Các Chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
VÀ HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI
==========================
NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN HỮU ĐỘ
(Chủ biên)
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
(Tóm tắt báo cáo Hội nghị khoa học)
Hà Nội, 26-27/04/2012
www.VNMATH.com
KẾ HOẠCH VÀ CÔNG TÁC CHUẨN BỊ HỘI THẢO KHOA HỌC
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
NĂM 2012
I. Thời gian, địa điểm, thành phần:
1. Thời gian: 3 ngày (25,26,27/04/2012)
2. Địa điểm: Phòng họp, Hội trường Trường THPT Chu Văn An Hà Nội
3. Thành phần:
- Bộ Giáo dục và Đào tạo: Lãnh đạo Bộ, Lãnh đạo vụ GD Trung học;
- Lãnh đạo LH CHKHKT HN
- Các tạp chí: Toán học tuổi trẻ, Toán tuổi thơ;
- Hội Toán học Hà Nội; Hội Toán học VN,
- Các tác giả có bài đăng ký tham dự Hội thảo;
- Các phòng Giáo dục và Đào tạo, huyện, thị, một số trường THCS (có danh sách kèm theo);
- Truyền hình, báo, đài.
4. Ban Tổ chức và Ban chương trình Hội thảo (kèm Quyết định):
II. Nội dung chính của hội thảo:
- Đổi mới công tác quản lý giáo dục giai đoạn 2012-2015 và những định hướng mới.
- Đánh giá thực trạng phương pháp dạy học Toán, những thuận lợi, khó khăn trong đổi mới
phương pháp dạy học; đề xuất các giải pháp cụ thể, khả thi về đổi mới phương pháp dạy học bộ
môn.
- Đặc biệt các chuyên đề đào tạo, bồi dưỡng học sinh, sinh viên giỏi, tham gia các kỳ thi học
sinh giỏi các cấp hàng năm, ...nhằm nâng cao chất lượng đào tạo.
III. Công tác chuẩn bị
Trước 30/03/2012 - Thành lập Ban Tổ chức, Ban chương trình
Lãnh đạo Sở GD và ĐT
Trước 15/04/2012
- Chuẩn bị nội dung Hội thảo: Thông báo và tập hợp các bài viết, In ấn kỷ yếu
(Ban tổ chức, Hội TH, Sở GD)
- Chuẩn bị chương trình văn nghệ, luyện tập
(Trường THPT CVA)
2
www.VNMATH.com
- In và gửi giấy mời (Ban tổ chức, Hội TH, Sở GD)
- Liên hệ các đơn vị liên quan đảm bảo an ninh, an toàn giao thông, điện, nước, ...
Sở GD và ĐT HN, Trường THPT CVA (Anh Dũng)
-Trang trí, khánh tiết: Khẩu hiệu, Hội trường lớn, 2 Hội trường nhỏ, hoa, nước uống ...
Trường THPT CVA (Anh Dũng)
- Chuẩn bị hội trường, âm thanh, ánh sáng, máy chiếu,..
Trường THPT CVA
- Tổng vệ sinh toàn trường Trường THPT CVA
- Chuẩn bị nhà khách (4 phòng), phương tiện đi lại Trường THPT CVA
Sáng 26/04/2012
Đón tiếp đại biểu Trường THPT CVA
Ghi danh sách đại biểu và phát kỷ yếu
Trường THPT CVA
Bổ trí chỗ ngồi trong Hội trường (Dành 3 hàng ghế giữa cho đại biểu)
Trường THPT CVA
Phụ trách chương trình văn nghệ chào mừng (nếu có)
Trường THPT CVA
Phương tiện trình chiếu, loa đài
Trường THPT CVA
26/04/2012 Nội dung chương trình Hội THHN
Trưa 26/04 Chuẩn bị ăn trưa
Sở GD và Anh Dũng (HT THPT CVA)
Chiều 26/04/2011
Từ 13h30-16h00 Nội dụng và điều hành 2 Hội thảo chuyên đề
Hội THHN
16h15-17h30 Hội thảo tổng kết phiên toàn thể
BTC (Anh Mậu+Anh Độ)
3
www.VNMATH.com
Tối 26/04/2011
Ăn tối (cho các đại biểu ở xa (40 xuất))
Sở GD và ĐT (Anh Quang), Anh Dũng (THPT Chu Văn An)
Ngày 27/04/2012 Chương trình Tọa đàm bàn tròn
Chuẩn bị phương tiện đưa đón,
Sở GD (Anh Tuấn)
Nội dung hoạt động
Hội THHN (Anh Hổ), Sở GD (Anh Tuấn), Trường PT DTNT Hà Nội (Anh Phú)
Các ngày Hội thảo: Quay phim, chụp ảnh và tư liệu
Hội THHN (Thẩm Ngọc Khuê)
4
www.VNMATH.com
CHƯƠNG TRÌNH CHI TIẾT
Ngày 25/04/2012
14h30-16h30 Họp Ban Tổ chức và Ban chương trình, tổng duyệt báo cáo.
Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ
Ngày 26/04/2012
08h00-8h30 Đón tiếp đại biểu Phòng GDPT và Trường THPT CVA
08h30-9h00 Văn nghệ chào mừng Trường THPT CVA
09h00-9h05 Tuyên bố lý do, giới thiệu đại biểu Đàm Xuân Quang, Phó Văn Phòng
09h05-9h15 Phát biểu khai mạc Nguyễn Hữu Độ
Phát biểu đề dẫn Nguyễn Văn Mậu
09h15-09h25 Phát biểu của đại biểu
- GS TS Vũ Hoan Chủ tịch Liên hiệp các Hội KHKTHN
- TS Vũ Đình Chuẩn Vụ trưởng Vụ GDTH Bộ GD và ĐT
09h25-11h30 Các báo cáo phiên toàn thể
1. NGƯT Hàn Liên Hải:
Một số ý kiến về vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi hiện nay
2. PGS Trần Huy Hổ:
Vai trò của Hội THHN trong công tác hợp tác đào tạo với các sở GD về hoạt động chuyên
môn và bồi dưỡng học sinh giỏi
- ThS Chử Xuân Dũng (HT THTH CVA):
Về hoạt động chuyên môn của CLB Toán học HN
- TS Phạm Thị Bạch Ngọc:
Vai trò của Tạp chí TH và TT trong bồi dưỡng HSG phổ thông
- ThS Vũ Kim Thuỷ:
Hoạt động của Tạp chí Toán Tuổi thơ
- ThS Trần Văn Khải (HN-Amsterdam);
Về các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi của HN
- ThS Lê Đại Hải:
Về tổ chức các kỳ thi HSC ở Thủ đô HN
11h30-13h00 Nghỉ ăn trưa
14h00-17h30 Các báo cáo chuyên đề Toán học bồi dưỡng GV và các vấn đề liên quan.
Điều hành THCS: GS. Nguyễn Văn Mậu, ThS. Chử Xuân Dũng
1. PGS Hà Tiến Ngoạn
Tổng số các cách phân chia một tập hợp thành các tập con rời nhau
2. TS Nguyễn Việt Hải
Những bài toán thi học sinh giỏi lớp 9 về số học
5
www.VNMATH.com
3. TS Nguyễn Văn Ngọc
Một số dạng toán về chia đa thức đối xứng
4. ThS Nguyễn Bá Đang
Đường thẳng Simson
5. ThS Lê Thị Thanh Bình
Một số phương pháp giải phương trình hàm bậc THCS
6. GV Nguyễn Thị Minh Châu
Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật ở cấp THCS
7. ThS Hồ Quang Vinh
Phép nghịch đảo và ứng dụng
8... Các báo cáo mới đăng ký tại hội thảo.
Điều hành THPT: PGS. Trần Huy Hổ, PGD Sở Lê Ngọc Quang
1. PGS Hoàng Chí Thành
Một vài kỹ thuật giải tích trong tổ hợp
2. PGS Nguyễn Thuỷ Thanh
Một cách tiếp cận định nghĩa hàm mũ
3. PGS Vũ Đình Hoà
Bài toán tô màu đồ thị
4. GS Phạm Huy Điển
Hàm số mũ - vấn đề "Biết rồi - khổ lắm - nói mãi" mà vẫn chưa hết
5. GS Đặng Huy Ruận
Phương pháp Graph
6. TS Trịnh Đào Chiến
Một số lớp phương trình hàm dạng Pexider và áp dụng
7. PGS Đàm Văn Nhỉ
Tham số hóa đồ thị phẳng và toán sơ cấp
8... Các báo cáo mới đăng ký tại hội thảo
Phiên tổng kết: GS. Nguyễn Văn Mậu, ThS Nguyễn Hữu Độ
18h00-19h30 Ăn tối (dành cho các đại biểu ở tỉnh xa)
Ngày 27/04/2012
-Các báo cáo khoa học hội nghị bàn tròn.
- 11h30: Ăn trưa
- 16h00: Xe xuất phát về Hà Nội.
6
www.VNMATH.com
Mục lục
Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Nguyễn Thủy Thanh
Một cách tiếp cận định nghĩa hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Trần Nam Dũng
Nguyên lý cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Trịnh Đào Chiến, Lê Tiến Dũng
Một số dạng tổng quát của phương trình hàm Pexider và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Đặng Huy Ruận
Phương pháp Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Hà Thị Mai Dung
Một số tính chất của hàm lồi, lõm bậc cao và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Nguyễn Thị Minh Châu
Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật ở cấp THCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Hoàng Đạt Hạ
Định lý Lagrange và các phương trình hàm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lê Hồ Quý và Phạm Xuân Thành
Về một số bài toán về phương trình hàm giải bằng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 26
Hoàng Chí Thành
Một vài kỹ thuật giải tích trong tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Đàm Văn Nhỉ
Tham số hóa đồ thị phẳng và toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Vũ Đình Hòa
Bài toán tô màu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7
www.VNMATH.com
Nguyễn Đăng Phất
Một số tính chất của tứ điểm trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Nguyễn Văn Ngọc
Một số bài toán về chia hết đối với các đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Trần Việt Anh
Sử dụng số phức để giải toán tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Quách Văn Giang
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tham số hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Lê Thị Anh Đoan
Tính ổn định nghiệm của một số phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Phạm Thị Nhàn
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 47
Trần Viết Tường
Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh bởi phi đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Trương Ngọc Đắc
Một số ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Phạm Huy Điển
Hàm số mũ - vấn đề "Biết rồi - khổ lắm - nói mãi" mà vẫn chưa hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Nguyễn Bá Đang
Đường thẳng Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Hồ Quang Vinh
Phép nghịch đảo và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Trương Ngọc Đắc
Một số ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Đào Xuân Luyện
Một số bài toán được xây dựng từ công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lê Thị Thanh Bình
Một số phương pháp giải phương trình hàm bậc THCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Phạm Thị Bạch Ngọc
Chuyên đề cho Đại số 9: Phần nguyên và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8
www.VNMATH.com
Lời nói đầu
Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch hội Toán học Hà Nội
Nguyễn Hữu Độ, Giám đốc sở GD và ĐT Hà Nội
Hòa nhịp với cả nước chào mừng ngày giải phóng miền Nam, thống nhất đất nước và ngày
Quốc tế lao động 01.05 và thực hiện các chương trình đổi mới giáo dục Thủ đô, Sở Giáo Dục và
Đào tạo Hà Nội phối hợp với Hội Toán học Hà Nội đồng tổ chức Hội thảo khoa học Các chuyên
đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THPT Chu Văn An, thành phố Hà Nội vào các
ngày 26-27/04/ 2012
Đây là hội thảo đầu tiên theo tinh thần ký kết phối hợp hoạt động giữa Sở Giáo Dục và Đào
tạo Hà Nội và Hội Toán học Hà Nội bàn về liên kết bồi dưỡng học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh
giỏi môn toán Trung học phổ thông và Trung học cơ sở.
Hội thảo khoa học lần này được tiến hành từ 26-27/4/2012 tại thành phố Hà Nội hân hạnh
được đón tiếp nhiều nhà khoa học, nhà giáo lão thành, các nhà quản lý, các chuyên gia giáo dục
và các nhà toán học báo cáo tại các phiên toàn thể và các cán bộ chỉ đạo chuyên môn từ các sở
Giáo dục và Đào tạo, các thầy giáo, cô giáo bộ môn Toán đang trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi
môn Toán báo ...  chứng minh được chặt chẽ trong khuôn khổ chương trình phổ thông”.
Đại ý của mệnh đề đó là: với mỗi số a > 1 có duy nhất một hàm liên tục nhận giá trị thực mà tại
các điểm hữu tỷ q thì nó nhận giá trị là aq. Ngay học sinh đại học cũng phải đầu hàng tính “thần
bí” của mệnh đề này, vì nó đụng đến 2 vấn đề rất hóc búa: Khi nào thì một hàm số xác định trên
tập số hữu tỷ có thể “thác triển được” thành một hàm liên tục trên toàn bộ trục số thực? Và nếu
được thì khi nào sự thác triển là duy nhất? Tất nhiên, với một định nghĩa như vậy thì ta không
thể làm gì hơn ngoài việc tiếp tục công nhận các tính chất được đưa ra sau định nghĩa (vì không
thể chứng minh được).
Sách Giáo khoa Thực nghiệm “Đại số và Giải tích 11” (dành cho hệ chuyên ban A, NXB Giáo
dục - 1995) cũng đã từng đưa định nghĩa “Luỹ thừa cơ số a với số mũ vô tỷ b (ký hiệu bởi ax) là
lim
n→∞
axn , trong đó {xn} là một dãy số hữu tỷ gần đúng thiếu của x”. Tiếc rằng sách không cho
biết nhiều về khái niệm dãy số hữu tỷ gần đúng thiếu của số vô tỷ nên ta không biết tổng của 2
dãy số hữu tỷ gần đúng thiếu (của 2 số vô tỷ) thì có là dãy số hữu tỷ gần đúng thiếu (của tổng
của 2 số vô tỷ đó) hay không. Cho nên ta cũng không biết các tính chất của luỹ thừa bậc hữu
tỷ được chuyển sang cho luỹ thừa bậc vô tỷ như thế nào. Tuy nhiên, điều áy náy này chẳng mấy
chốc cũng bị “che phủ” bởi điều áy náy lớn hơn, khi ta thấy tính liên tục của hàm mũ cũng được
đưa ra một cách “vô điều kiện”.
Rõ ràng, những cách định nghĩa như vậy là chưa thể thỏa mãn được nguyện vọng của những
người muốn hiểu các khái niệm toán học một cách “đến nơi đến chốn”. Tóm lại: Muốn biết hàm
số mũ là gì thì “hãy đợi đấy!!!”.
Đợi đến bao giờ đây?
Chưa có ai trả lời câu hỏi này, nhưng người đã qua đại học rồi thì có thể cho bạn lời khuyên
đích thực là: đừng hy vọng gì nhiều ở chương trình bậc đại học, vì ở đó người ta thường cho rằng
“hàm mũ đã được dạy từ thời phổ thông!”.
Nếu bạn không muốn chờ đợi thêm thì hãy cùng chúng tôi làm “một cuộc chen ngang”, khám
phá bản chất của hàm số mũ ngay trong lòng chương trình lớp 11. Chúng ta sẽ thiết lập khái niệm
hàm số mũ một cách chặt chẽ về mặt toán học, mà không cần vay mượn bất cứ một kết quả nào
từ chương trình đại học. Trước hết, ta cần thấy rằng đây là một hàm không đơn giản hơn (nếu
không nói là khó hơn hẳn) các hàm lượng giác, cho nên việc xây dựng nó cần một sự đầu tư về
53
www.VNMATH.com
thời gian và công sức không quá eo hẹp so với những gì ta đã dành cho các hàm lượng giác (gần
như cả nửa quyển sách giáo khoa lớp 11). Bản thân số vô tỷ đã được coi như giới hạn của dãy số
hữu tỷ, cho nên việc xây dựng luỹ thừa bậc vô tỷ không thể không dựa vào khái niệm này.
54
www.VNMATH.com
Đường thẳng Simson
Nguyễn Bá Đang, Sở GD và ĐT Hải Dương
Robert Simson là một nhà toán học người Scotland, giáo sư toán học của đại học Glasgow.
Ông sinh 14 tháng 10 năm 1687tại West Kilbride và mất ngày 1 tháng 10 năm 1768 tại Glasgow.
Trong nhiều năm gần đây các kì thi trong nước, quốc tế cũng như khu vực thường sử dụng
đường thẳng Simson vào giải toán hình học phẳng. Xin giới thiệu để bạn đọc tham khảo.
1. Đường thẳng Simson
Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ). M là điểm tùy ý trên ( ), gọi D, E, H
là hình chiếu của trên BC, CA, AB. Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC, M là điểm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi D, E, H
là hình chiếu của M lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB và D, E, H thẳng hàng. Chứng minh M
nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi K, P, Q
lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AD. Chứng minh P, K, Q nằm trên một đường
thẳng và luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. (Olimpia Japan 1996)
55
www.VNMATH.com
Phép nghịch đảo và ứng dụng
Hồ Quang Vinh, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
Trong suốt bài viết chúng ta kí hiệu X * là ảnh của X qua phép nghịch đảo được xét.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, qua phép nghịch đảo các điểm trên đường tròn (k) đứng
nguyên tại chỗ, các điểm nằm trong (k) biến ra ngoài, còn các điểm nằm ngoài (k) thì biến vào
trong. Nếu điểm A biến thành A*, thì điểm A* qua phép nghịch đảo đó biến thành điểm A, tức
là (A*)* = A.
Các tính chất. Qua một phép nghịch đảo tâm O với bán kính r:
1) Một đường thẳng qua O biến thành chính nó.
2) Một đường thẳng l không đi qua O biến thành đường tròn đi qua O, tâm của đường tròn
đó là điểm C* (C là điểm đối xứng với O qua đường thẳng l)
3) Một đường tròn với tâm là điểm C qua O biến thành một đường thẳng không đi qua O,
vuông góc với OC.
4) Một đường tròn không đi qua O biến thành một đường tròn không đi qua O ( Hai đường
tròn này không nhất thiết bằng nhau ).
5) Sự tiếp xúc của các đường tròn và các đường thẳng được bảo toàn, nếu như tiếp điểm không
trùng với tâm nghịch đảo; còn nếu trùng thì nhận được một cặp đường song song.
6) Góc giữa hai đường tròn (góc giữa đường thẳng và đường tròn, giữa hai đường thẳng) bảo
toàn qua phép nghịch đảo.
Theo truyền thống từ thời cổ Hy Lạp, trong hình học thường xét phép dựng hình bằng compa
và thước kẻ. Nhưng cũng có thể tiến hành dựng hình bằng compa không có thước kẻ. Bằng compa,
tất nhiên không thể dựng ngay được tất cả các điểm của đường thẳng, do đó ta sẽ coi rằng đường
thẳng đã được dựng nếu như đã dựng được tất cả các phép dựng mà có thể thực hiện được nhờ
compa và thước kẻ. Để dựng hình chỉ bằng compa chủ yếu là nhờ nó có thể dựng được ảnh của
điểm qua phép nghịch đảo đối với một đường tròn cho trước với tâm cho trước.
Sử dụng phép nghịch đảo, chúng ta có thể giải được khá gọn những bài toán khó trong các Kì
thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia , các Kì thi Olympic Toán học Quốc tế.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] V.V Praxolov. Các bài toán về hình học phẳng, Tập 2, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP.
Hồ Chí Minh, năm 2003.
[2] Các bài dự tuyển Olympic Toán học Quốc tế, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội 2003.
[3] 1999 National Contests Problems and Solution, Published and distributed by Mathematical
Association of America.
[4] Mathematical Olympiad Problems and Solutions From Around the Wolrd, 1995 - 1996, 1996
- 1997, 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000, 2000 - 2001, Edited by Titu Andreescu, Zuming
Feng and George Lee, Jr Walter Mientka. Published and distributed by Mathematical Association
of America.
[5] Một số Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ các năm từ 2003 - 2007.
56
www.VNMATH.com
Những bài toán thi học sinh giỏi lớp 9 về số học
Nguyễn Việt Hải, Tạp chí THTT
Trong bài này các chữ đều biểu thị số nguyên, nếu không là số nguyên sẽ ghi chú riêng.
Chuyên đề 1. Một số bài toán về sự chia hết và sự chia có dư
I. Kiến thức cơ bản
1. Các dấu hiệu chia hết cho 2, 4, 5, 3, 9, 11, 7.
2. Các tính chất của phép chia hết. Lưu ý :
a) Nếu a và b đều chia hết cho m ( m 6= 0) thì a + b và a - b đều chia hết cho n.
b) Nếu a chia hết cho n và b không chia hết cho m (m 6= 0) thì a + b và a - b đều không chia
hết cho m.
3. Các tính chất cơ bản của ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN ) của
hai số trong SGK .
4. Các tính chất cơ bản của những số nguyên tố và hợp số trong SGK .
5. Các tính chất cơ bản của những số nguyên tố cùng nhau.
6. Các hằng đẳng thức đáng nhớ dạng (a+ b)2, (a− b)2, . . .
7. Sự chia hết của đa thức
8. Điều kiện có nghiệm nguyên của tam thức bậc hai
9. Sự chia hết của tích các số nguyên liên tiếp
II. Các bài toán về sự chia hết và chia có dư
A. Các bài toán về sự chia hết
B. Các bài toán về sự chia có dư
Chuyên đề 2. Một số bài toán về số chính phương và số lũy thừa
I.Tính chất của số chính phương
II. Một số dạng toán về số chính phương và số lũy thừa
A. Bài toán chứng minh một số không là số chính phương
B. Bài toán chứng minh một số là số chính phương
C. Bài toán xác định giá trị của biến để một biểu thức số là số chính phương
Chuyên đề 3. Một số bài toán về dãy số
A. Tính chất của phép chia và của các số nguyên tố cùng nhau
B. Phương pháp phản chứng
C. Nguyên tắc Dirichlet trong Số học
D. Phương pháp cực hạn
E.Bài toán chọn số trong dãy số
Bài toán 3.7. a) Chứng minh rằng trong 100 số nguyên dương có thể chọn được một hay nhiều
số mà tổng của chúng chia hết cho 100.
b) Chứng minh rằng trong 100 số nguyên dương có thể chọn được một hay nhiều số mà tổng
các bình phương của chúng chia hết cho 100.
Bài toán 3.8. a) Trong 2n số nguyên từ 1 đến 2n chọn n + 1 số nào đó. Chứng minh rằng trong
các số được chọn có ít nhất một số bằng tổng hai số cũng được chọn ( hai số này có thể bằng nhau
hoặc khác nhau).
57
www.VNMATH.com
b) Có thể lấy nhiều nhất bao nhiêu số trong 2n số nguyên dương đầu tiên để một số bất kì
được chọn không bằng tổng của của hai số cũng được chọn ( hai số này có thể bằng nhau hoặc
khác nhau ).
C.Bài toán tìm cực trị của một biểu thức chứa các số thuộc một dãy số
58
www.VNMATH.com
Một số bài toán được xây dựng từ công thức Taylor
Đào Xuân Luyện, THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định
Trong quá trình giảng dạy, ta thường gặp một số bài toán về phương trình, về bất đẳng thức
mà một vế là hàm siêu việt như hàm lượng giác, hàm mũ, hay hàm lôgarit và vế còn lại là một
đa thức. Câu hỏi đặt ra tại sao lại có được các mối quan hệ đó và “ở đâu” người ta lại có các bất
đẳng thức đẹp đến vậy.
Trong bài viết “ Một số bài toán xây dựng từ công thức Taylor” tác giả sẽ làm rõ được phần
nào câu hỏi đó .
59
www.VNMATH.com
Một số phương pháp giải phương trình hàm bậc THCS
Lê Thị Thanh Bình, THCS Bình Minh, TP Hải Dương
Hàm số là một trong những khái niệm mới và khó đối với học sinh THCS nhưng thời lượng
dành cho nội dung này ở trong chương trình rất hạn chế (28 tiết học chia ra ở lớp 7 và lớp 9). Vì
vậy, dạy cho học trò nắm chắc các khái niệm và khảo sát được một số tính chất của các hàm đơn
giản là công việc không dễ. Càng khó hơn mỗi khi phải giải bài toán ngược: xác định hàm số từ
một vài tính chất cho trước của nó. Chuyên đề sau đây cung cấp một số phương pháp đơn giản
để tìm hàm số trong khuôn khổ của chương trình Toán bậc trung học cơ sở.
Tìm một hàm số thoả mãn một số điều kiện nào đó gọi là giải phương trình hàm. Trong bài
này trình bày chi tiết các phương pháp cơ bản giải phương trình hàm bậc THCS:
1. Phương pháp đặt ẩn phụ
2. Phương pháp đưa về giải hệ phương trình
3. Phương pháp sử dụng tính chất của đa thức
4. Phương pháp đồng nhất hệ số
5. Phương pháp xét các giá trị đặc biệt của biến số
6. Giải một số dạng bài tập khác thông qua giải phương trình hàm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu. Đa thức và áp dụng, NXBGDVN 2008.
[2] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ - NXBGDVN.
[3] Tuyển chọn các đề thi tuyển sinh.
60
www.VNMATH.com
Chuyên đề cho Đại số 9: Phần nguyên và ứng dụng
Phạm Thị Bạch Ngọc, Tạp chí TH và TT
Trong bài này xét các tính chất của phần nguyên và các bài toán liên quan. Tiếp theo xét một
số ứng dụng về chứng minh một số bài toán số học, giải phương trình có chứa dấu phần nguyên
và khảo sát bất phương trình chứa phần nguyên.
61
www.VNMATH.com