Þ = 
2 : 1
1: 0
x t
x t
= =
= =
. Khi đó: 
1 4 2
2
0
2 2 32... 10ln 3
34
t tI
t
+
= = = -
-ò 
Đề 8: (Sách 2010) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi ba đường: 
2 4 3 0; 0; 0x y y x y- + - = = = . 
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) một vòng xung quanh trục hoành. 
Gợi ý: 
Giao điểm của các đường tại (0;0), (3;0), (0;1)O A B . 
Từ 2 4 3 0 2 1x y y y x- + - = Þ = - + . 
Do đó: ( )
3 2
0
52 1 d ...
6
πV π x x= - + = =ò (đ.v.t.t) 
Đề 9: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
( )
1 3
320
d
1
xI x
x
=
+
ò 
Gợi ý: Đặt tant α= 
Lúc đó: 
( ) ( )
( )
34 4 4
3
2 2 22 20 0 0
tan tan tan 1d d cos cos dcos
161 tan1 tan 1 tan
π π π
α α αI α α α α α
αα α
æ ö
ç ÷= = - = - + =ç ÷+ç ÷+ +è ø
ò ò ò 
Đề 10: ( Sách 2010) Tính tích phân: 
0
2
1
d
1
xI
x x-
=
+ +
ò 
Gợi ý: 
Đặt 2
2
d 2d1 
2 11
x tt x x x
tx x
= + + + Þ =
++ +
0 : 1
1: 0
x t
x t
= =
= - =
. Khi đó: 
1
0
2d ... ln 3
2 1
tI
t
= = =
+ò 
Đề 11: ( THTT 400) Tính tích phân: ( )
1 cos2
0
1 sin
ln d
1 cos
π
xx
I x
x
++
=
+ò 
Gợi ý: 
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 cos2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0
2 2
0 0
1 sin
ln cos ln 1 sin ln 1 sin ln 1 cos
1 cos
2
sin ln 1 cos ln 1 cos ln 1 sin
sin ln 1 cos ln 1 cos ln 1
π π π π
x
π π π
π π
x
I x x x x x x x x
x
πx t x t
I t t t t t t t
I x x x x x
++
= = + + + - +
+
= - Þ = -
= + + + - +
= + + + -
ò ò ò ò
ò ò ò
ò ò
d d d d (1)
§Æt d d
Suy ra: d d d
Hay d d ( )
( ) ( )
( )
( )
2
0
2 2
0 0
2
0
2
0
sin
cos ln 1 sin sin ln 1 cos
cos ln 1 sin ..
sin ln 1 cos ..
π
π π
J K
π
π
x x
I x x x x x x
J x x x
K x x x
+
= + + +
= + = -
= + =
ò
ò ò
ò
ò
 
d (2)
Céng (1) víi (2): 2 d d
* Víi d (tÝch ph©n tõng phÇn)..=2ln2 1
* Víi d (tÝch ph©n tõng p
I I
-
= - - Þ = -
hÇn)..=2ln2 1
Suy ra: 2 2ln2 1+2ln2 1 2ln2 1
Đề 12: ( THTT 401) Tính tích phân: ( )5
0
cos sin d
π
I x x x x= +ò 
Gợi ý: 
( )
( )
( )
5 5
0 0 0
2 4
0 0
0
2 4
0
cos sin cos sin
cos 1 2cos cos sin
* cos .. 2
* 1 2cos cos sin .
π π π
π π
J K
π
π
I x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
J x x x
K x x x x x
= + = +
= + - +
= = -
= - +
ò ò ò
ò ò
ò
ò
 
Ta cã: d d d
 d d
 TÝnh d (tÝch ph©n tõng phÇn)..=
 TÝnh d
 ( )
3 5
2 4 2cos cos1 2cos cos sin cos
3 5
u x u x
x xx x x x v v x
= Þ =ì
ï
í
- + = = - +ïî
d d
 §Æt 
d d chän 
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
8 .
15
8 2
15
πK
πI
=
= -
TÝnh.....ta ®­îc 
Suy ra: 
Đề 13: ( THTT 402) 
Cho hàm số ( ) .3xf x A B= + . Tìm các số ,A B sao / (0) 2f = và 
2
1
( ) 12f x x =ò d 
Gợi ý: 
/
/
2
21
2
( ) .3 .ln 3
( ) .3 .3( )
ln 3
2(0) 2 .ln 3 2
ln 3
6 1212( ) 12 12ln 3 ln 3
2
ln 3
1212
ln 3
x
x x
f x A
f x A B Af x x Bx C
f A A
A Bf x x B
A
B
ì =
ï= + Þ í
= + +ï
î
ìì = = =ì ïï ï ïÞ Þí í í
+ ==ï ï ï = -îî ïî
ì =ïï
í
ï = -
ïî
ò
ò
d
Ta cã: 
d
VËy
Đề 14: ( THTT 403) Tính tích phân: 2 2
0
sin d
π
xI e x x= ò 
Gợi ý: 
Tính tích phân từng phần 2 lần và phối hợp. 
Kết quả: 
2 1
8
πeI -= 
Đề 15: ( THTT 10-2010) Tính tích phân: 
8
3
ln d
1
xI x
x
=
+ò 
Gợi ý: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
23 3 3 3
2
2 2 2 2
1 1 2
ln 1
2 2 ln 1 2 ln 1 2 ln 1
t x t x t t x
t
I t t t t t t t t
t
= + Þ = + Û =
-
Þ = = - = - + +ò ò ò ò
§Æt d d
d d d d
TÝch ph©n tõng phÇn...
Đề 16: ( THTT 11-2010) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: 
2
2 4 ; 4
2
xy x y= - = + 
Gợi ý: 
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Đề 17: ( Đề 02- 2009) Tính tích phân: 
2
0
1 sin d
1 cos
π
xxI e x
x
+æ ö= ç ÷+è øò 
Gợi ý: 
Đáp số: 2
π
I e= 
Đề 18: ( Đề 03- 2009) Tính tích phân: 
( )
2
3
0
sin d
sin cos
π
xI x
x x
=
+
ò 
Gợi ý: 
Đáp số: 1
2
I = 
Đề 19: ( Đề 01- 2003) Tính tích phân: 
( )
24
4 2
4
sin d
cos tan 2 tan 5
π
π
xI x
x x x
-
=
- +
ò 
Gợi ý: 
Đáp số: 32 ln 2
8
πI = - - 
Đề 20: ( Đề 02- 2003) Tính tích phân: 
1 4
6
0
1 d
1
xI x
x
æ ö+
= ç ÷
+è ø
ò 
Gợi ý: 
Đáp số: 
3
πI = 
Đề 21: ( Đề 03- 2003) Tính tích phân: ( )
1
2
0
ln 1
d
1
x
I x
x
+
=
+ò 
Gợi ý: 
Đáp số: .ln 2
8
πI = 
Đề 22: ( Đề 04- 2003) Với *nÎ , tính: 
4
4
0
tan
π
n
nI x x= ò d 
Gợi ý: 
Xét hiệu 1.k kI I -- 
Suy ra: 1 1 1 1 1 1 1 1...
4 1 4 3 4 5 4 7 4 9 4 11 3 1 4n
πI
n n n n n n
= - + - + - + + - +
- - - - - -
Đề 23: ( Đề 05- 2011) Tính: 
( ) ( )
1
3
0
1
1 3
dI x
x x
=
+ +
ò 
Gợi ý: 
Biến đổi 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2
1 1 1 1
1 1 3 1 4 31 3 1 2 1x x x x x xx x x x
= = =
+ + + + + ++ + + + -
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Đề 24: ( Đề 03- 2004) Tìm 0x > sao cho: 
( )
2
2
0
1
2
d
x tt e t
t
=
+
ò 
Gợi ý: 
Đáp số: 2x = . 
Đề 25: ( Đề 03- 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tròn ( )2 22 1x y- + £ . Tính thể 
tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay hình tròn đó một vòng quanh trục Oy. 
Gợi ý: 
Đáp số: 24V π= . 
Đề 26: ( Đề 04- 2004) Giải phương trình: 
0
sin 2 . 1 02cos d
x
t t t+ =ò 
Gợi ý: 
Đáp số: x kπ= . 
Đề 27: ( Đề 05- 2004) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
2
4 2
1( )
3 1
xf x
x x
+
=
- +
Gợi ý: 
Đáp số: 1 1ln
2 1
uI C
u
-
= +
+
 với 1u x
x
= - . 
Đề 28: ( Đề 01- 2005) Tính: 
1
2 2
0
4 3 dI x x x= -ò 
Gợi ý: 
Đặt 3 2sinx t= . 
Đáp số 2 1
129 3
πI = + 
Đề 29: ( Đề 02- 2005) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )
2 2: ( )
3
x xC f x
x
- -
=
-
 và trục Ox. 
Gợi ý: 
Đáp số: 15 8ln 2
2
I = - . 
Đề 30: ( Đề 03- 2005) Tính: ( )
1
2 2
1
ln dI x a x x
-
= + +ò 
Gợi ý: 
Đặt x t= - . Sau khi thế vào, nhân lượng liên hợp. 
Đáp số 2lnI a= . 
Đề 31: ( Đề 04- 2005) Tính: 
( )
2
0
1 sin
1 cos
d
π
x
xI x
x e
-
=
+ò 
Gợi ý: 
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Biên đổi 
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2
0 0 0
1 sin 1 sin
1 cos 1 cos 1 cos
d d d
π π π
x x x
x xI x x x I I
x e x e x e
-
= = - = -
+ + +ò ò ò 
Đáp số 
2
1
π
I
e
= . 
Đề 32: ( Đề 01- 2006) Tính: 
1
2
0
4 5
3 2
d
xI x
x x
+
=
+ +ò 
Gợi ý: 
Đáp số 27ln .
4
I = 
Đề 33: ( Đề 02- 2006) Tính: 
1
3 1
0
dxI e x+= ò 
Gợi ý: 
Đáp số 
22
3
eI = . 
Đề 34: ( Đề 03- 2006) Tính: 
1 2
2
0
d
4
xI x
x
=
+
ò 
Gợi ý: 
Đáp số 5 1 52ln
2 2
I += - . 
Đề 35: ( Đề 04- 2006) Tính: 2
1
ln ln d
1 ln
e xI x x
x x
æ ö= +ç ÷+è øò
Gợi ý: 
Đáp số ( )3 1 22I e= - + + . 
Đề 36: ( Đề 05- 2006) Tính: 
32
4 2
0
cos d
cos 3cos 3
π
xI x
x x
=
- +ò 
Gợi ý: 
Đáp số ln 3I = . 
Đề 37: ( Đề 01- 2007) Cho 
22
0
sin d
2cos 3sin
π
xI x
x x
=
+ò và 
22
0
cos d
2cos 3sin
π
xJ x
x x
=
+ò . 
 a) Tính 9 4I J- và I J+ . 
 b) Từ đó suy ra kết quả của I và J . 
Gợi ý: 
Đặt tan
2
xt = . Ta tính được: 
9 4 1
1 13 1 13 3ln
13 13 1 13 3
I J
I J
- =ì
ï æ ö- -í + = -ç ÷ï + +è øî
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Đề 38: ( Đề 02- 2007) Tính: 
3
2
4
tan d
cos 1 cos
π
π
xI x
x x
=
+
ò 
Gợi ý: 
Đặt 2
2
tan2 tan
2 tan2
d
 d
cos
x xt x t
x x
= + Þ =
+
Đáp số: 
5
3
5 3.dI t= = -ò 
Đề 39: ( Đề 03- 2007) Tính tích phân: 
( )
1 3
320
d
1
xI x
x
=
+
ò 
Gợi ý: Đặt tant α= 
Lúc đó: 
( ) ( )
( )
34 4 4
3
2 2 22 20 0 0
tan tan tan 1d d cos cos dcos
161 tan1 tan 1 tan
π π π
α α αI α α α α α
αα α
æ ö
ç ÷= = - = - + =ç ÷+ç ÷+ +è ø
ò ò ò 
Đề 40: ( Đề 04- 2007) Tính tích phân: 
1
2
0
3 6 1dI x x x= - + +ò 
Gợi ý: 
Biến đổi: ( )
1
2
0
4 3 1 dI x x= - -ò . 
Đặt 21 sin , ;
2 23
π πx t t é ù- = Î -ê úë û
. Khi đó: ( )
02 2 11 2
23 3 3
cos d
π
πI t t= + = +ò 
Đề 41: ( Đề 01- 2008) Tính các tích phân sau: 
2 2
3
1 0 11
4
d sin2
 vµ d
cos
π
x xI J x
xx x
= =
++
ò ò 
Gợi ý: 
Đáp số: 1 3 2 2ln ; .
3 2 4
πI J
æ ö+
= =ç ÷
è ø
Đề 42: ( Đề 02- 2008) Tính tích phân: 
( )
1
3 31
4
1
3
d
x x
I x
x
-
= ò 
Gợi ý: 
Đáp số 6.I = 
Đề 43: ( Đề 03- 2008) Tính tích phân: 
1
2 2
3
4
2 tan d
cos
π x
π
e xI x x x
x x
é ù
ê úæ ö= + +ç ÷ê úè øê úë û
ò 
Gợi ý: 
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Đáp số 
4 12
39 .
4
π ππI e e= + - 
Đề 44: ( Đề 04- 2008) Tính tích phân: 
2
2 sin
0
2cos cos d
2
π
xxI x x e xæ ö= +ç ÷è øò 
Gợi ý: 
Đáp số 1
2
πI e e= - + . 
Đề 45: ( Đề 01- 2009) Tính tích phân: 
( )
2
3
0
sin d
sin 3 cos
π
xI x
x x
=
+
ò 
Gợi ý: 
Đáp số 3
6
I = . 
Đề 46: ( Đề 02- 2009 Tính tích phân: 
2
0
1 sin d
1 cos
π
xxI e x
x
+æ ö= ç ÷+è øò 
Gợi ý: 
2
2
20
1 .tan d .tan 2
2 2cos 02
π
π
x x x
π
x xI e e x e ex
æ ö
ç ÷ æ ö= + = =ç ÷ ç ÷è øç ÷
è ø
ò 
Đề 47: ( Đề 03- 2009 Tính tích phân: 
( )
2
3
0
sin d
sin cos
π
xI x
x x
=
+
ò 
Gợi ý: 
Đáp số 1
2
I = . 
Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền