Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 7: Tích phân

ao
tra
ng
tb.
com
Chương 7
Tích phân
7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm
Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x)

Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F′(x) = f (x) với mọi x ∈ K
Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng
F(x) = 4 sin x + (4x + 5)ex + 1
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 cos x + (4x + 9)ex.
2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x
1 + |x| .
3. Chứng minh rằng
F(x) =
8
>
<
:
x2
2 
ln x − x
2
4 
+ 1 khix > 0
1 khix = 0
là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
8
<
:
x ln x khix > 0
0 khix = 0
trên [0; +∞).
Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) √3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x 
√
3 − 2x.
Bài 7.3 : 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x2 + 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x − 3
x2 − 3x + 4 .
2. Cho hàm số f (x) = −xex và F(x) = (ax + b)ex. Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f (x).
Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau
149
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
R
1. 0 dx = C;
R
dx =
R
1 dx = x +C;
R
2. xα dx =
xα+1
α + 1
R
+ C; (ax + b)α dx = 1
a
.
(ax + b)α+1
α + 1
+ C
(với α , −1, a , 0);
R
3.
1
x 
dx = ln |x|+C; R 1
ax + b dx =
1
a 
ln |ax+b|+C (a , 0);
R
4. Với a là hằng số khác 0
(a) sin(ax + b) dx = −cos(ax + b)
a
+ C;
R
(b) cos(ax + b) dx = sin(ax + b)
a
+ C;
R
(c) e(ax+b) dx =
e(ax+b)
a
+C;
R
(d) αx dx =
αx
ln α
+ C (với 0 < α , 1);
5.
R
(a)
1
cos2 x 
dx = tan x +C;
R
(b)
1
sin2 x 
dx = − cot x +C.
Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1.
x +
√
x + 1
3√x ;

2.
√
x + 1 

 
x − √x 
+ 1 ;
3.
1
sin2 x cos2 x
;
4.
cos 2x
sin x + cos x
;
5.
x3 + 1
1 − x2 ;
6.
1
(1 + x)(1 − 2x) ;
7.
2x − 1
ex 
;
8. e3−2x;
9. x(x + 1)(x + 2);
10.
1√
x 
− 13√x ;

11.
1 − x2
x
2
;
12.
3x2 + 3x + 3
x3 − 3x + 2 ;
13.
1
x(1 + x)2 ;
14.
x4 − 2
x3 − x ;

15. sin x −

π
4 
(1 + sin 2x);
16. sin x sin 2x cos 5x;
17. sin6 x + cos6 x;
18.
1√
2 + sin x − cos x ;
19. sin x cos2 x.
Vấn đề 3 : Tìm hằng số C
Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = x
3
+ 3x2 + 3x − 1
x2 + 2x + 1 
, biết rằng F(1) = 13 .
2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 1 + sin x
1 + cos x
, biết rằng F(0) = 2.
Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau :
1. f ′(x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5); 2. f ′(x) = 2 − x2 và f (2) = 73 .
Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f ′(x) = ax + b
x2 
, ở đây f (1) = 4 và f ′(1) = 0.
Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần

Công thức
Z
u dv = uv −
Z
v du.
Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần.
Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 150
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
R
R
R
R
R
1. (1 − 2x)e3x dx;
2. (x2 + 2x − 1)ex dx;
3. x sin(2x + 1) dx;
4. (x2 − 1) sin x dx;
5. x ln(1 − x) dx;
6.
√
x ln2 x dx;
7. ex cos x dx;
R
R
R
R
R
8. ex sin x dx;
9. e3x sin 5x dx;
10. e3x cos 7x dx;
11. xex cos x dx;
12. xe2x sin(2x + 1) dx;
13. x sin x
2 
dx;
14. x2 cos x dx;
R
R
R
15.
√
x ln x dx;
16. x2ex dx;
17. 3x cos x dx;
18. xex sin 2x dx;
19.
1
R
€ Š
+ sin x
1 + cos x
ex dx;
20. sin(ln x) dx;
21. ln x +
√
1 + x2 dx;
R
22. x ln 1 + x
1 − x dx;
R
R
R
R
23. cos (ln(tan x)) dx;
24.
x cos x
sin2 x 
dx;
25. x2x dx;
26. xe−x dx;
27. 25e3x cos 4x dx.
Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một
nguyên hàm của f , tức R f (u) du = F(u) + C thì
Z
R
f [u(x)] u′(x) dx = F [u(x)] +C.
Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân.
Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau :
1. 2(4x − 1)6 dx;
2.
7
4 − 3x dx;
R
R
€
3.
3√
2x + 1 
dx;
4. e−4x + 5
Š
R

 
√
3x + 2 dx;
5. cos 
π
2 
x − 26x + 5 
‹
dx;
R
R
6. (2x + 1)4 dx;
7. 2x(x2 + 1)3 dx;
8.
x2√
x3 − 4
R
R
dx;
9. x 
√
x − 1 dx;
10. 2x 
√
x2 + 1 dx;
R
R
R
R
R
R
11. 3x2 
√
x3 + 1 dx;
12. 2x3 
√
4 − x4 dx;
13.
3x2
x3 + 1 
dx;
14.
x
(3x2 + 9)4 dx;
15. 2x 
√
ex
2+4 dx;
16.
2x + 4
x2 + 4x − 5
R
R
R
dx;
17. x 
3√2 − t2 dx;
18. cos xesin x dx;
19.
ex
ex + 1 
dx;
20. cos x sin4 x dx;
21. x 
√
x + 1 dx;
R
R
R
R
R
22.
cos x
1 + sin x 
dx;
23.
x
x2 + 4 dx;
24. (x + 1) √x − 1 dx;
25.
tan x
sin2 x 
dx;
26.
4x
(1 − 2x2) dx;
R
27.
4x
(1 − 2x2)2 dx;
R
R
R
28.
ln x
x 
dx;
29.
e−x
1 + e−x dx;
30.
1
x ln x 
dx.
R
R
R
Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau :
1. (2x + 1)20 dx;
2.
x
x2 + 1 
dx;
3. x2 
√
x3 + 5 dx;
4. e3 cos x sin x dx;
5.
ln4 x
x 
dx;
R
R
R
6.
e2x√
ex + 1 
dx;
7. 3x 
√
7 − 3x2 dx;
8.
9x2√
1 − x3
dx;
R
9.
1√
x(1 + √x)3 dx;
R
R
R
10.
x√
2x + 3 
dx;
11.
x
(1 + x2)2 dx;
12.
dx
ex − e−x ;
R
13.
ln2 x
x 
dx;
Download tài liệu học tập tại :  Trang 151
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
14.
R
3√1 + ln x
x 
dx;
R
R
15. cos x sin3 x dx;
16.
cos x + sin x√
sin x − cos x dx;
R
17.
sin x cos x√
a2 sin2 x + b2 cos2 x
, (a2 , b2);
R
R
18.
dx
cos x sin2 x
;
19. x 
√
1 + x2 dx;
R
R
R
20. sin2 x cos3 x dx;
21. e3 sin x cos x dx;
22. (3x + 2)10 dx.
R
R
Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau :
1. x3e−x2 dx;
2. sin 
√
x dx;
3.
ln(ln x)
x 
dx;
R
4. cos2(ln x) dx;
5. e
√
x dx;
R
R

6. sin(ln x) dx;
7. cos2 
√
x dx;
8.
1
ln2 x 
− 1
ln x 
‹
dx;
R
R
 

9.
x cos x
sin2 x 
dx;
10. sin 
√
x + 1 dx;
R
R
11.
ln (tan x)
cos2 x 
dx;
12. sin5 x3 cos
x
3 dx;
R
13.
1
x2 
sin 1
x 
cos
1
x 
dx;
R
14.
dx
3 + 5 cos x ;
R
R
15.
dx
sin x + cos x
;
16.
dx
8 − 4 sin x
R
+ 7 cos x
;
17.
4 sin x + 6 cos x + 5
sin x + 2 cos x + 2 
dx.
7.2 Các dạng toán tích phân
Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản

Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì
Z b
a 
f (x) dx = F(x)
b
a 
= F(b) − F(a).
Bài 7.12 : Tính các tích phân sau :
1.
R
2
0 
x(x + 1)2 dx;
2.
π
2
R
0 
(2 cos x − sin 2x) dx;
3.
R
2
1
2
1
x(x + 1) dx;
4.
R
ln 2
0
e2x+1 + 1
ex 
dx;
5.
π
2
R

0 
2x2


+ cos x dx;
6.
π
6
R
0 
(sin 6x sin 2x − 6) dx;
7.
R
8
1 

4x − 1
3 3
√
x2 
‹
dx;
8.
R
€1
0 
3x − e x4
Š
dx;
9.
R
4
1
dx
x2(x + 1) ;
10.
R
π
3
π
6
sin3 x
1 − cos x dx;
11.
R
2
0
√
x3 − 2x2 + x dx;
12.
R
π
3
π
6
dx
sin2 x cos2 x
;
13.
π
4
R
0
dx
(1 + tan2 x) cos4 x ;
14.
R
π
2
− π2
cos2 2x dx;
15.
R
π
2
− π2
sin 2x sin 6x dx;
16.
π
6
R
0 
tan x dx.
Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối

1. Công thức tách cận tích phân
Z b
a 
f (x) dx =
Z c
a 
f (x) dx +
Z b
c 
f (x) dx.
2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối
R
b
a
| f (x)| dx (giả sử a > b).
(a) Giải phương trình f (x) = 0, được các nghiệm xi ∈ [a; b], giả sử a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 152
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(b) Dùng công thức tách cận
b
Z
a
| f (x)| dx =
Z
x1
a
| f (x)| dx +
Z
x2
x1
| f (x)| dx + · · · +
Z
b
xn
| f (x)| dx
=
Z
x1
a
f (x) dx +
Z
x2
x1
f (x) dx + · · · +
Z
b
xn
f (x) dx .
Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.
Bài 7.13 : 1. Cho
R
5
0 
f (t) dt = −3 và R
7
0 
f (u) du = 4, tính R
7
5 
f (x) dx.
2. Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f ′(1) = 2 và R
2
0 
f (x) dx = 4.
Bài 7.14 : 1. Cho hàm số f (x) = a.3x + b, biết rằng f ′(0) = 2 và R
2
1 
f (x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b.
2. Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết rằng f ′(0) = 4 và R
2π
0 
f (x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b.
Bài 7.15 : 1. Cho
R
4
0 
f (x) dx = 1 và R
6
0 
f (t) dt = 5. Tính tích phân I = R
6
4 
f (x) dx.
2. Cho a ∈
•
π
2
;
˜3π
2 
và thoả mãn
R
1
0 
cos(x + a2) dx = sin a. Tính giá trị của a.
Bài 7.16 : Tính các tích phân sau :
1.
R
2
0
|1 − x| dx;
2.
R
2
0
|x2 − x| dx;
3.
R
2π
0
√
1 − cos 2x dx;
4.
R
√
3
0
|1 − x2|
1 + x2 
dx;
5.
R
2
0
|x − 2| dx;
6.
R
3
−3 
|x2 − 1| dx;
7.
R
4
1
√
x2 − 6x + 9 dx;
8.
R
5
−2
(|x + 2| − |x − 2|) dx;
9.
R
3
0
√
x3 − 4x2 + 4x dx;
10.
R
2
0
|x2 + 2x − 3| dx;
11.
R
3
0
|2x − 4| dx;
12.
R
1
−1
√
4 − |x| dx;
13.
R
π
−π
√
1 − sin x dx;
14.
R
π
3
π
6
√
tan2 x + cot2 x − 2 dx;
15.
R
π
0
√
1 − sin 2x dx;
16.
R
2π
0
√
1 + cos x dx;
17.
R
π
2
− π2
cos x 
√
cos x − cos3 x dx;
18.
R
π
2
− π2 
| sin x| dx;
19.
R
π
0
√
1 + cos 2x dx;
20.
R
2π
0
√
1 + cos x dx.
Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần

b
Z
a
u dv = uv
b
a
−
b
Z
a
v du.
Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc
chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ.
Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại.
Chú ý :
• Tích phân I =
R
ex sin x dx đặt u = ex và dv = sin x dx . . .;
• Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã;
Download tài liệu học tập tại :  Trang 153
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm.
Bài 7.17 : Tính các tích phân sau :
1.
R
ln 2
0 
xe2x dx;
2.
R
1
0 
(2x2 + x + 1)ex dx;
3.
π
2
R
0 
(1 − x) sin x cos x dx;
4.
π
4
R
0 
x sin x dx;
5.
R
3
1 
2x ln x dx;
6.
R
e
1 
x3 ln2 x dx;
7.
π
2
R
0 
e2x sin 3x dx;
8.
R
π
0 
ex cos 2x dx;
9.
R
1
0 
(x2 + 1)e2x dx;
10.
R
1
0 
(2x − 1)e−2x dx;
11.
R
3
0
√
x + 1e
√
x+1 dx;
12.
R
1
0 
2
√
x dx;
13.
R
π
0 
(x2 + 2x + 3) cos x dx;
14.
π
2
R
0 
(x − 1) sin x dx;
15.
π
2
R
0 
x cos x sin2 x dx;
16.
R
π
2
π
3
x − sin x
1 + cos x 
dx;
17.
R
5
2 
2x ln(x − 1) dx;
18.
R
e
1 
x ln2 x dx;
19.
R
€1
0 
x ln x
Š
+
√
1 + x2 dx;
20.
R
3
2 
(ln(x − 1) − ln(x + 1)) dx;
21.
R
π
0 
ex cos2 x dx;
22.
R
1
0 
ex sin2(πx) dx;
23.
π
2
R
0 
x2 cos x dx;
24.
π
3
R
0 
(2 − x) sin x dx.
Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số

R
1. Phương pháp đổi biến số đơn giản
(a) f (ax + b) dx = 1
a 
R f (ax + b) d(ax + b);
R
VD : (2x − 3)2 dx R= 1
2 
(2x − 3)2d(2x − 3) = 1
2
(2x − 3)3
3 +C.
Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx = 1
a 
d(ax + b).
R
(b) f (xn+1)xn dx = 1
n + 1 
f (xn+1) d(xn+1), đặt t = xn+1;
R R
 ... sin x|
2009x + 1 ;
10.
R
π
2
− π2
sin x sin 2x cos 5x
ex + 1 
dx;
11.
R
1
−1
€ Š
x ln 1 +
√
1 + x2
(3x + 1) 
√
1 + x2 
dx;
12.
R
1
−1
x2 ln(1 + x2)
2x + 1 
dx;
13.
R
1
2
− 12
€ Š
x ln 1+x1−x
ex + 1 
dx;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 160
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
14.
R
π
2
− π2
x2 cos x
ex + 1 
dx;
15.
π
4
R
0 
ln(1 + tan x) dx;
16.
R
1
0
ln(1 + x)
1 + x2 
dx;
17.
R
4π
0
sin7 3x cos8 5x
1 + cos10 x dx;
18.
π
2
R
”
0 
tan2007 2x
—
+ sin2009 6x dx;
19.
R
2007π
0
√
1 − cos 2x dx;
20.
5π
4
R
π
sin 2x
cos4 x + sin4 x 
dx;
21.
R
π
0
x sin x dx
9 + 4 cos2 x ;
22.
R
π
0 
x sin x dx;
23.
π
0 
x sin3 x dx;
24. I =
R
π
0
x sin x d x
1 + sin2 x 
;
25.
π
2
R
0
cos4 x
sin4 x + cos4 x
;
26.
π
2
R
0
sin x
(sin x + cos x)3 ;
27.
π
2
R
0
 1
cos2(sin x) − tan
2(cos x) 
‹
dx;
28.
π
2
R
0
sinn x
sinn−1 x + cosn−1 x
;
29.
π
2
R
0 
ln(tan x) dx;
30.
π
2
R
0 
ln(sin x) dx;
31.
π
2
R
0
dx
1 + tan2009 x 
dx;
32.
R
4
2
√
ln(9 − x)√
ln(9 − x) + √ln(x + 3) dx;
33.
R
3π
0 
sin x sin 2x sin 3x dx;
34.
R
π
0
É
3 sin 5x
sin 3x cos 7x dx;
35.
R
2π
0
√
1 + sin x dx;
36.
R
π
0 
x sin x cos2 x dx;
37.
π
2
R
0
cos3 x
sin x + cos x 
dx;
38.
R
1
−1
x4
1 + 2x 
dx;
Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau :
1.
R
1
0 
xm(1 − x)n d x = R
1
0 
xn(1 − x)m dx;
2.
R
a
0 
x3 f (x2) d x = 1
2
R
a2
0 
x f (x) dx (a > 0; x > 0);
3. Chứng minh rằng nếu y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thì R
T
0 
f (x) dx = 2
T
2
R
0 
f (x) dx.
7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
1. elíp :
x2
a2
+
y2
b2 = 1, (a, b > 0).
2. đồ thị hàm số y = x3 − 1, đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành.
3. đồ thị hàm số y = 4 − x2, đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành.
4. parabol y = 2 − x2 và đường thẳng y = −x.
5. đường thẳng y = x + 2 và parabol y = x2 + x − 2.
6. đồ thị hàm số y =
√
x, trục hoành và đường thẳng y = x − 2.
Bài 7.27 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 161
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. đồ thị các hàm số y =
27
x 
, y =
x2
27 
và y = x2.
2. parabol y = 2x2 − 4x − 6, trục hoành, và hai đường thẳng x = −2, x = 4.
3. parabol (P) : y = x2 − 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1; 2) và B(4; 5).
4. đồ thị các hàm số y = |x2 − 1| và y = |x| + 5.
5. đồ thị các hàm số y = −
√
4 − x2 và x2 + 3y = 0.
6. đồ thị các hàm số y = sin |x| và y = |x| − π.
7. đồ thị các hàm số x2 = 4y và y = 8
x2 + 4
Bài 7.28 : Cho parabol (P) : y = x2 + 1 và cho đường thẳng dm : y = mx + 2.
1. Chứng minh rằng với mọi m thì (P) và dm luôn cắt nhau tại hai điểm phân biêt.
2. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và dm có diện tích nhỏ nhất.
Bài 7.29 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
1. đồ thị các hàm số y = x2, y =
x2
4 
, y =
2
x 
và y =
8
x
.
2. đồ thị các hàm số y2 = 2x, x − 2y + 2 = 0 và trục hoành.
3. đồ thị hàm số y2 + x − 5 = 0 và đường thẳng x + y − 3 = 0.
4. đồ thị các hàm số x2 = 3y và y2 = 3x.
5. parabol y = x2 − 2x + 2 và các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(2; −2).
7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay
Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = 2x − x2 và trục hoành.
1. Tính thể tích Vx của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
2. Tính thể tích Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Oy.
Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2, y =
27
x 
và y =
x2
27
. Tính thể tích Vx,Vy của hình tròn xoay tạo bởi
khi quay S quanh trục Ox,Oy (tương ứng).
Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi các parabol y = 4 − x2 và y = x2 + 2. Tìm thể tích Vx,Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay
S quanh trục Ox,Oy.
Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) và bán kính R = 1. Tìm thể tích Vx,Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục
Ox,Oy.
Bài 7.34 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex, trục hoành và đường thẳng x = 1 . Tìm thể tích Vx của hình tròn xoay
tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, các đường thẳng x = 0 và x = π. Tính thể tích Vx của
hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = e. Tính thể tích Vx của
hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 162
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH
Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I =
R

1
0 
e−2x


+ x ex dx.
Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I =
R
1
0
2x − 1
x + 1 
dx.
Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3.
Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I =
R
2 
√
3
√
5
dx
x 
√
x2 + 4
.
Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I =
R
2
1
x
1 +
√
x − 1 dx.
Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I =
π
2
R
0
sin 2x + sin x√
1 + 3 cos x 
dx.
Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I =
π
2
R
0
sin 2x√
cos2 x + 4 sin2 x
dx.
Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x.
Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I =
π
6
R
0
tan4 x
cos 2x 
dx.
Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I =
π
2
R
 

0 
cos3 x − 1 cos2 dx.
Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I =
R
2
0
x2 + ex + 2x2ex
1 + 2ex 
dx.
Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y =
r
4 − x
2
4 
và y =
x2
4 
√
2
.
Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I =
R
e
1
√
1 + 3 ln x ln x
x 
dx.
Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I =
π
2
R
0
sin 2x cos x
1 + cos x 
dx.
Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I =
R
ln 5
ln 3
dx
ex + 2.e−x − 3 .
Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình H quanh trục Ox.
Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I =
π
4
R
0
€
sin x − π4 
Š
dx
sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) .
Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I =
R
3
1
3 + ln x
(x + 1)2 dx.
Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I =
R
e
1
ln x
x(2 + ln x)2 dx.
Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I =
R
2
0
|x2 − x| dx.
Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I =
R
3
2 
ln(x2 − x) dx.
Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I =
π
2
R

0 
esin x


+ cos x cos x dx.
Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I =
R
1
0 
(x − 2)e2x dx.
Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I =
e
1 
x3 ln2 x dx.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 -  Trang 163
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I =
R
2
1
ln x
x3 
dx.
Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I =
R
3
1
dx
ex − 1 .
Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I =
R
e
1 

2x − 3
x 
‹
dx.
7.6 Bài tập tổng hợp
Bài 7.64 : Tính tích phân : I =
R
2
0
x3 dx
x2 + 1
.
Bài 7.65 : Tính tích phân : I =
R
ln 3
0
p
ex dx
(ex + 1)3 .
Bài 7.66 : Tính tích phân : I =
R
0
−1
€
x 22x + 3
Š√
x + 1 dx.
Bài 7.67 : Tính tích phân : I =
π
4
R
0
x
1 + cos 2x 
dx.
Bài 7.68 : Tính tích phân : I =
R
1
0 
x3
√
1 − x2 dx.
Bài 7.69 : Tính tích phân : I =
R
ln 5
ln 2
e2x dx√
ex − 1 .
Bài 7.70 : Tính tích phân : I =
R
1
0 
x3ex
2 dx.
Bài 7.71 : Tính tích phân : I =
R
e
1
x2 + 1
x 
ln x dx.
Bài 7.72 : Tính tích phân : I =
π
3
R
0 
sin2 x tan x dx.
Bài 7.73 : Tính tích phân : I =
R
7
0
x + 2
3√
x + 1 
dx.
Bài 7.74 : Tính tích phân : I =
R
e
1 
x2 ln x dx.
Bài 7.75 : Tính tích phân :
π
4
R
0 
(tan x + esin x. cos x) dx.
Bài 7.76 : Tính tích phân : I =
R
e3
1
ln2 x
x 
√
ln x + 1 
dx.
Bài 7.77 : Tính tích phân : I =
π
2
R
0 
(2x − 1) cos2 x dx.
Bài 7.78 : Tính tích phân : I =
R
6
2
dx
2x + 1 +
√
4x + 1
.
Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2 − x + 3 và đường thẳng d : y = 2x − 1.
Bài 7.80 : Tính tích phân : I =
R
√
e
2
3 − 2 ln x
x 
√
1 + 2 ln x 
dx.
Bài 7.81 : Tính tích phân : I =
R
10
5
dx
x − 2 √x − 1 .
Bài 7.82 : Tính tích phân : I =
π
2
R
0 
(x + 1) sin 2x dx.
Bài 7.83 : Tính tích phân : I =
R
2
1 
(x − 2) ln x dx.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 164
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 7.84 : Tính tích phân : I =
R
4
0
√
2x + 1
1 +
√
2x + 1 
dx.
Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y = x(1 − x)
x2 + 1 
.
Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y =
√
2 − x2.
Bài 7.87 : Tính tích phân : I =
R
1
0
x(x − 1)
x2 − 4 dx.
Bài 7.88 : Tính tích phân : I =
R
2
0 
x2 cos x dx.
Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =
3x
4 
và y =
x2
x + 1
.
Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3−x 
√
2x + 1; y = 0; x = 1 xung
quanh trục Ox.
Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng được giới hạn bởi các đường y2 = x và 3y− x = 2.
Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x2 − 4x| và y = 2x.
Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn bởi (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Tính thể tích vật thể khi quay D quanh trục Ox.
Bài 7.94 : Tính các tích phân sau :
1.
R
e
1
e
ln x
(1 + x)2 dx;
2.
R
1
0 
(2x − 1)2e3x dx;
3.
R
e+1
2 
x2 ln(x − 1) dx;
4.
R
1
0
dx
x +
√
1 − x2
;
5.
R
π
0 
x sin x cos x dx;
6.
R
5
1
x2 + 1
x 
√
3x + 1 
dx;
7.
R
3
1
ln(x2 + 3)
x2 
dx;
8.
π
2
R
0
x + sin x
1 + cos x 
dx;
R
9.
π
2
cos3 x
cos x − sin x dx;
10.
π
4
R
0

cos x − π
4

4 − 3 cos x dx;
11.
R
2
0
x dx√
2 + x +
√
2 − x ;
12.
π
4
R
0
x sin x
cos3 x 
dx;
13.
R
1
0
x3 − x2
x 
3√3x − 4 − 1 dx;
14.
R
π
0
sin 2x
1 + cos4 x dx;
15.
R
π
4
π
6
x sin2 x dx
sin 2x cos2 x
;
16.
R
e
1
ln3 x
x(ln2 x + 1) dx;
17.
π
2
R

0 
3x(x − 1) + e1+cos x sin 2x dx;
18.
R
π
4
− π4
 

dx
cos2 x 1 + e−3x 
.
Bài 7.95 : Tính các tích phân sau :
1.
R
ln 
√
3
0
dx
e2x + 1
;
2.
R
1
0
dx
1 +
√
1 − x2
;
3.
π
2
R
€
0 
cos 2x sin4 x
Š
+ cos4 x dx;
4.
R
1
0
dx
x4 + 4x2 + 3 ;
5.
R
2
0
”√
x(2 − x)
—
+ ln(4 + x2) dx;
6.
π
3
R
0
x + sin2 x
1 + cos 2x 
dx;
7.
R
3 ln 2
0
e2x dx
1 +
√
3ex + 1
;
8.
R
2
1
x 
√
x − 1
x − 5 dx;
9.
R
1
−1
dx
1 + x +
√
1 + x2 
;
10.
R
2
0
x ln(x2 + 1) + x3
x2 + 1
11.
R
1
0
1 + x
1 +
√
x 
dx;
12.
π
3
R
0
sin x
cos x 
√
3 + sin2 x
dx;
13.
R
π
2
π
4
x cos x
sin3 x 
dx;
14.
R
ln 5
ln 2
dx
(10.e−x − 1) √ex − 1 ;
15.
π
4
R
0
x sin x
cos3 x 
dx;
16.
π
2
R
0
sin 2x − 3 cos x
2 sin x + 1 
dx;
17.
R
2
1
√
4 − x2
x2 
dx;
Download tài liệu học tập tại :  Trang 165