Các dạng toán tích phân, ứng dụng tích phân

Phần I nguyên hàm
A ) Các kiến thức cơ bản : 
Cho hàm số y=f(x) xác định trên và có đạo hàm trên đoạn đó ta có 
df=dx
dy=dx
Vi phân của hàm số y=f(x) kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx)
Công thức tính : hoặc ( 
Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số)
Vi phân của các hàm số thường gặp : 
d(ax+b) = a.dx d(ax3+bx2+cx+d) = (3ax2+2bx+c)dx
d(ax2+bx+c) = (2ax+b)dx d(sinx)=cosx.dx
d(cosx) =- sinx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx
d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx d(ex)=ex.dx 
(eax+b) = a.eax+b.dx d(tanx) = 
d(cotx) = d() = 
d() = d() = 
d() = d(xm+1) = (m+1)xm ( xdx = )
4) Nguyên hàm của hàm số y=f(x) kí hiệu là: F(x) hoặc .Đó là một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x).Vậy thì ()’ = f(x). Ta gọi F(x) + C là một họ nguên hàm của hàm số y=f(x)(Lấy nguyên hàm cộng với hằng số C)
5) Các công thức tính nguyên hàm:
 (với k là hằng số)
b) Các dạng bài tập :
Dạng1: Tính nguyên hàm của các hàm số đa thức (áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm)
 Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m là hằng số) 
 1. 2. 3.
 4. 5. 6. 
 Dạng2:Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit 
 Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m,n, p, q là các hằng số) 
 7. y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x
 10.y= cospx.cosqx 11. y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx
 13.y=cos22x 14.y= sin2(3x/2) 15. y= sin3x.cos3x+cos3x.sin3x
 16.y=logax + lnx 17. 18. 
Dạng3: Tính nguyên hàm của các hàm số bằng cách đưa một biểu thức vào dấu vi phân
 19.y=(mx+n)2007 20.y=3x 21. 
 22. 23. 24. 
 25.y=sinx.cospx 26. y=cosx.sinpx 27. 
 28. 29.y=cos5x 30.y=sin7x
 31.y=tan2x+ cot2x 32.y=tanx 33.y=cotx
 34.y= 35.y=cosx. 36.y=x. 
 37. 38.y=tan4x 39. y=tan5x
 40. y=(3x+5)10 41. 42. y=x2 
 43. y=sin2x.cos2007x 44. 45. 
 46. y=x2. 47.y=cot3x 48. 
 49. 50. 51. 
****************************************
Phần ii tích phân
A) Các kiến thức cơ bản : 
 1-Công thức newton – leipnitz ( Niutơn – laipnit )
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta có công thức = F(b) - F(a) Giải thích: Muốn tính tích phân của một hàm số ta đi tìm nguyên hàm của hàm số đó rồi thế cận 
 2-Tính chất: 
 2.1-Phép cộng: 
 2.2-Phép nhân với một hằng số khác 0: 
 2.3-Phép đảo cận tích phân: ; 
 2.4-Công thức tách cận tích phân: (Dựng để tớnh cỏc tiớch phõn cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối)
b) Các dạng bài tập :
Dạng1: áp dụng trực tiếp công thức Newton-Laipnit và các tính chất của tích phân
 Bài 1: Tính các tích phân sau:
 1) 2) 3) 
 4) 5) 6) 
 7) 8) 9) 
 10) 11) 12) 
 Bài 2: Tính các tích phân sau:
 13) 14) 15) 
 16) 17) 18) 
 19) 20) 21) 
 22) 23) 24) 
 Bài 3: Tính các tích phân sau bằng cách tách cận tích phân
 25) 26) 27) 
 28) 29) 30) 
 Dạng2: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
 * Công thức tính : 
 * Nhận dạng : Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích của 2 loại hàm số khác nhau
 * ý nghĩa : Phương pháp này nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân)
 * Chú ý: Ta cần chọn u và dv sao cho : du đơn giản , dễ tính được v , tích phân đơn giản hơn tích phân .
 Ta đưa ra cách chọn như sau:
 A, Gặp dạng: ( P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b) , cos(ax+b) 
 ea x+b , ax) . Thì ta đặt : u=P(x) và dv = cos(ax+b).dx ...
* Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc) 
 B, Gặp dạng: ( Trong đó f(x) là một trong các hàm số sin(lnx) , cos(lnx) ) . Thì ta đặt
 u = cos(lnx) ... và dv = xkdx
 C, Gặp dạng: (Trong đó P(x) là ea x+b, ax còn f(x) là sin(ax+b) , cos(ax+b) ) .Thì ta đặt 
 u=P(x) và dv = f(x).dx
 Chú ý: Trong dạng B và dạng C ta sẽ gặp tích phân luân hồi (sau khi tính hai lần lại trở về tích 
 phân ban đầu) 
 D, Gặp dạng: .Thì ta đặt u= lnnx và dv = P(x).dx ( Tính n lần)
 E, Gặp dạng: . Thì ta đặt u = và dv = dx 
Tính các tích phân sau:
 31) ( ) 32) ()
 33) () 34) ()
 35) () 36) ()
 37) () 38)() 
 39) () 40) ()
 41) () 42) ()
 43)1.44) 45) 1.46) 
 47) 1.48)) 49) 1.50) 
Dạng3: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
A - Đổi biến số cách 1: Để tính ta đặt t= g(x) ( g(x) chứa trong f(x).Tiếp theo biểu diễn f(x)dx theo t và dt.Ta thu được tích phân theo t ( Nhớ rằng đổi biến thì phải đổi cả cận )
 Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số
Dạng tích phân
Có thể chọn
Hàm có mẫu số
t là mẫu số
Hàm chứa 
t = 
Hàm có dạng
t =
 b - Đổi biến số cách 2: Để tính ta đặt x= g(t) rồi cũng làm như cách 1(cách này kết hợp với phương pháp lượng giác hoá tích phân hàm vô tỉ). 
 Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số
Dạng tích phân
Biến cần chọn
điều kiện của biến
Chứa 
x=asint
t
Chứa 
x=a/cost
Chứa 
x = atant
Chứa 
x = acos2t
Chứa 
x = a+(b - a)sin2t
Bài 4: Dùng phương pháp đổi biến cách 1 hãy tính các tích phân sau:
 51) 52) 53) 
 54) 55) 56) 
 57) 58) 59)
 60) 61) 62) 
 63) 64) 65) 
 66) 67) 68) 
 69) 70) 71) 
Bài 5: Dùng phương pháp đổi biến cách 2 hãy tính các tích phân sau:
 72) 73) 74) 
 75) 76) 77) 
 78) 79) 80) 
 81) 82) 83) 
C - Đổi biến số ở hàm lượng giác: Giả sử cần tính tích phân , với R là hàm vôtỉ ta có thể chọn các hướng sau:
Hướng1: Nếu R lẻ đối với sinx , R(- sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = cosx 
Hướng2: Nếu R lẻ đối với cosx , R(sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = sinx
Hướng3: Nếu R chẵn đối với sinx và cosx , R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx) thì đặt t = tanx (t = cotx)
Hướng4: Có thể đặt biến số t=tg(x/2) để đưa về tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
Bài 6: Tính các tích phân sau:
85)(t=sinx) 86) 87) (t= tanx)
88) (t=cosx) 89) 90) 
91) 92) 93) 
 Dạng4: Tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ 
êTa dựa vào đặc thù của hàm,dùng phương pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đưa nguyên hàm đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:
 1) 
 2) hoặc thì ta chia tử cho mẫu 
 3) thì ta xét 3 trường hợp
 TH1: Mẫu có 2 nghiệm x1 và x2 thì đưa về dạng TH2: Mẫu có nghiệm kép thì đưa về dạng 
 TH3: Mẫu vô nghiệm thì đưa về dạng rồi đặt x+q = a tant 
 4) 
 5) nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm như trên.Nếu ngược lại thì ta sử dụng đồng nhất thức.
êNgoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp đổi biến hay tính nguyên hàm từng phần 
Bài 7: Tính các tích phân sau:
 94) 95) 96) 97)
98) 99) 100) 101)
 102) 103) 104) 
 105) 106) 107) 
 108) 109) 110) 
 Dạng5: Tính tích phân nhờ tích phân phụ 
 Bài 8: Tính các tích phân sau:
 111) 112) 113) 
 114) 115) 116)
Dạng6:Một số loại tích phân đặc biệt 
 Khi gặp các loại sau cần chú ý tới cận và hàm số dưới dấu tích phân 
 Loại 1: Nếu hàm số f(x) liên tục và lẻ trên [-a; a] .Thì (Đặt x = - t)
 Loại 2: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên [-a; a] .Thì 
 Loại 3: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên R .Thì (với và a>0)
 Loại 4: Nếu hàm số f(x) liên tục và chẵn trên .Thì 
 Bài 9: Tính các tích phân sau:
 117) 118) 119) 
 120) 121) 122) 
 123) 124) 125)
 ********************************
 Phần iII ứng dụng của tích phân
 A-tính diện tích hình phẳng : 
 Loại 1 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y=f(x) ; y=g(x) và 2 đường thẳng 
x=a ; x=b(Biết 2 cận tích phân).Ta áp dụng công thức:(I) (trục hoành và trục tung có phương trình lần lượt là : y = 0 ; x = 0 
 126) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị,trục Ox và x=-2 ; x=4(vẽ hình) 
127) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=x-1và trục tung x=0(vẽ hình) 
 128)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ; ; ; 	
129) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị trục Ox,Oy và 
 130) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị trục Ox; x=1; x=2
 131) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ; trục Ox; x=-2 ; x=2 	 
 132) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ; trục Ox;trục Oy và x=1
 133) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị : xy=4 trục Ox; x=a; x = 3a(a>0)
 134) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị trục Ox;
 135) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ; trục Ox ; Loại 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x) và đường thẳng x = a (Biết 1 cận tích phân).Ta tìm cận còn lại rồi áp dụng công thức (I)	
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
 136) y = ex ; y= e-x ; x=1 137) ; y=0 ; x=1 138) ; y= 0 ; x=1 
 139) ;y = - x; x = 5 140) y = ex ; y= (x+1)5 ; x = 1
Loại 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x);y =h(x)(Chưa biết cận).Ta giải các phương trình f(x)=g(x);g(x)=h(x);f(x)=h(x) để tìm cận lấy tích phân(Ta nên vẽ cụ thể đồ thị 3 hàm số).Căn cứ đồ thị để tính diện tích từng phần rồi cộng lại.
 141) ; x+y-2=0, y = 0 142) ;;y = 4 143) ;y = 2- x; y= 0
 144) ;;y=1 145) x-2y+2=0 ; y=0 ; y2=2x
 146)y=x+3; 147) ; 148) ; 
 149) 150) ;;; 151); 
Loại 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y =f(x) ; y =g(x)(2 đường cong tự cắt,chưa biết cận).Ta giải phương trình f(x)=g(x) tìm cận rồi áp dụng công thức(I). 
152) ; 153) ) ; 154) ; 
155); 156) ;y=4 157) 
158) ;y=x-1 159) ; 160) y=x; 
 B-tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay một hình phẳng quanh trục ox hay oy : 
*Nếu hình D giới hạn bởi : y=f(x) ; y=0 ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta áp dụng công thức: 
*Nếu hình D giới hạn bởi : y=f(x) ; y=g(x)() ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta áp dụng công thức :
*Nếu hình D giới hạn bởi : x=g(y) ; x=0 ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta áp dụng công thức: 
*Nếu hình D giới hạn bởi : x=f(y) ; x=g(y)() ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta áp dụng công thức :
 Tìm thể tích của vật thể sinh ra khi quay miền D xung quanh trục Ox,Oy
 161) Cho miền D giới hạn bởi: y=sinx; y=0 ; x=0 ; .Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 
 162) Cho miền D giới hạn bởi: y=lnx ; x=1;x=2;y=0.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 
 163) Cho miền D giới hạn bởi: ; x=1;x=2;y=0.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 
 164) Cho miền D giới hạn bởi: ;y=2;y=4.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 
 165) Cho miền D giới hạn bởi: ; Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 
 166) Cho miền D giới hạn bởi: ;y=0;x=1 Tính SD . VD,Ox ; VD,Oy 
 167) Cho miền D giới hạn bởi: ;x=1;Ox;Oy.Tính VD,Ox 
 168) Cho miền D giới hạn bởi: ;y=0; Tính SD . VD,Ox 
 169) Cho miền D giới hạn bởi: ;y=- x;x=5.Tính SD và VD,Oy 
 170) Cho miền D giới hạn bởi: ;y=0;x=0; Tính SD . VD,Ox 
 171) Cho miền D giới hạn bởi: ;Ox;x=1.Tính SD và VD,Oy 
 172) Cho miền D giới hạn bởi y=lnx ; y=0;x=2 . Tính SD và VD khi D quay quanh Ox 
 173) Cho miền D giới hạn bởi:; ; y = 0.Tính VD,Ox ; VD,Oy 
 174) Cho miền D giới hạn bởi: ; y = 4. Tính VD,Ox ; VD,Oy 
 C – chứng minh đẳng thức bằng tích phân:
* Mô tả phương pháp : Dựa vào đặc thù của đẳng thức ta xét khai triển nhị thức Newton của một tổng nào đó.Tiếp theo ta lấy tích phân 2 vế của đẳng thức đã khai triển ,rồi “khéo léo” làm xuất hiện đẳng thức cần chứng minh..
* Hãy chứng minh các đẳng thức sau bằng tích phân: 
 175) 1+++++... + = (Khai triển (1+x)n )
 176) -+- +... + = (Khai triển (1- x)n )
 177) ++++... + = (Khai triển x2(1+x3)n) 
 178) 1- +- ++... + = (Khai triển (1+x)n )
 179) - +- +... + = 
 180) - +- ... + = 
 181) ++- ... + = 
 182) -+ - +...+ (-1)n-1 = 1+ + +...+ 
Tích phân:
1. Tính các tích phân cơ bản:
1/ I = 2/ I= 3/ I = 
4/ I = 5/ I = 6/ I= 
7/ I = 8/
2. Đổi biến số dạng 1.
1/ I = 	 2/ I = 	3/ I = 4/ I = 
5/ 6/ I = 7/ I= 8/ I = 
9/ I= 	10/I = 11/ I = 
3. Đổi biến số dạng II.
1/ I = 	 2/ I= 	3/ 	4/ 	 5/ 6/ I = 7/ I= 8/ I = 
9/ I = 10/ I = 11/ 	 12/ I= 13/ I = 14/ I = (2/3)
15/ I = 16/ I = 17/ I = 
18/ I = 19/ I = 20/ I=
21/ I= 22/ I= 23/
24/ I=(231/10) 25/ 26/
IV. Tích phân từng phần.
1/ I = 2/ I =	 3/ I=	 4/ I = 5/ I = 6/ I =	 7/ I = 8/ I =	 9/ I = 10/ I = 11/ I= 12/ I = 13/ I= (2) 14/ I =
15/ I= 16/ I= 17/ I=
18/ I= 19/ I= 20/ I=
21/ I= 22/ I= 23/ I=
24/ I= 25/ 26/ I=
27/ 28/ I = 29/ I= 
30/ I= 
V/ Tích phân các hàm chứa giá trị tuyệt đối:
1/ I = 	4/ I = 7/ I=
2/ I = 	5/ I = 8/ I=
3/ I = 	6/ I = 
Tích phân hàm số hửu tỷ
1/ I = 	 5/ I= 11/ I = 
2/ I = 	 6/ I = 12/ I=
3/ I = 	 7/ I = 13/ I = 
4/ I = 	 8/ I = 14/ I = 
9/ I = 	 10/I = 15/ I = 
16/ I = 17/ I = 	16/ I = 
II. Tích phân các hàm số vô tỷ.
1/ I =	 6/ I = 11/ I =
2/ I =	 7/ I = 12/ I =
3/ 	 8/ I = 13/ I=
4/ 	 9/ I =	 14/	 I = 
5/ I= 10/ I=	 15/ I=
Tích phân các hàm số lương giác
1/ I = 6/ I= 11/ I = 
2/ I = 	 7/ I = 12/ 
3/ I = 	 8/ I = (2ln2-1) 13/ I = 
4/ I = 	 9/ I = 14/ I = 
5/ I=	 10/ I = 15/ I= 
16/ I = 17/ I= 18/ I = 
19/ I = 20/ I = 21/ I=
22/ I= 23/ I= 24/ I=
25/ I= 26/ I= 27/ I= 
28/ I= 29/ I= 30/ I= 31/ I= 
32/ I= (34/27) 33/ I= () 
34/ I=(ln2- 3/8) 35/ I= 36/ I=
37/ I= 38/ I=( Đặt )
39/ I= 40/ I= 41/ I=
42/ I=	 43/ I=b 44/ I= 
45/ I= 46/ I= 47/ I= 
Tích phân hàm số mũ và logarit
1/ I= 	 9/ 17/ I= 
2/ I = 	 10/ I = 18/ I= 
3/ I = 11/ I= 	 19/ I= 
4/ I = 	 12/ I= 20/ I= 
5/ I= 	13/ I = 21/ I= 	 
6/ I = 	14/ I = 	 22/ I= 	
7/ I = 15/ I= 23/ I= 
8/ I = 16/ I= 24/ I= 
 25/ I= (116/135) 26/ 27/ I=
 28/ I= 	 	 
Tích phân các hàm số đặc biệt
1/ I= 2/ I= 3/ I= 4/ I= 
5/ I= 6/ I= 7/ I= 
8/. I= 9/ I= 10/ I= 
11/ 12/ 13/
14/ I= 15/ I=