Các đề thi đại học từ năm 2002 đến 2008 – phần hình học không gian

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2008 – Phần hình học không gian.
( Có đáp số )
Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc , cho 2 đường thẳng : 
1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2
2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d2 sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất.
Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 )
Bài 2 : B – 2002 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a
1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B và B1D.
2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD , A1D1 .
 Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1N.
Đáp số : 1) 2) Góc giữa MP và C1N bằng 900 
Bài 3 : D – 2002 :
 1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp ( ABC ) , AC = AD = 4 cm , 
AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x – y + z = 0 
và đường thẳng dm là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là :
( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0
Xác định m để đường thẳng dm song song với mp ( P ) .
Đáp số : 1) 2) m = - 1 / 2 
Bài 4 : A – 2003 : 
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện .
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ 
có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0. 
Gọi M là trung điểm cạnh CC’ .
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỷ số a / b để hai mp ( A’BD ) và ( MBD ) vuông góc với nhau. 
Đáp số : 1) Số đo của góc phẳng nhị diện bằng 1200.
2) a) b) 
Bài 5 : B – 2003 :
1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 600 .
Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4 điểm B’ , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho 2 điểm A ( 2 ; 0 ; 0 ) , B ( 0 ; 0 ; 8 ) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) = 5. 
Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng dk là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình : 
Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng ( R) : x – y – 2z + 5 = 0.
Đáp số : 1 vtcp của dk là 
Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ; ).
Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Đáp số : a) Góc giũa SA và BM bằng 300 . Khoảng cách giũa SA và BM bằng : 
b) 
Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho điểm A ( - 4 ; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d :. 
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳn d.
Đáp số : 
Bài 9 :D – 2004 : 
1)Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’. 
BiÕt A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0
a)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng B’C vµ AC’
b)Cho a, b thay ®æi nh­ng lu«n tho¶ m·n a + b = 1. T×m a, b ®Ó kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A’C vµ AC’ lín nhÊt
2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ba ®iÓm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) vµ mÆt ph¼ng (P): x + y + z - 2 = 0. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P)
Đáp số : 1) a) 
 b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa 2 đt trên lớn nhất bằng khi a = b = 2.
2) Phương trình mặt cầu : 
Bµi 10 - A 2005 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®­êng th¼ng 
d: vµ mÆt ph¼ng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a.T×m to¹ ®é ®iÓm I thuéc d sao cho kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 2
b.T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ®­êng th¼ng d vµ mÆt ph¼ng (P). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng D n»m trong mÆt ph¼ng (P), biÕt D ®i qua A vµ vu«ng gãc víi d.
 Đáp số : a) Có 2 điểm : I ( - 3 ; 5 ; 7 ) , I’ ( 3 ; - 7 ; 1 )
b) Phương trình tham số của 
Bµi 11 - B 2005 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A1B1C1 
víi A(0; -3; 0) , B(4; 0; 0) , C(0; 3; 0) , B1(4; 0; 4)
a.T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A1, C1. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m lµ A vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (BCC1B1).
b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña A1B1. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng P) ®i qua hai ®iÓm A, M vµ song song víi BC1. mÆt ph¼ng (P) c¾t ®­êng th¼ng A1C1 t¹i ®iÓm N. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN.
Đáp số : a) A1 ( 0 ; - 3 ; 4 ) , C1 ( 0 ; 3 ; 4 ) , Pt mặt cầu : 
b) Pt mp ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, Tọa độ điểm N ( 0 ; - 1 ; 4) => MN = 
Bµi 12. D 2005 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng: d1: 
vµ d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng 
a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 song song víi nhau. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) chøa c¶ hai ®­êng th¼ng d1 vµ d2
b.MÆt ph¼ng to¹ ®é Oxz c¾t hai ®­êng th¼ng d1, d2 lÇn l­ît t¹i c¸c ®iÓm A, B. TÝnh diÖn tÝch DOAB (O lµ gèc to¹ ®é)
Đáp số : a) Pt m p ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0.
b) Ta có A ( - 5 ; 0 ;– 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) => SOAB = 5 
Bµi 13- A 2006 
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz. Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’ víi 
A(0; 0; 0) , B(1; 0; 0), D(0; 1; 0) , A’(0; 0; 1). Gọi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD.
a.TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng A’C vµ MN.
b.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa A’C vµ t¹o víi mÆt ph¼ng Oxy mét gãc a biÕt cosa= 
Đáp số : a) 
b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 ( ).
Vì ( Q) chứa A’ và C nên : c + d = 0 và a + b + d = 0. => c = - d = a + b.
Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0 
Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) . Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 1).
Ta có : 
Với a = -2b : Chọn b = -1 => a = 2 . ta có ptmp : 2x – y + z – 1 = 0
 Với b = -2a : Chọn a = 1 => b = - 2 . ta có ptmp : x – 2y - z + 1 = 0
Bµi 14- B 2006 :Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho ®iÓm A(0; 1; 2) vµ hai ®­êng th¼ng :	d1: 	d2: 
a.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A, ®ång thêi song song víi d1 vµ d2.
b.T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M Î d1, N Î d2 sao cho ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng
Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M ( 0 ; 1 ; - 1 ) , N ( 0 ; 1 ; 1 )
Bµi 15- D 2006 : Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm A(1; 2; 3) vµ hai ®­êng th¼ng 
	d1: 	d2: 
a.T×m to¹ ®é ®iÓm A’ ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®­êng th¼ng d1
b.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng D ®i qua A vu«ng gãc víi d1 vµ c¾t d2
Đáp số : a) A’ ( -1 ; - 1 ; 4 ) b) Pt chính tắc của 
Bµi 16 - A 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng
d1: vµ d2: 
a.Chøng minh r»ng: d1 vµ d2 chÐo nhau.
b.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P): 7x + y - 4z = 0 vµ c¾t hai ®­êng th¼ng d1, d2
Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho => M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 3)
 Phương trình chính tắc của d : 
Bµi 17- B 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho mÆt cÇu 
(S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 vµ mÆt ph¼ng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a.ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa trôc Ox vµ c¾t (S) theo mét ®­êng trßn cã b¸n kÝnh b»ng 3.
b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mÆt cÇu (S) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mÆt ph¼ng (P) lín nhÊt
Đáp số : a) ( S) có tâm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ tròn có bk r = 3 nên ( Q ) phải chứa tâm I của mc ( S). Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên mp ( Q) có vtpt là 
=> ( Q) : y – 2z = 0. 
Bµi 18 - D 2007 Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz 
cho hai ®iÓm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) vµ ®­êng th¼ng D: 
a.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (OAB).
b.T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng D sao cho MA2 + MB2 nhá nhÊt
Đáp số : a) Ptđt d : b) M( - 1 ; 0 ; 4 )
Bµi 19 - A 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(2 ;5 ;3) vµ ®­êng th¼ng 
a) T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (d)
b) Viªt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (a) chøa (d) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A tíi (a) lµ lín nhÊt.
Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d => H ( 3 ; 1 ; 4 )
b) Là mp đi qua H và vuông góc với AH => ptmp : x – 4y – z + 3 = 0.
Bµi 20 - B 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) .
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ba ®iÓm A, B, C
b) T×m to¹ ®é M thuéc mÆt ph¼ng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC.
Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0.
b) Gọi M( x ; y ; z ) thuộc ( P).Ta có hệ pt : 
Hoặc M thuộc đt v góc với mp ( ABC ) tại trung điểm I ( 0 ; - 1 ; 1 ) của BC.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hpt : 
Bµi 21- D 2008 Trong kh«ng gian Oxyz cho 4 ®iÓm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3) 
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D
b) T×m to¹ ®é t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
Đáp số : a) Pt m cầu ( S) : , tâm I ( 3 / 2 ; 3 / 2 ; 3 / 2 )
b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC => H ( 2 ; 2 ; 2 )