Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay

Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 1 
MỞ ðẦU 
húng ta biết rằng máy tính Casio là loại máy rất tiện lợi 
cho học sinh từ trung học ñến ðại học. Vì máy giải quyết 
hầu hết các bài toán ở trung học và một phần ở ðại học. 
ðể giúp học sinh ñặc biệt là học sinh THCS có thể sử dụng ñược loại 
máy tính cầm tay kiểu khoa học nói chung, loại máy Casio fx – 570 
MS nói riêng. 
Ngoài những tài liệu hướng dẫn sử dụng và giải toán ñã có, khi 
học sinh mua máy . Học sinh ñọc những tài liệu ñó thì chỉ có thể biết 
chức năng cơ bản các phím và tính toán các phép toán cơ bản, mà 
chưa có bài tập thực hành nhiều về kỹ năng giải Toán bằng máy tính 
cầm tay. ðể HS tự mình khám phá những khả năng tính toán phong 
phú, khai thác các chức năng của máy gắn liền với việc học trên lớp 
cũng như trong các hoạt ñộng ngoại khóa toán học thông qua thực 
hành trên máy. 
Vì thế trong quá trình dạy học trên lớp (dạy học tự chọn, dạy 
BDHSG,) . Chúng ta cần phải trang bị cho học sinh nắm ñược một 
số phương pháp giải và quy trình ấn phím. ðể từ ñó, mỗi học sinh tự 
mình giải ñược các bài tập toán một cách chủ ñộng và sáng tạo. 
 ðứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, 
muốn ñược khám phá, muốn cho các em học sinh THCS có những 
dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay. Tôi xin ñưa ra một số 
dạng bài tập ñể học sinh tự thực hành, rèn luyện kỹ năng giải Toán 
bằng máy tính cầm tay. 
 C 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 2 
NỘI DUNG 
DẠNG 1: “ TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B “ 
a) Số dư của số A chia cho số B: ( ðối với số bị chia tối ña 10 chữ số ) 
Cách ấn: A B màn hình hiện kết quả là số thập phân. ðưa con trỏ lên 
biểu thức sửa lại A B phần nguyên của A chia cho B và ấn 
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456 . 
 Ấn: 9124565217 123456 
 Máy hiện thương số là: 73909,45128 
 ðưa côn trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là: 
 9124565217 123456 73909 và ấn 
Kết quả: Số dư: r = 55713 
BÀI TẬP: Tìm số dư trong các phép chia sau: 
 a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358 
 b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964 
 c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996 
 d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467 
 e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909 
b) Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số: 
Nếu như số bị chia A là số bình thường nhiều hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra 
thành nhóm ñầu 9 chữ số ( kể từ bên trái ). Ta tìm số dư như phần a). Rồi 
viết tiếp sau số dư còn lại là tối ña 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn 
nữa thì tính liên tiếp như vậy. 
 Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567. 
 Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567 ñược kết quả là 2203. 
Tìm tiếp số dư của 22031234 cho 4567. Kết quả cuối cùng là 26. 
 Vậy r = 26. 
 Số dư của A A B
B
= − x phần nguyên của (A chia cho B ) 
÷ = 
- x
- 
= ÷ 
x = 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 3 
BÀI TẬP: 
1) Tìm số dư r khi chia số 24728303034986074 cho 2003. KQ: r = 401 
2) Tìm số dư r khi chia số 2212194522121975 cho 2005. KQ: r = 1095 
c) Tìm số dư của số bị chia ñược cho bằng dạng lũy thừa quá lớn thì ta 
dùng phép ñồng dư thức theo công thức sau: 
. . (mod )(mod )
(mod ) (mod )c c
a b m n pa m p
b n p a m p
≡≡ 
⇒ 
≡ ≡ 
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975 
 Giải: 
Ta có 20042 ≡ 841 (mod 1975) 
 20044 ≡ 8412 (mod 1975) 
⇒ 200412 ≡ 2313 ≡ 416 (mod 1975) 
⇒ 200448 ≡ 4164 ≡ 536 (mod 1975) 
⇒ 200448 .200412 ≡ 536. 416 (mod 1975) 
 200460 ≡ 1776 (mod 1975) 
 ⇒ 200462 ≡ 1776. 841 (mod 1975) 
 200462 ≡ 516 (mod 1975) 
⇒ 200462x3 ≡ 5163 ≡ 1171(mod 1975) 
 ⇒ 200462x3x2 ≡ 11712 (mod 1975) 
 200462x6 ≡ 591 (mod 1975) 
 ⇒ 200462x6+4 ≡ 591.231 (mod 1975) 
 ⇒ 2004376 ≡ 246 (mod 1975) 
 Vậy 2004376 chia cho 1975 có số dư là 246. 
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 17659427 cho 293 
 Giải: 
Ta có 176594 ≡ 208 (mod 293) 
 1765943 ≡ 2083 ≡ 3 (mod 293) 
 17659427 ≡ 39 (mod 293) 
 17659427 ≡ 52 (mod 293) 
Vậy 17659427 chia cho 293 có số dư là 52 
Bài tập: 
1)Tìm số dư của phép chia 232005 cho 100. 
Giải: 
 Ta có: 231 ≡ 23 (mod 100) 
232 ≡ 29 (mod 100) 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 4 
234 ≡ 292 ≡ 41 (mod 100) 
 (234 )5 ≡ 415 (mod 100) 
 2320 ≡ 1 (mod 100) 
 ⇒ (2320 )100 ≡ 1100 ≡ 1 (mod 100) 
 232000 ≡ 1 (mod 100) 
⇒ 232005 =23200.234.231 ≡ 1.41.23 (mod 100) 
 232005 ≡ 43 (mod 100) 
Vậy 232005 chia cho 100 có số dư là 43 
2) Tìm hai chữ số cuối cùng của 232005 
Giải: 
Ta giải như bài 1. 
Trả lời: Hai chữ số cuối cùng của 232005 là 43 
3) Tìm chữ số hàng chục của 232005 
Giải: 
Ta cũng giải như bài 1. 
Trả lời: Chữ số hàng chục của 232005 là 4. 
4) Tìm số dư của phép chia 72005 chia cho 10 
 ( Tìm chữ số hàng ñơn vị của 72005 ) 
Giải: 
 Ta có 71 ≡ 7 (mod 10) 
72 ≡ 49 (mod 10) 
 74 ≡ 1 (mod 10) 
 ⇒ 72004 = (74)501 ≡ 1501 ≡ 1(mod 10) 
 ⇒ 72005 = 72004 .71 ≡ 1.7 ≡ 7(mod 10) 
 Vậy: + 72005 chia cho 10 là 7. 
 + Chữ số hàng ñơn vị của 72005 là 7. 
5) Tìm chữ số hàng ñơn vị của 172002. 
Giải: 
 Ta có 71 ≡ 7 (mod 10) 
72 ≡ 49 (mod 10) 
 74 ≡ 1 (mod 10) 
 ⇒ (74)500 ≡ 1500 ≡ 1(mod 10) 
 ⇒ 72000 ≡ 1(mod 10) 
 ⇒ 72002 ≡ 172000. 172 ≡ 1.9 ≡ 9(mod 10) 
Vậy: Chữ số hàng ñơn vị của 172002 là 9. 
6) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng 
 A = 22000 + 22001 + 22002 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 5 
Giải: 
 Ta có A = 22000 ( 1+ 21 + 22 ) = 7. 22000 
 Mà ta lại có 210 ≡ 24 (mod 100) 
⇒ (210)5 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100) 
 ⇒2250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100) 
⇒21250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100) 
⇒22000 = 21250.2250.2250.2250 ≡ 24.24.24.24 ≡ 76 (mod 100) 
⇒ A = 7. 22000 ≡ 7.76 ≡ 32 (mod 100) 
 Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng A là 32 
7) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng 
B = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 
Giải: 
 Ta có B = 22000 ( 1+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26) = 127. 22000 
⇒ B = 127. 22000 ≡ 127.76 ≡ 52 (mod 100) 
 Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng B là 52 
8) Tìm số dư của phép chia 19971997 cho 13 
Giải: 
 Ta có 19971 ≡ 8 (mod 13) 
19972 ≡ 12 (mod 13) 
19973 ≡ 12.8 ≡ 5(mod 13) 
19974 ≡ 1 (mod 13) 
 ⇒ (19974 )499 ≡ 1499 ≡ 1(mod 13) 
 19971997 = 19971996 . 19971 ≡ 1.8 (mod 13) 
 Hay 19971997 ≡ 8 (mod 13) 
 Vậy số dư của phép chia 19971997 cho 13 là 8 
9) Tìm dư trong phép chia 21000 cho 25 
Giải: 
 Ta có 210 ≡ 24 (mod 25) 
 ⇒220 ≡ 1 (mod 25) 
 ⇒21000 ≡ 1500 ≡ 1 (mod 25) 
 Vậy số dư trong phép chia 21000 cho 25 là 1 
10) Tìm dư trong phép chia 21997 cho 49 
Giải: 
 Ta có 22 ≡ 4 (mod 49) 
 ⇒210 ≡ 44 (mod 49) 
 ⇒220 ≡ 442 ≡ 25 (mod 49) 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 6 
 ⇒221 ≡ 25.2 ≡ 1 (mod 49) 
 ⇒ (221 )95 ≡ 195 ≡ 1 (mod 49) 
 ⇒21995 ≡ 1 (mod 49) 
 ⇒21997 = 21995 .22 ≡ 1.4 ≡ 4 (mod 49) 
V ậy dư trong phép chia 21997 cho 49 là 4 
11) Tìm dư trong phép chia 21999 cho 35 
Giải: 
 Ta có 21 ≡ 2 (mod 35) 
 ⇒210 ≡ 9 (mod 35) 
 ⇒220 ≡ 442 ≡ 25 (mod 35) 
 ⇒230 ≡ 9.25 ≡ 29 (mod 35) 
 216 ≡ 16 (mod 35) 
 ⇒248 ≡ 1 (mod 35) 
 ⇒21999 = (248)41.231 ≡ 1.29.2 ≡23 (mod 35) 
V ậy dư trong phép chia 21999 cho 35 là 23. 
12) Tìm dư khi chia 
a) 43624362 cho 11 
b) 301293 cho 13 
c) 19991999 cho 99 
d) 109345 cho 14 ( r = 1 ) 
e) 31000 cho 49 
f) 61991 cho 28 ( r = 20) 
g) 35150 cho 425 
h) 222002 cho 1001 
i) 20012010 cho 2003 
13) a) CMR: 18901930 + 19451975 + 1 ⋮ 7 
 b) CMR: 22225555 + 55552222 ⋮ 7 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 7 
DẠNG 2: “ TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ n = 1 1 0...n na a xa a m− ⋮ với m ∈ N “ 
Phương pháp: Thay x lần lượt từ 0 ñến 9 sao cho n ⋮ m 
Ví dụ: Tìm chữ số x ñể 79506 47x chia hết cho 23. 
 Giải: 
 Thay x = 0; 1; 2; ; 9. 
 Ta ñược 79506147 ⋮ 23 
 Bài tập: 
1)Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1 2 3 4x y z chia 
hết cho 7. 
 Giải: 
- Số lớn nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 19293 4z . 
 Lần lượt thử z = 9; 8; ;1; 0. 
Vậy Số lớn nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 1929354. 
- Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 10203 4z . 
 Lần lượt thử z =0; 1; ;8; 9. 
Vậy Số nhỏ nhất dạng 1 2 3 4x y z chia hết cho 7 sẽ phải là 1020334. 
2)Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất của số 2 3 4 5x y z chia hết cho 25. 
KQ: - Số lớn nhất là: 2939475 
- Số nhỏ nhất là: 1030425. 
4)Tìm chữ số b, biết rằng: 469283861 6505b chia hết cho 2005. 
 KQ: b = 9. 
5) Tìm chữ số a biết rằng 469 8386196505a chia hết cho 2005. 
 KQ: a = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 
6)Hãy nêu các bước thực hiện trên máy tính và từ ñó suy ra phải thêm số nào 
vào bên phải số 200 một chữ số ñể ñược số có bốn chữ số chia hết cho 7. 
Hướng dẫn: n = 200 7a⋮ . KQ: 2002; 2009. 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 8 
DẠNG 3: “ TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ “ 
 1. Tìm các ước của một số a : 
Phương pháp: 
 Gán: A = 0 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : a ÷ A 
 Ấn nhiều lần phím 
Gán: 
Nhập: a 
Ấn nhiều lần dấu 
Ví dụ: Tìm ( các ước ) tập hợp các ước của 120 
Ta gán: A = 0 
Nhập: A = A + 1 : 120 ÷ A 
Ấn nhiều lần phím 
Ta có A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120} 
 2. Tìm các bội của b: 
 Gán: A = -1 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : b x A 
 Ấn nhiều lần phím 
Ví dụ : Tìm tập hợp các bội của 7 nhỏ hơn 100. 
Ta gán: A = -1 
Nhập: A = A + 1 : 7 x A 
Ấn nhiều lần phím 
Ta có: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98} 
BÀI TẬP: 
1) Tìm các ước của các số sau: 24; 48; 176. 
2) Tìm tất cả các bội của 14 nhỏ hơn 150 
 3.Kiểm tra số nguyên tố: ðể kiểm tra một số là số nguyên tố ta làm như 
sau: 
ðể kết luận số a là số nguyên tố ( a > 1) , chỉ cần chứng tỏ rằng nó không 
chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. 
Vì nếu một số a là hợp số thì nó phải có ước nhỏ hơn a 
0 
= 
Shift STO
T 
Alpha 
A 
A 1 = ÷ Alpha Alpha A Alpha : + Alpha 
= 
= 
= 
= 
A 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 9 
Ví dụ: Số 647 có phải là số nguyên tố không ? 
 Giải 
Ta có 647 = 25,43 
Gán: A = 0 
Nhập: A = A + 1 : 647 ÷ A 
Ấn 25 lần phím mà trên màn hình kết quả thương là số thập phân thì kết 
luận 647 là số nguyên tố 
BÀI TẬP: 
1)Các số sau ñây số nào là số nguyên tố: 
197; 247; 567; 899; 917; 929 
 2) Tìm một ước của 3809783 có chữ số tận cùng là 9 KQ: 19339 
 3) Tìm một số tự nhiên x biết lập phương của nó có tận cùng là ba chữ số 1.  ... 6 = Q(10) – ( 2.10 + 3). 
 Hay Q(10) = 2.10 + 3 + 9.8.7.6 
 = 2.10 + 3 + 9!
5!
 = 3047. 
Tương tự: Q(11) = 2.11 + 3 +10!
6!
 = 5065. 
 Q(12) = 2.12 + 3 +11!
7!
 = 7947. 
 Q(13) = 2.13 + 3 +12!
8!
 = 11909. 
13) Cho ña thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1) = 3, 
P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), 
P(9), P(10), P(11). 
 Giải: 
 ðặt Q(x) = 2x2 + 1 . Khi ñó Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, 
Q(5) = 51. 
 ðiều này chứng tỏ ña thức (bậc 5) R(x) = P(x) – Q(x) có 5 nghiệm 1; 
2; 3; 4; 5. 
 Vậy : P(x) = Q(x) + (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). 
Do ñó: P(6) = 2.62 + 1 + 5! = 193 
 P(7) = 2.72 + 1 + 6! = 819 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 33 
 P(8) = 2.82 + 1 + 7!
2!
 = 2649 
 P(9) = 2.92 + 1 + 8!
3!
 = 6883 
 P(10) = 2.102 + 1 + 9!
4!
 = 15321 
 P(11) = 2.112 + 1 + 10!
5!
 = 30483 
14)Cho ña thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn 
P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51. 
 Tính giá trị của P(-2) + 7 P(6). 
Giải: 
 Nhận xét: P(1) = 3 = 12 + 2; P(3) = 11 = 32 + 2; P(5) = 27 = 52 + 2; 
P(7) = 51 = 72 + 2. 
 Xét ña thức Q(x) = P(x) – ( x2 + 2) 
 Ta có Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = 0. 
 ðiều này chứng tỏ 1; 3; 5; 7 là nghiệm của Q(x). 
Suy ra Q(x) = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) 
 Nên P(x) = Q(x) + x2 + 2 
 = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) + x2 + 2 
Do ñó P(-2) = 951 và P(6) = 23. 
 Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112. 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 34 
DẠNG 12: DÃY SỐ 
I/ Dãy số Lucas: Dãy số Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonaci: Các số 
hạng của nó tuân theo quy luật u1 = a; u2 = b; un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2. 
trong ñó a, b là hai số tùy ý. 
 Với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonaci. 
Dạng 1: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ).Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b a → u3 
 + Lặp: a → u4, u6 , . . . 
 → u5, u7 , . . . 
 - C2: + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = B + A : D = D + 1 : B = A + B 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
Ví dụ 1: Với u1 = 1; u2 = 3. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843,  
Ví dụ 2: Với u1 = -3; u2 = 4. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
-3, 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, .. 
Ví dụ 3: Với u1 = -1; u2 = -5. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
-1, -5, -6, -11, -17, -28, -45, .. 
Ví dụ 4: Với u1 = 1; u2 = -5. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, . 
BÀI TẬP: 
 1)Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; .; un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2. Tính u12, 
u37, u38, u39. 
KQ: u12 = 28657; u37 = 4807526976; u38 = 7778742049; 
 u39 = 12586269025 ( tính bằng tay ) 
2) Cho u1 = 2002, u2 = 2003 và un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2. 
 Xác ñịnh u5, u10 ? 
 KQ: u5 = 10013, u10 = 110144. 
STO Shift A + STO Shift M 
+ ALPHA A + STO Shift A 
+ ALPHA M STO Shift M 
= 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 35 
II/ Dãy số Fibonaci ( Dãy Lucas ) suy rộng tuyến tính có dạng: 
 Dạng 2: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ) và un+1 = m.un + n.un-1 với 
mọi n ≥ 2. 
Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b m n a → u3 
 + Lặp: m n → u4, u6 , . . . 
 m n → u5, u7 , . . . 
 - C2: + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = m.B + n.A : D = D + 1 : B = m.A + n.B 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
BÀI TẬP: 
 1) Cho u1 = 2; u2 = 3 và un+1 = 4.un + 5.un-1 với mọi n ≥ 2. Xác 
ñịnh u7, u8? KQ: u7 =13022, u8 = 65103. 
 2) Cho u1 = 2; u2 = 9 và un+1 = 19.un + 45.un-1 với mọi n ≥ 2. Xác 
ñịnh u5, u10? 
KQ: u5 = 113.661, u7 = 50.732.586, 
u8 = 1071961389, u9 = 22650232761 ( tính bằng tay) 
u10 = 19u9 + 45.u8 = 478592684964. ( tính bằng tay) 
 3) Cho u1 = 30; u2 = 4 và un+1 = 19.un + 75.un-1 với mọi n ≥ 2. 
Xác ñịnh u5, u7? 
KQ: u5 = 1.019.836, u7 = 508.052.446, 
 4) Cho u1 = 3; u2 = 2 và un = 2.un-1 + 3.un-2 với mọi n ≥ 3. Xác 
ñịnh u21? KQ: u21 = 4358480503. 
 5) Cho dãy số sắp xếp theo thứ tự với u1 = 2; u2 = 20 và u3 ñược tính 
theo công thức un+1 = 2.un + un-1 với mọi n ≥ 2. 
 a) Viết quy tình bấm phím liên tục ñể tính giá trị của un với 
u1 = 2; u2 = 20. 
 b) Xác ñịnh u22, u23, u24, u25? 
Giải: 
STO Shift A x STO Shift B 
+ ALPHA A x STO Shift A 
+ ALPHA B STO Shift B 
= 
+ x 
x 
x x 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 36 
 a) 
 + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = 2 ( Số hạng u1) 
 B = 20 ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = 2.B + A : D = D + 1 : B = 2.A + B 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
 b) u22 = 804.268.156, u23 = 1.941.675.090 
 u24 = 4.687.618.336, u25 = 11.316.911.762 
 Chú ý: u25 = 2.u24 + u23 ( Tính tay ). 
6)Cho a1 = 2000; a2 = 2001 và an+2 = 2.an+1 -an + 3 với mọi n ≥ 1. Xác 
ñịnh a100? 
Giải: 
 + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = 2000 ( Số hạng u1) 
 B = 2001 ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = 2B – A + 3 : D = D + 1 : B = 2A – B +3 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
 KQ: a100 = 16.652 
III/ Dãy Fibonacoci ( dãy Lucus ) suy rộng bậc hai dạng: 
 Dạng 3: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ) và un+1 = u 2n + u 2 1n− với mọi n ≥ 2 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b a → u3 
 + Lặp: → u4, u6 , . . . 
 → u5, u7 , . . . 
 - C2: + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = B2 + A2 : D = D + 1 : B = A2 + B2 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
= 
= 
STO Shift A + STO Shift B 
+ ALPHA A + STO Shift A 
+ ALPHA B STO Shift B 
= 
2x 
2x 2x 
2x 
2x + 2x 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 37 
BÀI TẬP: 
 1) Cho u1 = u2 = 1 và un+1 = u 2n + u 2 1n− với mọi n ≥ 2. 
 Thực hiện trên máy theo qui trình trên ta ñược dãy: 1, 1, 2, 5, 29, 
866, 750797, 563696885111. 
 2)Cho u1 = u2 = 1 và un+1 = u 2n - u 2 1n− với mọi n ≥ 2. Xác ñinh u100? 
 KQ: u100 = -1 
IV/ Dãy Lucas bậc ba có dạng: 
 Dạng 4: u1 = a , u2 = b , u3 = c ( a, b, c tùy ý ) 
 un+1 = un + un-1
 + un-2 với mọi n ≥ 3 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 c ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 a → u4 
 + Lặp: → u5, u8 , . . . 
 → u6, u9 , . . . 
 → u7, u10 , . . . 
 - C2: 
 + Gán: D = 3 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 C = c ( Số hạng u3 ) 
 + Ghi vào màn hình: 
D = D + 1: A = C + B + A : D = D + 1 : B = A + C + B : D = D + 1 : C = B + 
A + C 
 + Ấn:  ta ñược u4, u5, u6 ,, un 
 Ví dụ: Dãy Fibonaci bậc ba: u1 = u2 = u3 = 1, un+1 = un + un-1
 + un-2 
 với mọi n ≥ 3. 
 Thực hiện qui trình trên ta ñược dãy: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 
105, 193, 355, 653,  
STO Shift A 
+ ALPHA B + STO Shift A 
= 
STO Shift B 
A
B 
ALPHA B + ALPHA A + STO Shift C 
ALPHA A 
+ ALPHA C + STO Shift B ALPHA B 
+ ALPHA C + STO Shift B ALPHA B 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 38 
BÀI TẬP: 
1) Cho u1 = 4, u2 = 7, u3 = 5 và un = un -1 + un -2 + un -3 với mọi 
n ≥ 4. Xác ñịnh u30 ? 
2) Cho u1 = 3, u2 = 2, u3 = 1930 và un = un -1 + un -2 - un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u78 ? 
3) Cho u1 = 7, u2 = 5, u3 = 1954 và un = un -1 - un -2 + un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u54 ? 
4) Cho u1 = 30, u2 = 4, u3 = 1975 và un = un -1 + un -2 - un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u33 ? 
5) Cho u1 = 20, u2 = 11, u3 = 1982 và un = un -1 + un -2 + un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u26 ? 
V/ Dãy Lucas bậc ba suy rộng có dạng: 
 Dạng 5: u1 = a , u2 = b , u3 = c ( a, b, c tùy ý ) 
 un+1 = m.un + n.un-1
 + p.un-2 với mọi n ≥ 3 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 c ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 m n a p → u4 
 + Lặp: 
 m n p → u5, u8 , . . . 
 m n p → u6, u9 , . . . 
 m n p → u7, u10 , . . . 
 - C2: 
 + Gán: D = 3 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 C = c ( Số hạng u3 ) 
 + Ghi vào màn hình: 
D = D + 1: A = mC + nB + pA : D = D + 1 : B = mA + nC + pB : D = D + 1 : 
C = mB + nA + pC 
 + Ấn:  ta ñược u4, u5, u6 ,, un 
STO Shift A 
+ ALPHA B + STO Shift A 
= 
STO Shift B 
A 
B
ALPHA B + ALPHA A + STO Shift C 
ALPHA A 
x x x 
x x x 
+ ALPHA C + STO Shift BALPHA B x x x 
+ ALPHA A + STO Shift C ALPHA C x x x 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 39 
Ví dụ: u1 = 1 , u2 = 2 , u3 = 3 và un+1 = 2un + 3un-1 + 4un-2 
với mọi n ≥ 3. 
 Thực hiện quy trình trên ta ñược dãy: 1, 2, 3, 16, 49, 158, 527,  
BÀI TẬP: 
1) Cho u1 = 4, u2 = 7, u3 = 5 và un = 2un -1 - un -2 + un -3 với mọi n ≥ 4. 
Xác ñịnh u30 ? 
 KQ: u30 = 20929015 
2) Cho u1 = 3, u2 = 2, u3 =1945 và un = 3un -1 - 2un -2 + 2008un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u10 ? 
VI/ Tính số hạng thứ n của dãy số Fibonacci theo công thức 
nghiệm tổng quát: 
1 1 5 1 5
2 25
n n
nu
    + −
 = −           
Nhập: 1 5 2 1 5 
2 5 
Bấm: máy hiện X ? 
Thay X = n thì tính ñược un . 
Ví dụ: Cho dãy số : 3 5 3 5
2 2
n n
nu
   + −
= +      
   
. Tính u6, u18? 
 KQ: u6 = 322, u18 = 33385282 
ALPHA ( ( ( + 
 ) ÷ ) ∧ X - ( ( - 
 ) ÷ 
 ) ALPHA ∧ X ) ÷ 
CALC 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 40 
KẾT LUẬN 
 Trên ñây là những dạng bài tập mà qua quá trình nghiên cứu 
giảng dạy, tham gia dạy bồi dưỡng, dạy học tự chọn, bản thân tôi ñã 
tổng hợp lại ñược. Thật ra ñây là những bài toán mà ta có thể bắt gặp 
ở các sách toán, ñề thi,  
 Việc phân chia các dạng bài tập này là ñể cho học sinh dễ nhớ, 
dễ thực hành. ðể học sinh tự rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán 
bằng máy tính cầm tay. 
 Với suy nghĩ như vậy. Tôi tin tưởng mỗi học sinh ñều tự học, tự 
thực hành trên máy tính cầm tay ñể có kết quả. Vì khả năng và thời 
gian có hạn nên sáng kiến này xin tạm dừng ở ñây. Rất mong sự góp 
ý của các ñồng chí, ñồng nghiệp ñể sáng kiến này ñược phát huy và 
ñược mở rộng hơn nữa. 
 Ba Tơ, ngày 25 tháng 4 năm 2008 
 NGƯỜI VIẾT 
 Trần Ngọc Duy 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 41 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 1.Hướng dẫn sử dụng và giải toán 6,7,8,9,10,11,12 của vụ 
THPT. 
2. Hướng dẫn thực hành Toán trên MTBT Casio Fx 500MS, Fx 
570 MS của vụ THPT. 
3. Giải toán trên máy tính ñiện tử Casio Fx 500MS, Fx 570 MS 
của TS Tạ Duy Phượng – NXBGD. 
4. Một số ñề thi các cấp và thi khu vực .