Các dạng toán trong Khảo sát hàm số

 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Bài viết được chia làm 2 phần lớn: 
 Phần I : Sơ lược các bài tốn liên quan đến đồ thị hàm số. 
 Phần II : Hệ thống hĩa các dạng tốn thường gặp trong khảo sát hàm số. 
Phần I : SƠ LƯỢC CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1.BÀI TOÁN 1 : ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
CÓ MANG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
TÓM TẮT GIÁO KHOA 
Phương pháp chung: 
Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu giá trị tuyệt đối ta có thể thực hiện như sau: 
Bước 1: Xét dấu các biểu thức chứa biến bên trong dấu giá trị tuyệt đối . 
Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối 
 Phân tích hàm số đã cho thành các phần không có chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 ( Dạng hàm số cho bởi nhiều công thức) 
Bước 3: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại( Vẽ chung trên một hệ trục tọa độ) 
* Các kiến thức cơ bản thường sử dụng: 
1. Định nghĩa giá trị tuyệt đối : 



<−
≥
=
0A nếu 
0A nếu 
A
A
A 
2. Định lý cơ bản: 



±=
≥
⇔=
BA
B
BA
0
3. Một số tính chất về đồ thị: 
a) Đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành 
b) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng 
c) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 2
* Ba dạng cơ bản: 
Bài toán tổng quát: 
Từ đồ thị (C):y=f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 





=
=
=
)(:)(
)(:)(
)(:)(
3
2
1
xfyC
xfyC
xfyC
Dạng 1: Từ đồ thị )(:)()(:)( 1 xfyCxfyC =→= 
Cách giải 
 B1. Ta có : 



<−
≥
==
(2) 0f(x) nếu 
(1) 0f(x) nếu 
)(
)()(:)( 1
xf
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1) 
Minh họa 
Dạng 2: Từ đồ thị ))(:)()(:)( 2 xfyCxfyC =→= ( đây là hàm số chẵn) 
Cách giải 
B1. Ta có : 



<−
≥
==
(2) 0x nếu 
(1) 0x nếu 
)(
)())(:)( 2
xf
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy 
 ( do do tính chất hàm chẵn ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ đươcï (C2) 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 31 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 3
Minh họa: 
x 
 Dạng 3: Từ đồ thị )(:)()(:)( 3 xfyCxfyC =→= 
Cách giải 
 B1. Ta có : 








−=
=
≥
⇔=
(2) 
(1) 
)(
)(
0)(
)(:)( 3
xfy
xfy
xf
xfyC 
 B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau: 
• Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) ) 
• Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) ) 
• Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C3) 
 Minh họa: 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số : xxy 33 +−= (1) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
 xxya 3) 3 +−= b) xxy 33 +−= c) xxy 33 +−= 
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=abs(x^3)-abs(3*x)+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 32 +−= xxyC
y=x3-3x+2 
y=x3-3x+2 
y y
x
f(x)=x^3-3*x+2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y = x3-3x+2
y=x3-3x+2 
x
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=x^3-3*x+2
f(x)=-(x^3-3*x+2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
(C): y = x3-3x+2
23:)( 33 +−= xxyC
x
y
y=x3-3x+2 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 4
Bài 2: Cho hàm số : 
1
1
−
+
=
x
xy (1) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
 2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
1
1)
−
+
=
x
xya b) 
1
1
−
+
=
x
x
y c) 
1
1
−
+
=
x
xy d) 
1
1
−
+
=
x
x
y e) 
1
1
−
+
=
x
xy 
2.BÀI TOÁN 2 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 
 Bài toán tổng quát: 
 Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1
2
(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)
=

=
 (C1) và (C2) không có điểm chung (C1) và (C2) cắt nhau (C1) và (C2) tiếp xúc nhau 
 Phương pháp chung: 
 * Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: 
 f(x) = g(x) (1) 
 * Khảo sát nghiệm số của phương trình (1) . Số nghiệm của phương trình (1) 
 chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
 Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2). 
Chú ý 1 : 
 * (1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm điểm chung 
 * (1) có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung 
Chú ý 2 : 
 * Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). 
 Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0). 
x
y y y
x x
OOO
)( 1C
)( 2C
)( 1C
)( 2C
1x 2x
1M 2M2y
1y 0M
)( 2C
)( 1C
x
y
0y
0x O
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 5
Áp dụng: 
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 
1
12
+
−
=
x
xy và đường thẳng 13:)( −−= xyd 
Minh họa: 
` 
b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số : 
 Định lý : 
 (C1) tiếp xúc với (C1) ⇔ hệ : ' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=

=
có nghiệm 
Áp dụng: 
Ví dụ: Cho 13:)( 2 −−= xxyP và 
1
32
:)(
2
−
−+−
=
x
xxyC . Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau 
Minh họa: 
f(x)=(2*x-1)/(x+1)
f(x)=-3*x-1
x(t )=-1 , y(t )=t
f(x)=2
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
1
12
:)(
+
−
=
x
xyC
13:)( −−= xyd
M
O ∆
)( 1C
)( 2C
y
x
f(x)=x^2-3*x-1
f(x)=(-x^2+2*x-3)/(x-1)
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-5
5
10
15
x
y
)(C )(P
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 6
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho hàm số 2( 1)( )y x x mx m= − + + (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 
Bài 2: Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − − (C) 
 Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt 
 (C) tại ba điểm phân biệt. 
Bài 3: Cho hàm số 233 +−= xxy (C) 
 Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) 
 cắt (C) tại ba điểm phân biệt. 
Bài 4 : Cho hàm số 4 2 1y x mx m= − + − (1) 
 Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Bài 5: Cho hàm số 
2 2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
 (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt 
Bài 6: Cho hàm số 
1
12
+
−−
=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt 
Bài 7: Cho hàm số 
2 4 1
2
x x
y
x
+ +
=
+
Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt 
thuộc cùng một nhánh của đồ thị. 
Bài 8: Cho hàm số 
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
 (1) 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ 
 dương . 
Bài 9: Cho hàm số 
2 1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
 (1) 
 Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA OB⊥ . 
Bài 10: Tìm m để tiệm cận xiên của hàm số 
2 1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
 cắt các trục toạ độ tại hai điểm A,B sao cho 
 diện tích tam giác OAB bằng 8. 
Bài 11: Cho hàm số 
2 3
1
x
y
x
+
=
+
 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;
2
5
) sao cho (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm 
 phân A,B và M là trung điểm của AB. 
Bài 12: Cho hàm số )1(2
332
−
−+−
=
x
xxy (1) 
 Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1 
Bài 13: Cho hàm số 2( 1)( )y x x mx m= − + + (1) 
 Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường 
 hợp tìm được 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 7
Bài 14: Cho hàm số 
1
12
−
+−
=
x
xxy . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thị 
 hàm số 
Bài 15: Cho hàm số 
2
632
−
+−
=
x
xxy (C) 
 Tìm trên (C) tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm )1;
2
1(I 
Bài 16: Cho hàm số 
1
222
−
+−
=
x
xxy (C) và hai đường thẳng 3:)(&:)( 21 +=+−= xydmxyd 
 Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt (d1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua (d2) 
Bài 17: Cho hàm số 
x
xy 4+= (1) 
 Chứng minh rằng đường thẳng mxyd += 3:)( luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là 
 trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng 32:)( +=∆ xy 
3.BÀI TOÁN 3: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG 
 a. Dạng 1: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm 0 0 0M (x ;y ) (C)∈ 
 Phương pháp: 
 Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: 
 y - y0 = k ( x - x0 ) 
 Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm 
 y0: tung độ tiếp điểm và y0=f(x0) 
 k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0) 
Áp dụng: 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 333 +−= xxy tại điểm uốn của nó 
(C): y=f(x) 
0x
x
0y
y
0M ∆
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 8
`b. Dạng 2: 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước 
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau 
 Bước 1: Gọi 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : ' 0( )f x k= , từ đó suy ra 0 0( )y f x= =? 
 Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta sẽ được pttt cần tìm. 
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, 
tiếp tuyến vuông góc vơ ... 
 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng 
 cách từ đó đến trục tung . 
Bài 3: Cho hàm số 2 1
1
x
y
x
+
=
+
 Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất 
Bài 4: Cho hàm số 
2 2 2
1
x x
y
x
+ −
=
−
 Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là 
 nhỏ nhất 
Bài 5: Cho hàm số 
2 4 5
2
x x
y
x
+ +
=
+
 Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng y+3x+6=0 là 
 nhỏ nhất. 
Bài 6: Cho hàm số 4 22 3 2 1y x x x= − + + 
 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d):y=2x-1 là nhỏ 
 nhất. 
Bài 7: Cho hàm số 1
1
y x
x
= +
−
 (C) 
 Tìm hai điểm A,B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 14
Bài 8: Cho hàm số 
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
−
 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm 
5
(0; )
2
I 
Bài 9: Cho hàm số 
2
1
x
y
x
=
−
 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=x-1 
7. BÀI TOÁN 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ ĐỐI XỨNG 
Bài 1: Cho hàm số 
1
12
−
+−
=
x
xxy (C). Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên 
 làm tâm đối xứng. 
Bài 2: Cho hàm số 
2 2 22
1
x m x m
y
x
+ +
=
+
 (Cm) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc 
 toạ độ 
Bài 3: Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) 1y x mx m x m= − + − + − (Cm) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc 
 tọa độ 
Bài 4: Cho hàm số 
2 4 5
2
x mx m
y
x
− +
=
−
 (Cm) 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc 
 toạđộ 
Phần II : HỆ THỐNG HĨA CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG 
KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ) 
 - PTTT có dạng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0) 
 - Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 ⇒ y0 ⇒ f’(x0) 
 f’(x0) ⇒ x0 ⇒ y0 
 - Thế vào tìm (d) 
Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) đi qua điểm A(xA;yA) 
- Pt đường thẳng (d) đi qua điểm A và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA) 
- (d) tiếp xúc với ( C ) 
{




⇔
=
=
) thức đa hàmvới đối ( 
thức) phân hàmvới đối ( képnghiệm có (d) và ) C (
của chung điểm độ hoànhtrình phương
)x(g )x(f
)x('g )x('f 
 - Giải hệ tìm k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ (d) 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 15
Bài toán 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x) 
và các đường x = a , x = b 
B1 : Ta có S = dx.)x(g)x(f
b
a
∫ − 
B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ; 
đưa dấu GTTĐ ra khỏi dấu tích phân ) 
B3 : Tính 
* Chú ý : Kết quả là số dương 
 Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung 
độ điểm chung ) 
 Bài toán 4 : Tính diện tích hình tròn xoay 
Hinh phẳng :
x O trục quanh Quay
 b x
a x
có) phảic bắt buộ( 0y:Ox
)x(fy:)C(







=
=
=
=
Có thể tích là : V = ( )∫pi
b
a
2dx)x(f 
Hình phẳng :
( ) : ( )
: 0 ( bắt buộc phải có)
y a
y b
 quanh trục O y
C x f y
Oy x
Quay
=

=

=
 =
Có thể tích là : V = ( )∫pi
b
a
2dy)y(f 
* Bình phương hàm số f(x) rồi tính 
Bài toán 5 : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0 
B1 : Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = m ( hoặc f(x) = m + C ) (1) 
 với f(x) là đồ thị ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên 
B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C ) 
 Số nghiệm của (1) = số giao điểm của ( C ) và (d) 
B3 : Dựa vào đồ thị ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trị yCT , y CĐ trong BBT ) 
 * m < ? 
 * m = ? 
 * ? < m < ?? 
 * m = ?? 
 * m > ?? 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 16
* Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm các giá trị của m để phương trình có 4 
nghiệm phân biệt) 
Bài toán 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) 
B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại 
B2 : Biện luận 
*Nếu (1) là PT : ax + b = 0 
Biện luận 2 trường hợp : 
 a = 0 : ⇒ giá trị tham số m, thế vào PT, 
kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm 
 a≠ 0 : ⇒ giá trị m ⇒ 1 ngiệm ⇒ 1 giao 
điểm 
*Nếu (1) là PT : ax2 + bx + c = 0 
Biện luận 2 trường hợp : 
 a = 0 : ⇒ giá trị tham số m, thế vào PT, kết 
luận nghiệm ⇒ số giao điểm 
 a≠ 0 : ⇒ giá trị m ; tính ∆ ( hoặc ∆’) ; xét dấu 
∆ ( hoặc ∆’) ⇒ số giao điểm 
Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác định 
B1 : TXĐ 
B2 : Tính y’ 
B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R 



⇒<∆
⇒≤∆
⇔



≤≥
⇔
m tìm BPT giải 0 
m tìm BPT giải 0
lại còn hàmvới đối ) 0 y' hoặc( 0 y'
 ba bậc hàmvới đối ) 0 y' hoặc( 0'y
Bài toán 8 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) 
B2 : y’ 
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0) 
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’) 
Bài toán 9 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) 
B2 : y’ 
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0) 
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’) 
Bài toán 10 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ là x0 
B1 : TXĐ 
B2 : Tính y’ , y’’ 
B3 : Để đồ thị có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m 
B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = 0 . Nếu tại x0 đồ thị có điểm uốn thì nhận m 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 17
Bài toán 11 : Tìm m để đồ thị nhận điểm I(x0 ;y0) làm điểm uốn 
B1 : TXĐ 
B2 :y’ ; y’’ 
B3 : I(x0 ;y0) là điểm uốn 



=
=
⇔
00
0
y)x(y
0)x(''y
 Giải hệ tìm m 
Bài toán 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt 
(đối với Hàm bậc 3 ) 
 B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x0. 
B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x0)( Ax
2
 + Bx + C ) = 0 (1) 
 ⇔




=++
=−
(2) 0CBxAx
0xx
2
0
 B3 : ( Cm ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm pb 
 ⇔ (2) có 2 nghiệm khác x0 






>∆
≠
≠++
⇔
0
0A
0CBxAx 0
2
0
Bài toàn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị) 
 - TXĐ @ Tính :y’ 
 - Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb) 
 - Giải phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2) 
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) 
 Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) 
Bài toán 14 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 4 điểm phân biệt 
(đối với Hàm bậc 4) 
 - PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) . Đưa về PT trùng phương (1) 
 - Đặt t = x
2
 (t ≥ 0) . PT trở thành at2 + bt + c = 0 (2) 
 - ( Cm ) cắt đường thẳng d tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm pb 
 ⇔ (2) có 2 nghiệm dương pb 
 ⇔ 0 < t1< t2 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 18
 ⇔









>−=
>=
>∆
0
a
b
S
0
a
c
P
0
B4 : Giải hệ 3 BPT tìm m 
Bài toán 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với 
hàm phân thức) 
* Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax + 
B
cx+d 
* Để x, y là số nguyên thì 
B
cx+d phải là số nguyên ⇒ (cx + d) là ước của B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm 
M(x ; y) VD : 
1x
4
−
 là số nguyên ⇒ (x – 1) là ước của 4 ⇒ 










⇒⇒−=−
⇒⇒=−
⇒⇒−−−
⇒⇒=−
⇒⇒−=−
⇒⇒=−
yx41x
yx41x
yx21x
yx21x
yx11x
yx11x
Bài toán 16 :Tìm tập hợp điểm 
* Tìm toạ độ điểm M cần tìm










=⇒



=
=
=⇒



=
=
=⇒



=
=
0 y) F(x, : đường là M điểm các hợptập , m Khử 
)m(gy
)m(fx
M
c y thẳng đường là M điểm các hợpTập 
cy
)m(fx
M
c x thẳng đường là M điểm các hợpTập 
)m(fy
cx
M
Bài toán 17 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M(x0 ; y0) 
B1 : TXĐ 
B2 : y’ 
B3 : Để HS có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì : 0
0 0
'( ) 0
( )
y x
y x y
=

=
B4 : Giải hệ PT tìm m 
B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = 0 ⇒ x ; Vẽ BBT nếu tại M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m) 
 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
 Gv: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 19
Bài toán 18 : Xác định m để (Cm) luôn lồi ( hoặc lõm) :( đối với hàm trùng phương) 
* TXĐ 
* Tính :y’ ; y’’ 
* Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’≤ 0 , ∀x ( hoặc y’’≥ 0 , ∀x ) 
 ⇒ ∆ ≤ 0 ( hoặc ∆ ≥ 0) ; ∆ của y’’ 
* Giải bpt tìm m 
Bài toàn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị) 
* TXĐ 
* Tính :y’ 
* Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb) 
* Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2) 
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0) 
 Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) 
Bài toán 20 : Chứng minh rằng từ điểm M (a ; b) bất kỳ trên đồ thị (C) có tích các khoảng cách 
từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) : 
+ Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0 
+ Aùp dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) = 
22
MM
BA
Cy.Bx.A
+
++
tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận 
+ Tính tích : d1.d2 ( là 2 khoảng cách trên) 
+ Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số ) 
+ Thay vào tích : d1.d2 rút gọn thành hằng số 
 * Mở rộng bài toán : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận 
của (C) đạt giá trị lớn nhất : 
 + Làm như trên 
+ Thêm 1 bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho 2 số d1 và d2 : 1 2 1 2.2
d d
d d
+
≤ 
 Vì d1.d2 là hằng số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm nhất = 1 22 .d d