Các đề thi đại học từ năm 2002 đến 2009 – phần hình học không gian

Hoàng Trọng Nam – Gv: THPT Mường Lầm Sông Mã, Sơn La. 
Chúc các em học tập tốt 1
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2009 – Phần hình học không gian. 
Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc , cho 2 đường thẳng : 
1 2
1
2
: ; : 2
2 3 4
1 2
x t
x y zd d y t
z t
= +
+ 
= = = +

= +
1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 
2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn MH có 
độ dài nhỏ nhất. 
Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 ) 
Bài 2 : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a 
1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B và B1D. 
2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD , A1D1 . 
 Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1N. 
Đáp số : 1) 1 1 6( , ) 6
ad A B B D = 2) Góc giữa MP và C1N bằng 900 
Bài 3 : D – 2002 : 
 1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp ( ABC ) , AC = AD = 4 cm , 
AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ). 
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x – 
y + z = 0 
và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là : 
( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0 
Xác định m để đường thẳng dm song song với mp ( P ) . 
Đáp số : 1) 6 34( , ( ))
17
d A DBC = 2) m = - 1 / 2 
Bài 4 : A – 2003 : 
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ ], ' ,B A C D . 
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật 
ABCD.A’B’C’D’ 
có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0. 
Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . 
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. 
b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau. 
Đáp số : 1) Số đo của góc phẳng nhị diện [ ], ' ,B A C D bằng 1200. 
Hoàng Trọng Nam – Gv: THPT Mường Lầm Sông Mã, Sơn La. 
Chúc các em học tập tốt 2
2) a) 
2
' 4BDA M
a bV = b) 1a
b
= 
Bài 5 : B – 2003 : 
1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc 
BAD bằng 600 . 
Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4 điểm B’ , 
M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là 
hình vuông. 
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho 2 điểm A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 
0 ; 8 ) và điểm C sao cho (0;6;0)AC =


 . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường 
thẳng OA. 
Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) 
= 5. 
Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng 
dk là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình : 
( ) : 3 2 0 ; ( ) : 1 0P x ky z Q kx y z+ − + = − + + = 
Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + 5 = 0. 
Đáp số : 1 vtcp của dk là 21 2, (3 1; 1; 1 3 ) 0, . 1u n n k k k k k = = − − − − − ≠ ∀ ⇒ = 
  

 
Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình chóp 
S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 
1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ; 2 2 ). 
Gọi M là trung điểm của cạnh SC. 
a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM. 
b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N. Tính thể tích khối chóp 
S.ABMN 
Đáp số : a) Góc giũa SA và BM bằng 300 . Khoảng cách giũa SA và BM bằng : 2 6 / 3 
b) 2ABMB SABM SAMNV V V= + = 
Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho điểm A ( - 4 
; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d :
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +

= −

= − +
. 
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳn 
d. 
Đáp số : 4 2 4' :
3 2 1
x y zd + + += =
−
Bài 9 :D – 2004 : 
Hoàng Trọng Nam – Gv: THPT Mường Lầm Sông Mã, Sơn La. 
Chúc các em học tập tốt 3
1)Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’. 
BiÕt A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0 
a)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng B’C vµ AC’ 
b)Cho a, b thay ®æi nh−ng lu«n tho¶ m9n a + b = 1. T×m a, b ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng 
th¼ng A’C vµ AC’ lín nhÊt 
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) vµ mÆt 
ph¼ng (P): x + y + z - 2 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©m 
thuéc mÆt ph¼ng (P) 
Đáp số : 1) a) 1 1 2 2( , )
abd B C AC
a b
=
+
 b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa 2 đt trên lớn nhất bằng 2 khi a = b = 2. 
2) Phương trình mặt cầu : 2 2 2( 1) ( 1) 1x y z− + + − = 
Bµi 10 - A 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®−êng th¼ng 
d: 
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
 vµ mÆt ph¼ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0. 
a.T×m to¹ ®é ®iÓm I thuéc d sao cho kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 2 
b.T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®−êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P). ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè 
cña ®−êng th¼ng ∆ n»m trong mÆt ph¼ng (P), biÕt ∆ ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d. 
 Đáp số : a) Có 2 điểm : I ( - 3 ; 5 ; 7 ) , I’ ( 3 ; - 7 ; 1 ) 
b) Phương trình tham số của : 1
4
x t
y
z t
=
∆ = −

= +
Bµi 11 - B 2005 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A1B1C1 
víi A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B1(4; 0; 4) 
a.T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A1, C1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m lµ A vµ tiÕp xóc víi mÆt 
ph¼ng (BCC1B1). 
b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña A1B1. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P) ®i qua hai ®iÓm A, M vµ 
song song víi BC1. mÆt ph¼ng (P) c¾t ®−êng th¼ng A1C1 t¹i ®iÓm N. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN. 
Đáp số : a) A1 ( 0 ; - 3 ; 4 ) , C1 ( 0 ; 3 ; 4 ) , Pt mặt cầu : 2 2 2 576( 3) 25x y z+ + + = 
b) Pt mp ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, Tọa độ điểm N ( 0 ; - 1 ; 4) => MN = 17
2
Bµi 12. D 2005 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®−êng th¼ng: d1: 
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
Hoàng Trọng Nam – Gv: THPT Mường Lầm Sông Mã, Sơn La. 
Chúc các em học tập tốt 4
vµ d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) : 2 0 ; ( ) : 3 12 0x y z x yα β+ − − = + − = 
a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 song song víi nhau. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa c¶ hai 
®−êng th¼ng d1 vµ d2 
b.MÆt ph¼ng to¹ ®é Oxz c¾t hai ®−êng th¼ng d1, d2 lÇn l−ît t¹i c¸c ®iÓm A, B. TÝnh diÖn tÝch 
∆OAB (O lµ gèc to¹ ®é) 
Đáp số : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0. 
b) Ta có A ( - 5 ; 0 ;– 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) => SOAB = 5 
Bµi 13- A 2006 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz. Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ víi 
A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1). Gọi M vµ N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ 
CD. 
a.TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng A’C vµ MN. 
b.ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa A’C vµ t¹o víi mÆt ph¼ng Oxy mét gãc α biÕt cosα=
1
6
Đáp số : a) 2( ' , )
4
d A C MN = 
b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 ( 2 2 2 0a b c+ + > ). 
Vì ( Q) chứa A’ và C nên : c + d = 0 và a + b + d = 0. => c = - d = a + b. 
Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0 
Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) . Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 
0 ; 1). 
Ta có : 
2 2 2
21 1
cos
26 6( )
a ba b
b aa b a b
α
= −+ 
= ⇔ = ⇔ 
= −+ + + 
Với a = -2b : Chọn b = -1 => a = 2 . ta có ptmp : 2x – y + z – 1 = 0 
 Với b = -2a : Chọn a = 1 => b = - 2 . ta có ptmp : x – 2y - z + 1 = 0 
Bµi 14- B 2006 :Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm A(0; 1; 2) vµ hai ®−êng 
th¼ng : d1: 
1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
 d2: 
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +

= − −

= +
a.ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A, ®ång thêi song song víi d1 vµ d2. 
b.T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng 
Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M ( 0 ; 1 ; - 1 ) , N ( 0 ; 1 ; 1 ) 
Bµi 15- D 2006 : Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(1; 2; 3) vµ hai ®−êng 
th¼ng 
 d1: 
2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−
 d2: 
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
a.T×m to¹ ®é ®iÓm A’ ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®−êng th¼ng d1 
b.ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ ®i qua A vu«ng gãc víi d1 vµ c¾t d2 
Hoàng Trọng Nam – Gv: THPT Mường Lầm Sông Mã, Sơn La. 
Chúc các em học tập tốt 5
Đáp số : a) A’ ( -1 ; - 1 ; 4 ) b) Pt chính tắc của 1 1 3:
1 3 5
x y z− − −∆ = =
− −
Bµi 16 - A 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®−êng th¼ng 
d1: 
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−
 vµ d2: 
1 2
1
3
x t
y t
z
= − +

= +

=
a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 chÐo nhau. 
b.ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P): 7x + y - 4z = 0 vµ c¾t hai 
®−êng th¼ng d1, d2 
Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho => M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 
3) 
 Phương trình chính tắc của d : 2 1 5 1 3
7 1 4 7 1 4
x y z x y zhay− + + + −= = = =
− −
Bµi 17- B 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho mÆt cÇu 
(S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 vµ mÆt ph¼ng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0 
a.ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa trôc Ox vµ c¾t (S) theo mét ®−êng trßn cã b¸n kÝnh 
b»ng 3. 
b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mÆt ph¼ng (P) lín 
nhÊt 
Đáp số : a) ( S) có tâm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ tròn có bk r = 3 
nên ( Q ) phải chứa tâm I của mc ( S). Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên mp ( Q) có vtpt là 
, (0; 1;2)n i OI = = − 
  


=> ( Q) : y – 2z = 0. 
Bµi 18 - D 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz 
cho hai ®iÓm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) vµ ®−êng th¼ng ∆: 1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
a.ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi 
mÆt ph¼ng (OAB). 
b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®−êng th¼ng ∆ sao cho MA2 + MB2 nhá nhÊt 
Đáp số : a) Ptđt d : 2 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
 b) M( - 1 ; 0 ; 4 ) 
Bµi 19 - A 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(2 ;5 ;3) vµ ®−êng th¼ng 
2
2
12
1
:)( −==− zyxd 
a) T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (d) 
b) Viªt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) chøa (d) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A tíi (α) lµ lín nhÊt. 
Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d => H ( 3 ; 1 ; 4 ) 
Hoàng Trọng Nam – Gv: THPT Mường Lầm Sông Mã, Sơn La. 
Chúc các em học tập tốt 6
b) Là mp đi qua H và vuông góc với AH => ptmp : x – 4y – z + 3 = 0. 
Bµi 20 - B 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) . 
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, B, C 
b) T×m to¹ ®é M thuéc mÆt ph¼ng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC. 
Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0. 
b) Gọi M( x ; y ; z ) thuộc ( P).Ta có hệ pt : 2 2 2
( ; ; ) ( ) (2;3; 7)M x y z P M
MA MB MC
∈
=> −
= =
Hoặc M thuộc đt v góc với mp ( ABC ) tại trung điểm I ( 0 ; - 1 ; 1 ) của BC. 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hpt : 
2 2 3 0
(2;3; 7)1 1
1 2 4
x y z
Mx y z
+ + − =

⇒ − + −
= = −
Bµi 21- D 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho 4 ®iÓm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; 
D(3 ;3 ;3) 
a) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D 
b) T×m to¹ ®é t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC 
Đáp số : a) Pt m cầu ( S) : 2 2 2 3 3 3 0x y z x y z+ + − − − = , tâm I ( 3 / 2 ; 3 / 2 ; 3 / 2 ) 
b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC => H ( 2 ; 2 ; 2 ) 
Bµi 22 – A 2009 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = 
a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh 
AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính 
thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
§¸p sè : V=3a3√15/5 
Bµi 23 – B 2009 : 
 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt 
phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông 
góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể 
tích khối tứ diện A’ABC theo a. 
§¸p sè V= 9a3/208 
Bµi 24 – D 2009 
 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, 
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM 
và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt 
phẳng (IBC). 
§¸p sè V = 4a3/9 
 d= 2a√5/5