Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 2: Bất đẳng thức

ao
tra
ng
tb.
com
Chương 2
Bất đẳng thức
2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy
2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng và tích
Cho ba số không âm a, b, c, ta có :
1.
a + b
2 
≥ √ab, dấu bằng xảy ra khi a = b ;
2.
a + b + c
3 ≥
3√
abc, dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp
Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo và tổng.
Cho ba số dương a, b, c có :
1.
1
a 
+
1
b ≥
4
a + b ; 2.
1
a 
+
1
b +
1
c 
≥ 9
a + b + c .
Hệ quả 2 : So sánh giữa tổng bình phương và tồng.
Cho ba số thực a, b, c có :
1. 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 ; 2. 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c).
Hệ quả 3 : So sánh giữa tổng, tổng bình phương và tích.
Cho ba số thực a, b, c có :
1. (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ; 2. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.
2.1.3 Bài tập đề nghị
Bài 2.1 : Cho a, b, > 0. Chứng minh rằng :
ab(a + b)
2 
≤

a + b
2
‹3
≤ (a + b)(a
2 
+ ab + b2)
6 ≤
a3 + b3
2 
≤ (a
2 
+ b2)3
(a + b)3 .
Bài 2.2 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :
37
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
1
a 
+
1
b ≥ 4 ; 2.
1
a 
+
1
b + a + b ≥ 5.
Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng :
1. a + b + c ≥ ab + bc + ca ; 2. √a + √b + √c ≥ ab + bc + ca.
Bài 2.4 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : (1 + x)(1 + y) ≥ (1 + √xy)2.
Bài 2.5 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : x2 + y2 + 1
x
+
1
y 
≥ 2( √x + √y).
Bài 2.6 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 1
x2 + y2 
+
1
xy
.
Bài 2.7 : Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = x
x + 1
+
y
y + 1
+
z
z + 1
.
Bài 2.8 : Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng : a
2
a + 1 
+
b2
b + 1 ≥
1
3 .
Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
1
a + 3b +
1
b + 3c +
1
c + 3a ≥
1
2a + b + c +
1
2b + c + a +
1
2c + a + b .
Bài 2.10 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 đều có :
1.
1
a(b + c) +
1
b(c + a) +
1
c(a + b) ≥
27
2(a + b + c)2 ; 2.
1
a(a + b) +
1
b(b + c) +
1
c(c + a) ≥
27
2(a + b + c)2 .
Bài 2.11 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab + 1
ab .
Bài 2.12 : Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b√
ab
+
√
ab
a + b .
Bài 2.13 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 3
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c + 1
a 
+
1
b +
1
c
.
Bài 2.14 : Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z đều có : x2 + y2 + z2 ≥ √2(xy + yz).
Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 4. Chứng minh rằng :
ab
a + b + 2c +
bc
b + c + 2a +
ca
c + a + 2b ≤ 1.
Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
ab
a + 3b + 2c +
bc
b + 3c + 2a +
ca
c + 3a + 2b ≤
a + b + c
6 .
Bài 2.17 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1.
a + b
c 
+
b + c
a 
+
c + a
b ≥ 6 ;
2.
a
b + c +
b
c + a
+
c
a + b ≥
3
2 
;
3.
a2
b + c +
b2
c + a
+
c2
a + b ≥
a + b + c
2 
;
4.
a3
b + c +
b3
c + a
+
c3
a + b ≥
a2 + b2 + c2
2 
.
Bài 2.18 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
1. P =
a2
b + c +
b2
c + a
+
c2
a + b ;
2. Q = a
3
b + c +
b3
c + a 
+
c3
a + b ;
3. R =
a2 
√
a
b + c +
b2 
√
b
c + a
+
c2 
√
c
a + b ;
4. S = bc
a2b + a2c +
ca
b2c + b2a +
ab
c2a + c2b ;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 38
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > 0 và xyzt = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
1
x3(yz + zt + ty) +
1
y3(zt + tx + xz) +
1
z3(tx + xy + yt) +
1
t3(xy + yz + zx) .
Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
1. P =
a
b + 2c +
b
c + 2a 
+
c
a + 2b . 2. Q =
a
b + mc +
b
c + ma 
+
c
a + mb , m ∈ N,m > 2.
1
Bài 2.21 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; 2. bc
a
+
ca
b +
ba
c 
≥ a + b + c.
Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
1.
a
b + c − a +
b
c + a − b +
c
a + b − c ≥ 3 ; 2.
a2
b + c − a +
b2
c + a − b +
c2
a + b − c ≥ a + b + c.
Bài 2.23 : 1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng :
(p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc8 .

2. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng :
4(a3 + b3 + c3) + 15abc ≥ 27.
Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
1
a 
− 1
‹1
b − 1
‹1
c 
− 1
‹ ‹1
d − 1 ≥ 81.
Bài 2.25 : Cho a, b ≥ 1. Chứng minh rằng : a √b − 1 + b √a − 1 ≤ ab.
Bài 2.26 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng : ab + bc + ca + abc ≤ 10
27
.
Bài 2.27 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 2
a2 + bc ≤
1
2
 1
ab +
‹1
ac 
.
Bài 2.28 : Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng : 3
ab +
2
a2 + b2 ≥ 16.
Bài 2.29 : Cho a, b, c > 0 và 1
1 + a 
+
1
1 + b +
1
1 + c 
≥ 2. Chứng minh rằng : abc ≤ 18 .
Bài 2.30 : Cho a > b > 0 và ab = 1. Chứng minh rằng : a
2
+ b2
a − b ≥ 2 
√
2.

Bài 2.31 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (1 + x) 1 + 1
y 


+ (1 + y) 1 + 1
x 
‹
với x, y > 0 thỏa mãn x2 + y2 = 1.
Bài 2.32 : Cho x, y, z > 1 thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
P =
y − 2
x2
+
z − 2
y2
+
x − 2
z2 
.
Bài 2.33 : Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng :
alogb c + blogc a + cloga b ≥ 3 3
√
abc.
1Một cách tổng quát, tìm giá trị nhỏ nhất của R =
a
xb + yc
+
b
xc + ya
+
c
xa + yb 
với a, b, c, x, y là những số dương
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 39
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Bài 2.34 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
1 +
1
a 
‹
1 +
1
b 
‹
1 +
1
c 
‹
≥ 64.

Bài 2.35 : Cho a, b > 0. Chứng minh rằng : (a + b)2 + 1
a 
+
1
b
‹2
≥ 8.
Bài 2.36 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
bc
a2b + a2c +
ca
b2c + b2a +
ab
c2a + c2b ≥
1
2
1
a
+
1
b
‹
+
1
c 
.
Bài 2.37 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
ab
a + b +
bc
b + c +
ca
c + a 
≤ a + b + c
2 
.
Bài 2.38 : Cho a ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 1
a
.
Bài 2.39 : Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 1
a2 
.
Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = a + b + c + 1
abc .
Bài 2.41 : Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x√
1 − x +
y√
1 − y .
Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = 3
√
a + b + 3
√
b + c + 3
√
c + a.
Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
È
3 
a(b + 2c) +
È
3 b(c + 2a) +
È
3 
c(a + 2b).
Bài 2.44 : Cho a ≥ 2; b ≥ 6; c ≥ 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S = bc 
√
a − 2 + ca 3√b − 6 + ab 4√c − 12
abc .

Bài 2.45 : Chứng minh rằng : ab +
b
c
+
c
a
‹2
≥ 3
2

a + b
c
+
b + c
a
+
c + a
b 
‹
với mọi a, b, c > 0.
Bài 2.46 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a3
(a + b)(a + c) +
b3
(b + c)(b + a) +
c3
(c + a)(c + b) ≥
3
4
.
Bài 2.47 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a3
b(2c + a) +
b3
c(2a + b) +
c3
c(2b + c) ≥ 1.
Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng :
a3
b + 2c +
b3
c + 2a 
+
c3
a + 2b ≥
1
3 .
Bài 2.49 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng :
a3
a + b +
b3
b + c +
c3
c + a 
≥ 1
2
.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 40
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
a√
1 + a2
+
b√
1 + b2
+
c√
1 + c2 
≤ 3
2
.
Bài 2.51 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
1
a(a + b) +
1
b(b + c) +
1
c(c + a) ≥
9
2
.
Bài 2.52 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
a
(b + c)2 +
b
(c + a)2 +
c
(a + b)2 ≥
9
4
.
Bài 2.53 : Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng : ab
c 
+
bc
a 
+
ca
b ≥ 3.
Bài 2.54 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
bc√
a + bc
+
ca√
b + ca
+
ab√
c + ab 
≤ 1
2
.
Bài 2.55 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2. Chứng minh rằng :
bc√
2a + bc
+
ca√
2b + ca
+
ab√
2c + ab 
≤ 1.
Bài 2.56 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :
a3
(1 + b)(1 + c) +
b3
(1 + c)(1 + a) +
c3
(1 + a)(1 + b) ≥
3
4
.
Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :
1
a3(b + c) +
1
b3(c + a) +
1
c3(a + b) ≥
3
2
.
Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1
a 
+
1
b +
1
c 
≥ 2
 1
a + b +
1
b + c +
‹1
c + a 
.
Bài 2.59 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng : 1
a2 + 2bc +
1
b2 + 2ca +
1
c2 + 2ab ≥ 9.
Bài 2.60 : Cho a, b > 0 và + b ≤ 1. Chứng minh rằng : 1
a2 + b2 +
1
ab ≥ 6.
Bài 2.61 : Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1. Chứng minh rằng : 1
a2 + b2 +
1
ab + 4ab ≥ 7.
Bài 2.62 : Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
1
a + 2b + 3c +
1
b + 2c + 3a +
1
c + 2a + 3b <
3
16 .
Bài 2.63 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =
a
1 + b − a +
b
1 + c − b +
c
1 + a − c với a, b, c > 0 và a + b + c = 1.
Bài 2.64 : Cho x, y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
x
y2 + z2 
+
y
z2 + x2 
+
z
x2 + y2 
.
Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
(x + y)(1 − xy)
(1 + x2)2(1 + y2)2 .
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 41
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P =
√
2x + 3 +
√
2y + 3 +
√
2z + 3.
Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng : 8x + 8y + 8z ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1.
Bài 2.68 : Cho 0 < a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e và a + b + c + d + e = 1. Chứng minh rằng :
a(bc + be + cd + de) + cd(b + e − a) ≤ 1
25 .
Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
a2
a + bc +
b2
b + ca +
c2
c + ab ≥
a + b + c
4 
.
È
Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
b + c
a +
3 4(b3 + c3)
+
c + a
b +
È
3 4(c3 + a3)
+
a + b
c +
È
3 4(a3 + b3) 
≤ 2.
Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
1
a3 + b3 + abc +
1
b3 + c3 + abc +
1
c3 + a3 + abc ≤
1
abc .
Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
a3 + b3
a2 + ab + b2 +
b3 + c3
b2 + bc + c2 +
c3 + a3
c2 + ca + a2 
≥ 2.
Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
2 
√
a
a3 + b2 +
2 
√
b
b3 + c2 +
2 
√
c
c3 + a2 
≤ 1
a2
+
1
b2 +
1
c2 
.
Bài 2.74 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1
a2 + bc +
1
b2 + ca +
1
c2 + ab ≤
a + b + c
2abc .
Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao cho ab + bc + ca ≥ 1. Chứng minh rằng :
a3
b2 + 1 +
b3
c2 + 1 
+
c3
a2 + 1 
≥
√
3
4 
.
 ... rang 44
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
1
x 
+
1
y 
+
1
z 
= 4. Chứng minh rằng :
1
2x + y + z 
+
1
x + 2y + z 
+
1
x + y + 2z 
≤ 1.
Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x , 0, y , 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x2 + y2 − xy. Tim giá trị lớn
nhất của biểu thức A =
1
x3
+
1
y3 
.
Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
P =
x2(y + z)
y √y + 2z √z +
y2(z + x)
z 
√
z + 2x 
√
x
+
z2(x + y)
x 
√
x + 2y √y .
Bài 2.112 (A09) : Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có :
(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z)3.
Bài 2.113 (B05) : Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có :
12
5
‹x 
+
15
4
‹x 
+
20
3
‹x
≥ 33 + 4x + 5x.
Khi nào đẳng thức xảy ra.
Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A =
È
(x − 1)2 + y2 +
È
(x + 1)2 + y2 + |y − 2|.
Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = x 

x
2
+
1
yz


+ y 
y
2
+
1
xz
‹
+ z 

z
2
+
1
xy 

.
Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P =
2(x2 + 6xy)
1 + 2xy + 2y2 
.
Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = 3(x4 + y4 + x2 + y2) − 2(x2 + y2) + 1.
È
Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
3(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2 
√
a2 + b2 + c2.
Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
1 + x3 + y3
xy 
+
È
1 + y3 + z3
yz 
+
√
1 + z3 + x3
zx 
≥ 3 
√
3.

Bài 2.120 (D07) : Cho a ≥ b > 0. Chứng minh rằng : 2a + 1
2a
‹b 
≤ 2b + 1
2b
‹a
.
Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
(x − y)(1 − xy)
(1 + x)2(1 + y)2 .
Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
Bài 2.123 (D10) : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
√
−x2 + 4x + 21 −
√
−x2 + 3x + 10.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 45
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2.5 Bài tập tổng hợp
Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S = 4
x
+
1
4y
.
Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh ab +
c
d ≥
b2 + b + 50
50b
và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = ab +
c
d .

Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
√
3 + 4x +
√
3 + 4y +
√
3 + 4z ≥ 6.
Bài 2.127 : Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có :
(1 + x) 1 + y
x 
‹
‚
1 + 9√y
Œ2
≥ 256.
Đẳng thức xảy ra khi nào.
Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c = 3
4
. Chứng minh rằng :
3√
a + 3b + 3
√
b + 3c + 3
√
c + 3a ≤ 3.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 2.129 : Chứng minh rằng 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x √y − y √x ≤ 1
4
. Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng :
x2
1 + y
+
y2
1 + z
+
z2
1 + x 
≥ 3
2
.
Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + xy + y2 ≤ 3. Chứng minh rằng :
−4 
√
3 − 3 ≤ x2 − xy − 3y2 ≤ 4 
√
3 − 3.
Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3−x + 3−y + 3−z = 1. Chứng minh rằng :
9x
3x + 3y+z
+
9y
3y + 3z+x
+
9z
3z + 3x+y 
≥ 3
x 
+ 3y + 3z
4 
.
Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi và thoả mãn điều kiện x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
3x2 + 4
4x 
+
2 + y3
y2 
.
Bài 2.134 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x +
11
2x 
+
r

4 1 +
‹
È È
È
7
x2 
, x > 0.
Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 3 4(x3 + y3) + 3 4(y3 + z3) + 3 4(z3 + x3) + 2 

x
y2 
+
y
z2 
+
z
x2 

.
Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = 3. Chứng minh rằng :
3a
b + 1 +
3b
a + 1
+
ab
a + b ≤ a
2
+ b2 + 3
2
.
Bài 2.137 : Cho x, y > 0 và xy = 100. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y2
x − y .
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 46
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.138 : Giả sử phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]. Xác định a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất, trong đó P =
(a − b)(2a − c)
a(a − b + c) .
Bài 2.139 : Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x2 +
1
y2 


y2 +
‹1
x2 
.
Bài 2.140 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c là các số nguyên không âm :
3 ≤ 1 +
√
a
1 +
√
b
+
1 +
√
b
1 +
√
c
+
1 +
√
c
1 +
√
a 
≤ 3 + a + b + c.
Bài 2.141 (*) : Cho 6 số thực x1, x2, . . . , x6 ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng :
(x1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x4)(x4 − x5)(x5 − x6)(x6 − x1) ≤ 116 .
Bài 2.142 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : 2x
x6 + y4
+
2y
y6 + z4
+
2z
z6 + x4 
≤ 1
x4
+
1
y4
+
1
z4 
.
Bài 2.143 : Cho x1, x2, x3, x4 > 0 thỏa mãn
P
4
i=1 
x1 = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T =
P
P
4
i=1 
x4i
4
i=1 
x3i
.
Bài 2.144 : Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
x
x4 + y2 
+
y
x2 + y4 
.
Bài 2.145 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = x + y. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x3 + y3 + x2y + xy2.
Bài 2.146 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
1
xy + z2 
+
1
yz + x2 
+
1
zx + y2 
.
Bài 2.147 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng
1
a(2a − 1)2 +
1
b(2b − 1)2 +
1
c(2c − 1)2 ≥
1
2
.
Bài 2.148 : Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x2
y2 
+ 9 y
3
x3 
.
Bài 2.149 : Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy + yz +
zx +
5
x + y + z
.
Bài 2.150 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
3
x2 + yz
+
y3
y2 + zx
+
z3
z2 + xy
.
Bài 2.151 : Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 13x + 5y + 12z = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy
2x + y 
+
3yz
2y + z 
+
6xz
2z + x
.
Bài 2.152 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của A = x3(y + z) + y3(z + x) +
z3(x + y).
Bài 2.153 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 1, u2 + v2 + 16 = 8u + 4v. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = 8u + 4v − 2(ux + vy).
Download tài liệu học tập tại :  Trang 47
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 2.154 : Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện a + b + c =
√
3. Tính giá trị nhỏ nhất của
P =
√
a2 + ab + b2 +
√
b2 + bc + c2 +
√
c2 + ca + a2.
Bài 2.155 : Cho x, y ∈ R thỏa mãn x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0. Chứng minh rằng
x2 − y2 + 2 
√
3xy − 2(1 + 2 
√
3)x + (4 − 2 
√
3)y ≤ 5 − 4 
√
3.
Bài 2.156 : Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng
8x + 8y + 8z ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 2.157 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
x2(y + z)
yz
+
y2(z + x)
zx
+
z2(x + y)
xy 
.
Bài 2.158 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 8. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
1
2a + b + 6 +
1
2b + c + 6 +
1
2c + a + 6 .
Bài 2.159 : Cho x, y > 0 và thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng x√
1 − x2
+ È
y
1 − y2
≥ 2√
3
.
Bài 2.160 : Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x3 + y3 − (x2 + y2).
Bài 2.161 : Cho a, b, c là các số thực không âm, khác nhau từng đôi một và thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 4. Chứng
minh rằng
1
(a − b)2 +
1
(b − c)2 +
1
(c − a)2 ≥ 1.
Bài 2.162 : Cho x, y, z là ba số thực thuộc (0; 1]. Chứng minh rằng
1
xy + 1 
+
1
yz + 1 
+
1
zx + 1 
≤ 5
x + y + z
.
Bài 2.163 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a 
 1
3a + b +
1
3a + c
+
2
2a + b + c
‹
+
b
3a + c
+
c
3a + b < 2.
Bài 2.164 : Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng
1
a + b +
1
b + c +
1
c + a 
≥ 4
a2 + 7 
+
4
b2 + 7 +
4
c2 + 7
.
Bài 2.165 : Cho x, y ∈ R, chứng minh rằng |x − y|
1 + |x − y| ≤
|x|
1 + |x| +
|y|
1 + |y| .
Bài 2.166 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4x + y
xy
+
2x − y
4 
.
Bài 2.167 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (1 + a)(1 + b)(1 + c)(1 − a)(1 − b)(1 − c) .
Bài 2.168 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng :
1. c 
√
ab ≥ 1 +
√
1 + c2;
Download tài liệu học tập tại :  Trang 48
ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. ab + bc + ca ≥ 3 +
√
a2 + 1 +
√
b2 + 1 +
√
c2 + 1.
Bài 2.169 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng :
1
1 + a2(b + c) +
1
1 + b2(c + a) +
1
1 + c2(a + b) ≤
1
abc .
Bài 2.170 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
1
x + y + 1
+
1
y + z + 1
+
1
z + x + 1 
≤ 1.
Bài 2.171 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng 2 
√
x
x3 + y2 
+
2 √y
y3 + z2 
+
2 √z
z3 + x2 
≤ 1
x2 
+
1
y2 
+
1
z2 
.
Bài 2.172 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
4a
b + c − a +
9b
c + a − b +
16c
a + b − c ≥ 26.

Bài 2.173 : Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng :
a2 + b + 3
4 
‹
b2 + a + 3
4 
‹ 
≥ 2a + 1
2 
‹
2b
‹
+
1
2 
.
Bài 2.174 : Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = a. Chứng minh rằng :
a2 + b
b + c +
b2 + c
c + a 
+
c2 + a
a + b ≥ 2.
Bài 2.175 : Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng :
x2 − xy
x + y
+
y2 − yz
y + z
+
z2 − zx
z + x 
≥ 0.
Bài 2.176 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1
a2 
+
1
b2 +
1
c2 
+ 3 ≥ 2(a + b + c).
Bài 2.177 : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = yz
3x
. Chứng minh rằng x ≤ 2 
√
3 − 3
6 (y + z).
Bài 2.178 : Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x ≤ π3 và 0 ≤ y ≤
π
3 . Chứng minh rằng cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy).
Bài 2.179 : Cho số nguyên n (n > 2) và hai số thực không âm x, y. Chứng minh rằng n
√
xn + yn ≥
È
n+1 
xn+1 + yn+1. Đẳng
thức xảy ra khi nào?
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 49
Download tài liệu học tập tại :