Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 5: Hàm số

htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
Chương 5
Hàm số
5.1 Tính đơn điệu
Vấn đề 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số

Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x) ta tiến hành các bước như sau :
1. Tìm tập xác định D của hàm số;
2. Tính đạo hàm y′ = f ′(x);
3. Tìm các giá trị của x ∈ D để f ′(x) = 0 hoặc f ′(x) không xác định (gọi là các điểm tới hạn của hàm số);
4. Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu y′ = f ′(x) trên từng khoảng x ∈ D ;
5. Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ ta suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
Bài 5.1 : Xét sự biến thiên của các hàm số sau :
1. y = x3 − 3x2 ;
2. y = x3 − 2x2 + 18x − 1 ;
3. y = −x3 − 3x2 + 24x + 26 ;
4. y = x3 + 3x2 + 3x + 2 ;
5. y = x4 − 2x2 + 7 ;
6. y = −1
4 
x4 + 2x2 − 1 ;
7. y = x4 + 2x2 − 3 ;
8. y = x4 − 6x2 + 8x + 1 ;
9. y =
2x − 1
x + 1 
;
10. y =
x + 2
x − 1 ;
11. y =
−x2 + 2x − 1
x + 2 
;
12. y =
x2 + 4x + 3
x + 2 
;
13. y = x +
4
x 
;
14. y = x +
√
1 − x2 ;
15. y =
√
3x2 − x3;
16. y = sin x với x ∈ (0; 2π).
83
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 5.2 : Chứng minh rằng hàm số :
1. y =
x + 1
2x − 1 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định;
2. y =
x3
3 
− x2 + x + 5 đồng biến trên R;
3. y = −2
3 
x3 + 6x2 − 20x + 5 nghịch biến trên R;
4. y =
√
4 − x2 nghịch biến trên [0; 2];
5. y = sin x + x đồng biến trên R;
6. y = x3 + x − cos x − 4 đồng biến trên R;
7. y = cos 2x − 2x + 3 nghịch biến trên R.
Vấn đề 2 : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Sử dụng điều kiện cần : Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên D = (a; b) và f ′(x) = 0 tại không quá hữu hạn giá trị.
1. Hàm số y = f (x) đơn điệu tăng trên D khi và chỉ khi f ′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ D .
2. Hàm số y = f (x) đơn điệu giảm trên D khi và chỉ khi f ′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ D .
Chúng ta các bài toán sau :
Bài toán 1 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R hoặc trên (−∞; a) và
(a; +∞).
Cơ sở bài toán là định lí sau :
Định lí 1 : Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a , 0).
• f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi
8
<
:
a > 0
∆ ≤ 0.
• f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ R khi và chỉ khi
8
<
:
a < 0
∆ ≤ 0.
Chú ý : Định lí 1 còn đúng khi điều kiện của ta không phải là mọi x ∈ R mà thay bàng điều kiện với mọi x khác x1, x2, . . .
Bài toán 2 : Tìm các giá trị của tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên (a; b) trong đó ít nhất a hoặc
b là hữu hạn.
Cơ sở bài toán là định lí sau :
Định lí 2 : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là max f (x),min f (x).
• f (x) ≥ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi min f (x) ≥ m;
• f (x) ≤ m với mọi x ∈ D khi và chỉ khi max f (x) ≤ m.
Một cách tổng quát với bài toán phương trình, bất phương trình có tham số chúng ta làm như sau :
• Chuyển vế phương trình, bất phương trình về dạng một vế chỉ chứa ẩn (vế trái) và một vế chỉ chứa tham số;
• Lập bảng biến thiên của hàm số vế trái (hạn chế bảng biến thiên với điều kiện của ẩn đang xét);
• Tính đầu và cuối tất cả các mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản);
• Sử dụng định lí 2.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 84
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài toán 3 : Tìm các giá trị của tham số biết độ dài của khoảng đồng biến hoặc nghịch biến.
Với bài toán này ta phải lập bảng biến thiên và tính trực tiếp các nghiệm của y′ = 0 hoặc sử dụng định lí Viét.
Bài 5.3 : Tìm m để hàm số : y = −1
3 
x3 + 2x2 + (2m + 1)x − 3m + 2 nghịch biến trên R.
Bài 5.4 : Tìm m để hàm số : y = x3 + (m − 1)x2 + (m2 − 4)x + 9 đồng biến trên R.
Bài 5.5 : Cho hàm số y = (m2 − 1) x
3
3 + (m + 1)x
2 
+ 3x + 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Bài 5.6 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + 4 đồng biến trên R.
Bài 5.7 : Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số :
y = x3 + (m − 1)x2 + (m2 − 4)x + 9
đồng biến trên R.
Bài 5.8 : Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + 4. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
Bài 5.9 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x
2 − 2mx − (m3 − m2 + 2)
x − m nghịch biến trên các khoảng xác định.
Bài 5.10 : Tìm m để hàm số y = x + m sin x đồng biến trên R.
Bài 5.11 : Tìm m để hàm số y = 3 sin x − 4 cos x − mx + 1 đồng biến trên R.
Bài 5.12 : Tìm m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R.
Bài 5.13 : Tìm m đếh y = (2m + 3) sin x + (2 − m)x đồng biến trên R.
Bài 5.14 : Tìm m để hàm số y = (m − 3)x − (2m + 1) cos x nghịch biến trên R.
–
Bài 5.15 : Xác định k để hàm số y = (k2 − 2k) x
2
3
™
+ kx + 3 x đồng biến trên tập xác định.
Bài 5.16 : Tìm m để hàm số y =
x2 + mx − 1
x − 1 có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó.
Bài 5.17 : Cho hàm số y = (m + 1)x
2 − 2mx − 3m3 + m2 − 2
x − m . Tìm m sao cho hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
Bài 5.18 : Chứng minh rằng hàm số :
y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m + 1)
không thể luôn đồng biến
Bài 5.19 : Cho hàm số y = −x3 − 3x2 + mx + 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng
(0; +∞).
Bài 5.20 : Tìm a sao cho hàm số :
1. y = x2(a − x) − a tăng trong khoảng (1; 2). 2. y = −x3+ (a−1)x2+ (a+3)x tăng trong khoảng (0; 3).
Bài 5.21 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m. Với những giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng
(−1; 1).
Bài 5.22 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x3 − 2mx2 + x đồng biến trên khoảng (0; 1).
Download tài liệu học tập tại :  Trang 85
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 5.23 : Cho hàm số : y = − x
3
3
+ (m − 1)x2 + (m + 3)x − 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng
(0; 3).
Bài 5.24 : Tìm m để hàm số : y = x2(m − x) − m đồng biến trên khoảng (1; 2).
Bài 5.25 : Cho hàm số : y =
1
3 x
3 − mx2 + (2m − 1)x − m + 2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịc biến trên khoảng
(−2; 0).
Bài 5.26 : Cho hàm số : y = 2x3 + 3mx2 − 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Bài 5.27 : Xác định m để hàm số : y = x3 −3(2m+1)x2 + (12m+5)x+2 đồng biến trên cả hai khoảng (−∞; −1) và (2;+∞).
Bài 5.28 : Cho hàm số y = −13 x
3 − mx2 + (2m − 1)x − m + 2.
Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (−2;+∞).
Bài 5.29 : Tìm m để : y =
m
3 x
3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + 13 đồng biến trên khoảng (2; +∞).
Bài 5.30 : Tìm m để : y =
1
3 x
3 − (m + 1)x2 + m(m + 2)x + 7 đồng biến trên [4; 9].
Bài 5.31 : Cho hàm số y = x + 3
x − m . Tìm m sao cho hàm số :
1. tăng trên (1; +∞) ; 2. giảm trên (−∞; 2).
Bài 5.32 : Cho hàm số : y = x
2 − 2mx + 3m2
x − 2m .
1. Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; +∞).
Bài 5.33 : Cho hàm số : y =
2x2 + (1 − m)x + 1 + m
−x + m . Xác định m để hàm số nghịch biến trên (2; +∞).
Bài 5.34 : Tìm k để hàm số y = 2x
2
+ kx + 2 − k
x + k − 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Bài 5.35 : Cho hàm số y =
x2 − (m + 1)x + 4m2 − 4m − 2
x − (m − 1) . Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Bài 5.36 : Cho hàm số y = 2x
2 − 3x + m
x − 1 . Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +∞).
Bài 5.37 : Cho hàm số : y =
x2 − 2mx + 2 + m
x − m . Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞).
Bài 5.38 : Tìm m để : y = 2x
2
+ (1 − m)x + 1 + m
x − m đồng biến trên (1; +∞).
Bài 5.39 : Cho hàm số : y =
mx2 + x + m
mx + 1 
. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Bài 5.40 : Tìm m để : y = mx
2
+ 6x − 2
x + 2 
nghịch biến trên (1; +∞).
Bài 5.41 : Tìm m để hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (−1; 1).
Bài 5.42 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên các khoảng (−∞; −1] và [2;+∞).
Bài 5.43 : Tìm m để hàm số : y =
m
3 x
3 
+ 2(m − 1)x2 + (m − 1)x + m đồng biến trên các khoảng (−∞; 0] và [2;+∞).
Bài 5.44 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 6mx2 + 2(12m − 5)x + 1 đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (3;+∞).
Bài 5.45 : Tìm m để hàm số : y = m − 1
3 
x3 + mx2 + (3m − 2)x đồng biến trên R.
Bài 5.46 : Tìm m để hàm số : y = x3 − mx2 − (2m2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) đồng biến trên [2;+∞).
Bài 5.47 : Tìm m để hàm số :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 86
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 5.48 : Tìm m để hàm số : y =
2
3 x
3 
+ (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x − m2 đồng biến trên [1;+∞).
Bài 5.49 : Tìm m để hàm số : y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 1 đồng biến trên [2; +∞).
Bài 5.50 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3m(m − 2)x + 1 đồng biến trên các đoạn [−2; −1] và [1; 2].
Bài 5.51 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 2x2
•
+ mx − 1 đồng biến trên 0;
‹1
3 .
Bài 5.52 : Tìm m để hàm số : y =
2x2 − 3x + m
x − 1 đồng biến trên (3; +∞).
Bài 5.53 : Tìm m để hàm số : y = −2x
2 − 3x + m
2x + 1 

nghịch biến trên −1
2
;+
‹
∞ .
Bài 5.54 : Tìm m để hàm số : y = mx
2 − (m + 1)x − 3
x 
đồng biến trên [4;+∞).
Bài 5.55 : Tìm m để hàm số : y =
(2m − 1)x2 − 3mx + 5
x − 1 đồng biến trên [2; 5].
Bài 5.56 : Tìm m để hàm số : y =
x2 − 2mx + 3m2
x − 2m đồng biến trên (1; +∞).
Bài 5.57 : Tìm m để hàm số : y = x
2 − 2mx + m + 2
x − m đồng biến trên (1; +∞).
Bài 5.58 : Tìm m để hàm số : y =
2x2 + mx + 2 − m
x + m − 1 đồng biến trên (1; +∞).
Bài 5.59 : Tìm m để hàm số : y =
x2 − 8x
8(x + m) đồng biến trên (1; +∞).
Bài 5.60 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3.
Bài 5.61 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1.
Bài 5.62 : Tìm các giá trị của m để hàm số y = −x3 + 6x2 + mx + 5 đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 1.
Vấn đề 3 : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến số

Bài toán 1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b].
1. Tính y′ = f ′(x), giải phương trình f ′(x) = 0 được các nghiệm xi ∈ [a; b].
2. Tính y(a) = f (a), y(b) = f (b), y(xi) = f (xi).
3. GTLN trong các giá trị trên là max
x∈[a;b]
f (x), GTNN trong các giá trị trên là min
x∈[a;b]
f (x).
Bài toán 2 : GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên miền D tổng quát.
1. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) chỉ xét với x ∈ D .
2. Tính các giá trị dầu và cuối mũi tên (tính trực tiếp hoặc qua các giới hạn cơ bản).
3. Căn cứ bảng biến thiên ta có được GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.
Bài 5.63 : Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số y =
3x − 1
x − 3 trên [0; 2].
Bài 5.64 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 87
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. y =
x2 + x + 1
x 
(x>0);
2. y = 1 + 4x − x2;
3. y = x4 − 2x2 + 5 (x ∈ [−2; 3]);
4. y =
√
x − 2 + √4 − x;
5. y =
2x2 + 4x + 5
x2 + 1 
;
6. y = 2x −
√
1 − x2;
7. y =
x + 3√
x2 + 1
;
8. y = x +
9
x 
trên [2; 4];
• ˜
9. y = x +
√
2 cos x trên 0; π
2 
;
10. y = x +
√
4 − x2;
11. y =
x + 1√
x2 + 1 
trên [−1; 2];
•
12. y =
x
2 
+ sin2 x trên −π
2
;
˜
π
 ... 3 − 9x2 + 12x + log2(m − 1) = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
(b) Phương trình 2|x|3 − 9x2 + 12|x| + m = 0 có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
(c) Phương trình |2x3 − 9x2 + 12x − 4| + 2m − 1 = 0 có nhiều hơn ba nghiệm thực phân biệt.
(d) Phương trình sin 3x − 9 cos 2x − 27 sin x + 4m − 5 = 0 có nghiệm.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết
(a) Hoành độ tiếp điểm bằng -1.
(b) Tung độ tiếp điểm bằng 1.
(c) Tiếp tuyến đi qua A(0; 1) và hoành độ tiếp điểm là số nguyên.
(d) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 12.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 121
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(e) Hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.
(f) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y − 36x + 5 = 0.
4. Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm E(1; −2).
5. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua B(2; 0). Tìm k để đường thẳng d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt khác B
sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
√
2
2 
.
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành.
7. Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C ) và trục hoành quanh trục Ox.
Bài 5.420 : Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 có đồ thị là (Cm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số có cực trị và
(a) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ.
(b) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 
√
5.
(c) Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 bằng 115 , biết m > 0.
(d) Chứng minh rằng khi đó hai điểm cực trị cách đều đường thẳng x = 1. Viết phương trình đường thẳng qua hai
điểm cực trị đó.
3. Tìm m để hàm số
(a) Nghịch biến trên tập xác định.
(b) Nghịch biến trên (−∞; 2).
(c) Đồng biến trên (−3; 5).
4. Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm E(−1; 2).
5. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 5.421 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng dk lần lượt có phương trình là
y = −x3 + mx2 − m và y = kx + k + 1.
1. Với m = 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
(a) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A, B. Chứng
minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
(b) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C).
(c) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
(d) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp
điểm là điểm cố định.
(e) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C).
2. Với m là tham số
Download tài liệu học tập tại :  Trang 122
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(a) Tìm điểm cố định của (Cm). Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuông góc nhau.
(b) Định m để (Cm) có 2 điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.
(c) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
(d) Định m để hàm số đồng biến trong (1; 2).
(e) Định m để hàm số nghịch biến trong (0; +∞).
(f) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
(g) Tìm điều kiện giữa k và m để dk cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để dk cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.
(h) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (−1; 1).
(i) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Bài 5.422 : Cho hàm số y = x4 + 8ax3 − 4(1 + 2a)x2 + 3 có đồ thị là (Ca).
1. Khi a = 0 :
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0).
(b) Xác định m để tiếp tuyến với (C0) tại M có hoành độ m cắt (C0) tại hai điểm P, Q khác điểm M. Tìm quỹ tích
trung điểm I của PQ khi M thay đổi. Xác định m để m là trung điểm PQ.
2. Khi a = −1
2 
:
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C− 12 ).
(b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C− 12 ) và có hệ số góc bằng -8. Tìm tọa độ các tiếp điểm.
3. Khi a chưa biết :
(a) Biện luận theo a số điểm cực trị của hàm số. Tìm a để hàm số chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại.
(b) Trong trường hợp đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, hãy viết phương trình parabol đi qua ba điểm cực trị này.
Bài 5.423 : Cho hàm số y = (m + 1)x
2 − 2mx − (m3 − m2 − 2)
x − m có đồ thị (Cm).
1. Khi m = −1 :
(a) Gọi dm là đường thẳng có phương trình y = 2x +m. Chứng minh rằng dm luôn cắt (C−1) tại hai điểm A, B phân
biệt. Xác định m để AB ngắn nhất.
(b) Tim hai điểm M, N thuộc hai nhánh của (C−1) để khoảng cách MN là ngắn nhất.
(c) Tìm M thuộc (C−1) để IM là ngắn nhất với I là giao điểm hai đường tiệm cận. Trong trường hợp này hãy chứng
tỏ tiếp tuyến với (C−1) tại M sẽ vuông góc với IM.
2. Khi m = 1 :
(a) Biện luận theo k số tiếp tuyến kẻ từ K(0; k) đến (C1);
(b) Tìm các điểm trên Ox các điểm từ đó vẽ được đúng 1 tiếp tuyến với (C1);
(c) Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm J thuộc (C1), ∆ cắt hai đường tiệm cận tại E, F. Chứng minh rằng khi đó J là trung
điểm EF và tam giác IEF có diện tích không đổi.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 123
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 5.424 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 4 cắt đường thẳng y = mx + 2 tại ba điểm phân
biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Bài 5.425 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =
x2 + 3x − 2
x + 1 
cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho OA⊥OB.
Bài 5.426 : Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng y = −3x + 2 sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm
số y = x3 − 3x + 2 và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài 5.427 : Chứng minh rằng với ba điểm A, B,C phân biệt thuộc đồ thị hàm số y = x + 1
x − 2 thì trực tâm của tam giác ABC
cũng thuộc đồ thị hàm số này.
Bài 5.428 : Chứng minh rằng với mọi m , 0 thì đồ thị hàm số y = x4 − (m2 + 10)x2 + 9 luôn cắt trục hoành tại bốn điểm
phân biệt trong đó có hai điểm nằm trong khoảng (−3; 3) và hai điểm nằm ngoài khoảng (−3; 3).
Bài 5.429 : Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 9x − m đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho |x1 − x2| ≤ 2.
Bài 5.430 : Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + 1
x − 2 , biết các tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 3x + y = 0.
Bài 5.431 : Tìm m để đường thẳng 2x + 2y − 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y = m − x
x + 2 
tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành
một tam giác có diện tích bằng
3
8 .
Bài 5.432 : Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y =
x
x − 1 , biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số này tại M cắt hai trục Ox,Oy tại
hai điểm A, B và tam giác OAB có số đo các góc lập thành một cấp số cộng.
Bài 5.433 : Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y =
−2x2 + 3x − 3
x − 1 và cách đều hai đường tiệm cận.
Bài 5.434 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx
2
+ (m2 + 1)x + 4m2 + m
x + m 
có một điểm cực trị thuộc góc
phần tư thứ II và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ IV của mặt phẳng tọa độ.
Bài 5.435 : Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số y = 2x + 1
x + 1 
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y =
x
4 
+ 2 có giá
trị nhỏ nhất.
Bài 5.436 : Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 +mx có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau
qua đường thẳng x − 2y − 5 = 0.
Bài 5.437 : Tìm m để hàm số y =
1
3(m + 1)x
3 −mx2 + 2(m − 1)x − 23 đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + x2 = 1.
Bài 5.438 : Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x4 − 2m(m − 1)x2 +m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh
của một tam giác vuông.
Bài 5.439 : Cho hàm số y = 8x4 − 9x2 + 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
8 cos4 x − 9 cos2 x + m = 0 với x ∈ [0; π].
Bài 5.440 : Tìm m để đường thẳng x + y − m + 1 = 0 cắt đồ thị hàm số y = −2x + 3
x + 1 
tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
IA⊥IB, với I(−1; 4).
Bài 5.441 : Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 8.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 124
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 5.442 : Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x + 1
x − 1 tạo với hai tiệm cận một tam giác có diện tích
không đổi.
Bài 5.443 : Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị hàm số y = x − 1
x + 1 
tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua
đường thẳng x − 2y + 3 = 0.
Bài 5.444 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 2, biết tiếp tuyến này đi qua điểm A(0; 2).
Bài 5.445 : Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y = 13 x
3 − mx2 + (2m − 1)x − m + 2 có hai điểm cực trị với hoành độ
dương.
Bài 5.446 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(mx)2 + 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.
Bài 5.447 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm số y =
2x + 1
x + 1 
sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai tiệm cận là nhỏ
nhất.
Bài 5.448 : Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x3 − 3(m+ 1)x2 + 2mx −m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng
khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng x = 1.
Bài 5.449 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx2 + 2(m − 1)x − 1 −m có các điểm cực đại, cực tiểu. Chứng minh rằng
khi đó hai điểm cực trị luôn cách đều đường thẳng x = 1.
Bài 5.450 : Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tìm a > 0 để phương trình |x3 − 3x + 2| = log2 a có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.
Bài 5.451 : Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1 đạt cực đại tại x1, đạt cực tiểu tại x2 thỏa
mãn x21 = x2.
Bài 5.452 : Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x − 1
x − 1 , biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại
A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Bài 5.453 : Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số y = x4 + 2m2x2 + 1 tại hai điểm phân biệt với
mọi giá trị của m.
Bài 5.454 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn có cực
đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu là không đổi.
Bài 5.455 : Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx − m + 2 cắt đồ thị hàm số y = 2x
x − 1 tại hai điểm phân biệt A, B
và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 5.456 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 3m + 1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng
thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác có diện tích bằng 1.
Bài 5.457 : Tìm điểm M thuộc dồ thị hàm số y =
2x − 1
x + 1 
sao cho khoảng cách từ điểm I(−1; 2) tới tiếp tuyến tại M là lớn
nhất.
Bài 5.458 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =
x2 − (m + 5)x + m
x − 1 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 sao cho T = |x1 − x2| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5.459 : Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =
x2 − 2mx + m2
x − 1 tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của
đồ thị tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y = x.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 125
Download tài liệu học tập tại :