Các dạng Toán Hình ôn thi tốt nghiệp

CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011
Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.
1. Kiến thức cần nhớ: 
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mp(P) nếu giá của vuông góc với (P), viết tắt là .
Nếu hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là: .
Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với 
Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm có vectơ pháp tuyến có dạng: .
Cần nhớ: 
Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: 
 2. Các dạng toán.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm và vuông góc với đường thẳng d. 
Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d: 
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng 
d: 
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
 Bài giải
Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi I là trung điểm của AB
Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Kiến thức không được quên
- Trục Ox có VTCP là .
- Trục Oy có VTCP là .
- Trục Oz có VTCP là .
- Mp (Oxy) có VTPT: .
- Mp (Oxz) có VTPT: .
- Mp (Oyz) có VTPT: 
Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
 .
Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C 
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). 
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
 Với 
Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN).
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
 Với 
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm và song song 
với mp(Q) 
Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với 
mp(Q): 2x+2y+z=0.
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
 Với 
Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).
 Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và 
vuông góc với mp(Q) 
Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp
(Q): 2x-y+3z-1=0
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: 
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1).
Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: 
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là =(-2;1;0)
Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)
Bài giải
Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).
Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: 
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là =(0;1;-1)
Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng.
1. Kiến thức cần nhớ: 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song với đt hoặc trùng với đt.
Đường thẳng d qua điểm có vectơ chỉ phương :
Có pt tham số: .
Có phương trình chính tắc: 
Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm: 
2. Các dạng toán.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B.
Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ .
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).
 Bài giải
Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3).
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: =(1;-1;1).
Pt tham số của AB là: .
Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OG.
 Bài giải
Ta có G(2;3;4)
Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0).
Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: =(2;3;4).
Pt tham số của OG là: .
Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là 
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;-2;-1).
Pt tham số của d là: .
Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP.
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC).
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;1;1).
Pt tham số của d là: .
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(0;0;1).
Pt tham số của d là: .
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz).
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(0;1;0).
Pt tham số của d là: .
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz).
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;0;0).
Pt tham số của d là: .
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: 
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;-3;4).
Pt tham số của d là: .
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: 
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;-3;4).
Pt tham số của d là: .
Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC.
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;-3;4).
Pt tham số của d là: .
Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox.
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;0;0).
Pt tham số của d là: .
Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy.
Bài giải
Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: .
Pt tham số của d là: .
Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz.
Bài giải
 - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là
Phương trình các trục tọa độ 
Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là có pt tham số là: .
Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là có pt tham số là: .
Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là có pt tham số là: .
Phương trình các mặt phẳng tọa độ.
Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT: có pt: z=0.
Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT: có pt: y=0.
Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT: có pt: x=0.
Kiến thức không được quên:
Pt mp(Oxy) là: z=0
Pt mp(Oxz) là: y=0
Pt mp(Oyz) là: x=0
Vấn đề 2: Các dạng toán khác.
Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P):x+y-2z-4=0.
 Bài giải.
Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0
Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số.
 Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P):x+y-2z-4=0.
 Bài giải.
Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .
Phương trình tham số của d là: 
Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(P).
Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0
Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước.
Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P).
 Bài giải
Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1).
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: =(1;-3;2).
Pt tham số của AB là: .
Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P).
Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Xét pt: 2t+2-3t+3(1+2t)=0
Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0). B(0;1;0), C(0;0;1). Xác định hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Hướng dẫn: 
- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC.
- Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC.
- Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: 
Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau 
Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: và d’: vuông góc với nhau
 Bài giải
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
- Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: .
- Ta có: 
- Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với nhau.
Cần nhớ: Để CM hai đt vuông góc với nhau ta đi chứng minh tích vô hướng của hai VTCP bằng 0.
Bài 2: Cho điểm A(1;-3;2). Chứng minh hai đt OA và d: vuông góc với nhau
 Bài giải
- Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương: .
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
- Ta có: 
- Vậy: Đường thẳng OA và đường thẳng d vuông góc với nhau.
Bài 3: Chứng minh đường thẳng d: vuông góc với trục Ox
 Bài giải
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
- Trục Ox có vectơ chỉ phương: .
- Ta có: 
 - Vậy: Đường thẳng d vuông góc với trục Ox.
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.
Cần nhớ: Hai đt song song không có điểm chung: 
Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: và d’: song song với nhau.
 Bài giải
Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: .
+ Ta chứng minh hai VTCP cùng phương: 
 Cách 1: .
+ Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng không thuộc d’.
 Thế tọa độ điểm A vào pt của d’: suy ra A không thuộc d’.
 Vậy: d và d’ song song với nhau.
Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’ .
Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia.
Đề thi Tốt nghiệp năm 2008.
Cho điểm M(-2;1;-2) và đt d: . CMR đường thẳng OM song song đt d.
Bài giải
Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0)
Đường thẳng OM có vectơ chỉ phương: .
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
 Ta có: 
 Thế tọa độ điểm O vào pt của d ta có: . Suy ra điểm O thuộc đường thẳng OM nhưng không thuộc đt d.
 Vậy: Đt OM song song đường thẳng d.
Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d .
Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mp: 
Ta chứng minh và một điểm thuộc đt nhưng không thuộc mp.
Bài 1: Chứng minh đường thẳng d: song song mp(P): 3x+4y+z-9=0.
 Bài giải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
MP(P) có vectơ pháp tuyến: .
Ta có: .
Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P).
Vậy: ĐT d vuông góc mp(P).
Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp..
Bài 2: Chứng minh đường thẳng d: song song mp(Oyz).
 Bài giải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
MP(Oyz) có vectơ pháp tuyến: .
Ta có: 
Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d nhưng không thuộc (Oyz).
Vậy: ĐT d song song mp(Oyz).
Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta chỉ cần VTPT của mp(Oyz).
Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) và mp(P): 2x+2y-3z-9=0. Chứng minh đường thẳng AB song song mp(P).
 Bài giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương: .
MP(P) có vectơ pháp tuyến: .
Ta có: 
Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P).
Vậy: ĐT AB song song mp(P).
Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp: 
Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với nhau.
Bài 1: CM đt d: vuông góc mp(P): 2x+4y+6z+8=0.
 Bài giải
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: .
MP(P) có vectơ pháp tuyến: .
Ta có: nên cùng phương với nhau.
Vậy: ĐT d vuông góc mp(P).
Vấn đề 4: Các bài toán về tam giác.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
 Ta chứng minh: không cùng phương.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
 Bài giải
- Ta có: 
- Nhận xét: nên không cùng phương nên A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Ta chứng minh: cùng phương.
Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 Bài giải
- Ta có: 
- Nhận xét: nên cùng phương nên A, B, C thẳng hàng.
Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vuông tại A với A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0).
 Bài giải
- Ta có: 
- Do nên ABC vuông tại A.
Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân.
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân tại A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1).
 Bài giải
- Ta có: 
- Do nên ABC cân tại A.
Cần nhớ: 
Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông vuông góc với nhau. 
Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau.
Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.
Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).
 Bài giải
- Ta có: 
- Do nên ABC là tam giác đều.
A
H
A/
Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp.
Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0.
Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).
 Bài giải
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P).
 - Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với (P).
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: .
- Pt tham số của d là: .
Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Xét pt: -2+t+2(1+2t)-2.(-2t)-9=0
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên (P) là H(-1;3;-2).
Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P).
- Do A và A’ đối xứng nhau qua (P) nên H là trung điểm của AA’.
- Áp dụng công thức: 
Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(0;5;-4).
Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt.
.
A
A/
H
P)
(d)
Bài 1: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d: .
Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
 Bài giải
1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.
 - Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông góc với d.
 - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là .
Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Xét pt: 2(1+2t)+-1+t+t+5=0=0
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên d là H(-1;-2;1).
 2.. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
- Do A và A’ đối xứng nhau qua d nên H là trung điểm của AA’.
- Áp dụng công thức: 
Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(-3;-5;-6).
Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng là bốn đỉnh của một tứ diện).
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng .
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3).
Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
 Giải
- Tính .
- Tính .
- Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Cần nhớ: Để chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh 
Tính thể tích tứ diện ABCD.
 Giải
- Tính 
- Tính .
- Thể tích tứ diện ABCD: 
Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh rằng OABC là một tứ diện, tính thể tích tứ diện OABC.
 Giải
Chứng minh OABC là một tứ diện.
 - Tính 
 - Tính .
 - Vậy: OABC là một tứ diện.
Thể tích tứ diện ABCD: 
Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.
 Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau .
Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: và d’: chéo nhau.
 Giải 
- Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ chỉ phương là .
- Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ chỉ phương là .
- Tính .
- Tính .
- Vậy: d và d’ chéo nhau.
Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d: và d’: 
chéo nhau.
 Giải 
- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ chỉ phương là .
- Đường thẳng d qua điểm B(0;-5;4) có vectơ chỉ phương là .
- Tính .
- Tính .
- Vậy: d và d’ chéo nhau.
Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM.
Vấn đề 9: Tìm giao điểm của hai đường thẳng.
Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d: 
 Giải 
- Gọi H là giao điểm của d và d’.
- Xét hệ phương trình: 
- Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): 
- Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-(-1)=1+3.t (thỏa).
- Thế t=-1 vào pt d: 
Cần nhớ: 
Nếu thế t=-1 và t’=1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’.
Ta có thể thế t’=1 vào pt của d’ để tìm tọa độ điểm H.
Bài 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d: 
 Giải 
- Gọi H là giao điểm của d và d’.
- Xét hệ phương trình: 
- Giải hệ pt gồm pt (1) và (2): 
- Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-1=9+3.t (vô lí).
- Vậy: d và d’ không cắt nhau.
Cần nhớ: 
Hệ phương trình: có hai ẩn là t và t’. Nghiệm của hệ pt là cặp giá 
trị t, t’ thỏa cả ba pt (1), (2), (3).
Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm pt (1) và (2) hoặc (1) và (3) hoặc (2) và (3). Rồi thế t 
và t’ vào pt còn lại.
---------Hết---------