Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 13: Phương pháp không gian toạ độ trong không gian

htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
Chương 13
Phương pháp không gian toạ độ trong không gian
13.1 Hệ toạ độ trong không gian
Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,
tọa độ trọng tâm, . . .
Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :
−→a = 4−→j ; −→b = −−→i + 2−→j ; −→c = 3−→i + 2−→j − −→k .
Bài 13.2 : Cho các vectơ −→a = (−3; 1; 2),−→b = (1; 3; 4),−→c = (−3; 2; 0).
1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3−→a , 3−→a − 2−→b ,−→a − 3−→b + 2−→c .
2. Hãy biểu diễn vectơ
−→d = (−1; 0; 2) theo ba vectơ −→a ,−→b ,−→c .
Bài 13.3 : Cho hai vectơ −→a và −→b tạo với nhau một góc 120◦. Tìm |−→a + −→b | và |−→a − −→b | biết |−→a | = 3, |−→b | = 5.
Bài 13.4 : Cho vectơ −→a = (1; −3; 4).
1. Tìm y0 và z0 để cho vectơ
−→b = (2; y0; z0) cùng phương với −→a .
2. Tìm tọa độ của vectơ −→c biết rằng −→a và −→c ngược hướng và |−→c | = 2|−→a |.
Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),D(1; −1; 1),C′(4; 5; −5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình
hộp.
Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A′(0; 0; 2a).
1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.
2. Xác định toạ độ
−−→
DB′.
3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′.
4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD.
Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

1. Sử dụng các công thức
249
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• S ∆ABC =
1
2 
[−→AB,−→
AC] ;
• V h.hộp ABCD.A′B′C′D′ = [
−→AB,−→AD].−−→
AA′ ;
• VABCD =
1
6 [
−→AB,−→AC].−→
AD ;
• d(AB,CD) =
[−→AB,−−→CD].−→
AC
[−→AB,−−→CD]
 ;
• d(M, AB) = |[
−−→
MA,−−→MB]|
|−→AB|
=
|[−−→MA,−→AB]|
|−→AB|
;
• cos(−→u ,−
→u .−→v ) =
− →v
|−→u |.|−→v | ;
• sin(−→u ,−→v ) =
 →u ,−[− →v ]
|−→u |.|−→v | ;
• cos A = cos(−→AB,−→AC) ;
• cos(AB,CD) = cos(−→AB,−−→
CD) .
2. Hai vectơ −→u và −→v cùng phương khi và chỉ khi [−→u ,−→v ] = −→0 (tương đương với tọa độ tương ứng tỉ lệ).
3. Ba điểm A, B,C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ −→AB và −→AC cùng phương.
4. −→u⊥−→v khi và chỉ khi −→→v = 0.u .−
5. Bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng khi và chỉ khi [−→AB,−→AC].−→AD = 0.
Bài 13.7 : Cho vectơ −→a = (2; 4; 0),−→b = (−3; 2; 1),−→c = (1; 2 − 1).
1. Tính cosin của các góc sau : (−→a ,−→b ), (−→b ,−→c ), (−→c ,−→a ).
2. Tính các tích vô hướng −→a .−→b ,−→b .−→c ,−→c .−→a .
3. Tìm toạ độ của vectơ −→v sao cho −→v⊥−→a ,−→v⊥−→b và |−→v | = |−→c |.
b
Bài 13.8 : Cho ba điểm A(2; 3; 1), B(1; 1; 3),C(−2; 4; 1).
1. Chứng minh rằng ba điểm A, B,C tạo thành một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
2. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
3. Tìm điểm E trên mặt phẳng (Oxy) sao cho ABCE là hình thang với hai đáy là AB và CE.
Bài 13.9 : Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B(2; −1; 3),C(−4; 7; 5).
1. Tìm điểm D sao cho tam giác ABD nhận C làm trọng tâm.
2. Tìm độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ B.
Bài 13.10 : Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có điểm C(−2; 2; 2) và trọng tâm G(−1; 1; 2).
1. Tìm toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết A nằm trên mặt phẳng (Oxy) và B thuộc Oz.
2. Gọi H là trung điểm BC, E là điểm đối xứng của H qua A. Tìm toạ độ điểm K trên đường thẳng AC để B, E, K thẳng hàng.
Bài 13.11 : Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(1; −1; 2),C(2; 3; 1).
1. Chứng minh tam giác ABC có A là góc tù.
2. Tính chu vi tam giác ABC.
3. Tìm điểm M trên Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.
Bài 13.12 : Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1), B(0; −1; 2),C(1; 0; 3).
1. Tìm toạ độ chân đường cao H hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.
2. Tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 13.13 : Cho hai điểm A(3; 0; −1), B(1; 3; −2),C(3; −4; 1).
1. Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA = MB.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 250
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oyz) sao cho NA = NB = NC.
3. Tìm điểm P trên mặt phẳng Oxy sao cho |−→PA + −→PB + −→

PC| đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.14 : Tìm tọa độ điểm M trong mỗi trường hợp sau đây
1. M trên trục Oy và cách đều hai điểm A(3; 1; −4), B(−2; 3; 0).
2. M trên mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A(3; 1; −4), B(−2; 1; 0),C(4; 5; −2).
Bài 13.15 : Trong không gian cho 4 điểm A(4; 2; −2), B(1; 2; −5).C(0; 1; −1), D(2; 0; −3). Chứng minh rằng :
1. Bốn điểm A, B,C, D không đồng phẳng.
2. Tứ diện ABCD có các cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Bài 13.16 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 biết :
A(−2; 4; 1), B(1; −1; 2), A1(5; −1; 0),C1(−2; 0; 1).
1. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của lăng trụ.
2. Một mặt phẳng (P) qua A, trung điểm M của BC và trung điểm N của A1B1. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với B1C1.
Bài 13.17 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Biết A(−3; 2; 1),C(4; 2; 0), B1(−2; 1; 1), D1(3; 5; 4).
1. Xác định toạ độ các đỉnh A1,C1, B, D và tâm K của hình hộp.
2. Tìm điểm M trên đường thẳng AA1 sao cho KM =
√
59
2 
.
Bài 13.18 : Cho hình chóp S .ABCD có :
S 3; 3; 13
2 
‹
, A(1; 2; 3), B(−1; 4; 6),C(2; 1; 10), D(4; −1; 7).
1. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật và S I⊥(ABCD), trong đó I là giao điểm của AC và BD.
2. Tính thể tích hình chóp.
Bài 13.19 : Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau đây :
1. −→a = (1; 1; 2),−→b = (3; 3; 6)
2. −→a = (−2; 1; 3),−→b = (1; 3; −4)
3. −→a = (−1; 1; −2),−→b = (2; 3; −7)
4. −→a = (1; 1; 0),−→b = (0; 0; 1)
Bài 13.20 : Xét sự đồng phẳng của bộ ba vectơ −→a ,−→b ,−→c sau đây :
1. −→a = (−3; 1; 1),−→b = (2; 3; 5),−→c = (−4; 1; 0). 2. −→a = (2; 1; −1),−→b = (3; 1; 2),−→c = (−2; −1; 1).
Bài 13.21 : Cho hai điểm A(−3; 2; 1), B(1; 3; −4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oxy) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn OC = 1
và các vectơ
−→OA,−→OB,−−→OC đồng phẳng.
Bài 13.22 : Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(−2; 1; 3). Tìm điểm M thuộc Ox sao cho tam giác AMB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 13.23 : Cho các điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 2),C(0; 1; 1), D(−2; 1; 0).
1. Chứng minh A, B,C, D là các đỉnh của một tứ diện.
2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD và góc tạo bởi hai đường thẳng AC và BD.
3. Tính thể tích của tứ diện ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 13.24 : Cho tam giác ABC có A(−2; 0; 1), B(0; −1; 1),C(0; 0; −1).
1. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tính bán kính của đường tròn đó.
2. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 251
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.25 : Cho tam giác ABC có A(0; 0; 2), B(0; 1; 0),C(1; 2; 3).
1. Tìm toạ đọ điểm S trên Oy để tứ diện S ABC có thể tích bằng 8.
2. Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC).
Bài 13.26 : Cho hai điểm A(−3; −2; 1), B(1; 3; −4). Tìm điểm C trên mặt phẳng (Oyz) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn :
OC = 1 và các vectơ −→OA,−→OB,−−→OC đồng phẳng.
Bài 13.27 : Cho ba điểm A(−2; 1; 3), B(1; 1; 1),C(−4; −3; 2).
1. Chứng minh A, B,C không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ABC.
2. Tìm điểm D trên trục Oy sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 1
2
.
Vấn đề 3 : Lập phương trình của mặt cầu

1. Muốn viết được phương trình mặt cầu cần biết tâm I(a; b; c) và bán kính R của mặt cầu đó. Khi đó, phương trình mặt cầu là
(S ) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.
2. Ta có A ∈ (S ) khi và chỉ khi IA = R.
3. (S ) tiếp xúc với ∆ khi và chỉ khi d(I,∆) = R.
4. (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d(I, (P)) = R.
5. Nếu M(xM; yM; zM) thì
(a) d(M, (Oxy)) = |zM |, d(M, (Oyz)) = |xM |, d(M, (Ozx)) = |yM |.
(b) d(M,Ox) =
È
y2M + z2M , d(M,Oy) =
È
x2M + z
2
M , d(M,Oz) =
È
x2M + y2M.
(c) Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox có tọa độ (xM; 0; 0).
(d) Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ (xM; yM; 0).
Bài 13.28 : Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây :
1. Nhận I(2; 0; 3) là tâm và bán kính R = 4.
2. Nhận AB làm đường kính với A(−2; 3; 5), B(0; 1; −1).
3. Nhận I(3; 4; −1) làm tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).
4. Nhận I(6; 3; −4) làm tâm và tiếp xúc với trục Oz.
Bài 13.29 : Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau đây :
1. Có tâm trên trục hoành và đi qua hai điểm A(−2; 4; 1), B(1; 4; −5).
2. Có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và đi qua ba điểm A(2; −1; 5), B(2; 1; 1),C(−3; 0; 2).
3. Đi qua bốn điểm A(−1; 3; 4), B(3; 1; 5),C(−2; 1; −2), D(0; 2; 3).
Bài 13.30 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 4z = 0.
1. Xác định tạo độ tâm và tính bán kính của (S ).
2. Tìm toạ độ giao điểm A, B,C (khác gốc O) của (S ) với các trục toạ độ. Tính thể tích tứ diện OABC.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 252
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.31 : Cho mặt cầu (S ) có phương trình x2 + y2 + z2 + x − y + z − 1 = 0.
1. Chứng minh rằng (Oxy) cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này.
2. Trục Oz cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Tính độ dài đoạn AB.
Bài 13.32 : Cho mặt cầu (S ) : x2 + y2 + z2 − 3x − y + z + 1
2
= 0.
1. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tìm toạ độ tiếp điểm A.
2. Chứng minh rằng mặt cầu (S ) tiếp xúc với Ox tại B. Tìm toạ độ điểm B.
Bài 13.33 : Cho S (−2; 2; −3), A(−2; 2; 1), B(2; 4; 1),C(4; 0; 1), D(0; −2; 1).
1. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và S A là đường cao của hình chóp S .ABCD. Tính thể tích hình chóp đó.
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.
Bài 13.34 : Cho mặt cầu (S m) : x2 + y2 + z2 − 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0. Tìm m để (S m) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Bài 13.35 : Cho mặt cầu (S m) : x2 + y2 + z2 − 2mx+ 2my − 4mz+ 5m2 + 2m + 3 = 0. Xác định tham số m để (S m) là một mặt cầu. Tìm
tập hợp tâm I của mặt cầu (S m) khi m thay đổi.
Vấn đề 4 : Phương pháp tọa độ giải hình học không gian

Bước 1 : Tạo một góc tam diện (có chung đỉnh và ba cạnh đôi một vuông góc). Góc tam diện này có hai trục Ox,Oy thường nằm trên
mặt đáy và trục Oz vuông góc với đáy.
Bước 2 : Tìm tọa độ của bốn điểm : gốc, các điểm nằm trên các trục Ox,Oy,Oz.
Bước 3 : Tìm tọa độ các điểm, các vectơ có liên quan, và đưa bài toán về hình học giải tích thông thường.
Bài 13.36 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a.
1. Gọi I là trung điểm A′C, J là trung điểm AB′. Chứng minh rằng AJ⊥A′I.
2. Gọi G là trọng tâm tam giác BA′C′. Chứng minh rằng B′,G, D thẳng hàng.
Bài 13.37 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB1,CD, A1D1. Tính góc và khoảng cách
giữa C1N và MP.
Bài 13.38 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, S A vuông góc với đáy, M thuộc cạnh CD sao cho DM = a
2 
và
N thuộc cạnh BC sao cho BN = 3a
4 
. Chứng minh rằng MN⊥(S AN) từ đó suy ra mặt phẳng (S AN)⊥(S MN).
Bài 13.39 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần lượt
là trung điểm ... ặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên
đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (S AB) và (S BC) bằng 60◦. Gọi H, K lầ lượt là hình
chiếu vuông góc của A trên S B, S C. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính VS .ABC.
Bài 13.285 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x − 3
2
=
y + 2
1
=
z + 1
−1 và mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0.
1. Tìm giao điểm M của d và (P).
2. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) sao cho ∆⊥d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng √42.
Bài 13.286 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a 
√
2. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính VM.A1 BC1 .
Bài 13.287 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và các đường thẳng
d1 : 
x − 1
2
=
y − 3
−3 =
z
2 
và d2 :
x − 5
6 =
y
4
=
z + 5
−5 .
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q)⊥(P).
2. Tìm các điểm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho MN ∥ (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Bài 13.288 : Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM⊥B1C
và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 282
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.289 : Cho khối chóp đều S .ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.
Bài 13.290 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 3) và đường thẳng d : x − 21 =
y − 1
2 =
z
1 .
1. Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d.
2. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Bài 13.291 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z + 9 = 0.
1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).
2. Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
Bài 13.292 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 
√
3, mặt bên S BC là tam giác đều và vuông
góc với mặt phẳng đáy. Tính theo A thể tích khối chóp S .ABC.
Bài 13.293 : 1. Trong không gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm M(−4; −9; 12), A(2; 0; 0) và cắt trục Oy,Oz
lần lượt tại B,C sao cho OB = 1 + OC (B,C không trùng với gốc O).
8
<
:
2. Tìm phương trình của mặt phẳng (Q) qua điểm M(−4; −9; 12) và cắt trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A0, B0,C0 sao cho
OC0 = OA0 + OB0
4
OC0
=
1
OA0
+
1
OB0 
.
Bài 13.294 : Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm (1; 0; −2) và vuông góc với cả hai mặt phẳng
(P1) : 2x + y − z − 2 = 0 và (P2) : x − y − z − 3 = 0.
Bài 13.295 : Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 1), B(3; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y −
5z − 3 = 0.
→v = (2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳngBài 13.296 : Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 2), song song với vectơ −
2x − y − 5z + 1 = 0.
Bài 13.297 : Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm (0; 2; 0), (2; 0; 0) và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 60◦.
Bài 13.298 : 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (3; 4; 1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng 19x − 6y − 4z + 27 = 0 và
42x − 8y + 3z + 11 = 0.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (4; −3; 2) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
x − y + 2z − 3 = 0
2x − y − 3z = 0.
8
<
:
Bài 13.299 : Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm (1; 4; −2) và song song với đường thẳng
6x + 2y + 2z + 3 = 0
3x − 5y − 2z − 1 = 0.
Bài 13.300 : Tìm phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng x + 3y − z + 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng
8
<
:
x − 2z − 3
y − 2z = 0
tại giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 13.301 : Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) vuông góc với đường thẳng x
2
=
y
4
=
z + 3
1 
và cắt đường thẳng
đó.
Bài 13.302 : Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (−4; −5; 3) và cắt cả hai đường thẳng x + 13 =
y + 3
−3 =
z − 2
−1 ,
x − 2
2
=
y + 1
3 =
z − 1
−5 .
Download tài liệu học tập tại :  Trang 283
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 13.303 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0; 1; 1) vuông góc với đường thẳng x − 13 =
y + 2
1
=
z
1 
và cắt
8
<
:
đường thẳng
x + y − z + 2 = 0
x + 1 = 0.
Bài 13.304 : Tìm phương trình của đường thẳng qua điểm (3; −1; −4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng 2x + y = 0.
Bài 13.305 : Cho đường thẳng d : x + 1
2
=
y − 1
1
=
z − 2
3 và mặt phẳng (P) : x − y − z − 1 = 0.
1. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(1; 1; −2), song song với (P) và vuông góc với d.
2. Gọi N là giao điểm của d và (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.
Bài 13.306 : Cho đường thẳng d có phương trình x − 3
2
=
y
−1 =
z − 1
3 mà mặt phẳng (P) có phương trình x + y + z = 0.
1. Xác định giao điểm A của d và (P).
2. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua A vuông góc với d và nằm trong (P).
Bài 13.307 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho :
d :
8
>
<
>
:
x = 1 + 2t
y = 2 − t
z = 3t;
và (P) : 2x − y − 2z + 1 = 0.
1. Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
2. Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; −1; 3) qua đường thẳng d. Hãy xác định toạ độ điểm K.
Bài 13.308 : Trong không gian Oxyz, cho (P) : x + y + z + 1 = 0 và d : x − 1
1
=
y − 2
2
=
z − 1
3 . Viết phương trình hình chiếu vuông
góc của d trên mặt phẳng (P).
Bài 13.309 : Cho hai đường thẳng :
d : 
8
<
:
2x − 3y − 2 = 0
x + 3z + 2 = 0,
∆ : 
8
<
:
2x − 3y + 9 = 0
y + 2z + 1 = 0.
1. Chứng minh d//∆. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và d.
2. Tìm toạ độ điểm N đối xứng với điểm M(−2; 3; −4) qua d.
Bài 13.310 : Cho A(0; 1; 1) và hai đường thẳng :
d1 : 
x − 1
3 =
y + 2
1
=
z
1
, d2 :
8
<
:
x + y − z + 2 = 0
x + 1 = 0.
Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Bài 13.311 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng :
∆1 :
8
>
<
>
:
x = 2 + 2t
y = −1 + t
z = 1,
và ∆2 :
8
>
<
>
:
x = 1
y = 1 + t′
z = 3 − t′.
1. Chứng tỏ ∆1 và ∆2 chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và song song với ∆2.
2. Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2.
Bài 13.312 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2; −1; 1) và đường thẳng ∆ : 
8
<
:
y + z − 4 = 0
2x − y − z + 2 = 0.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 284
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với ∆.
2. Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua ∆.
Bài 13.313 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz, cho tứ diện S ABC với các đỉnh
S (−2; 2; 4), A(−2; 2; 0), B(−5; 2; 0),C(−2; 1; 1).
Tính khoảng cách giữa 2 cạnh đối S A và BC.
Bài 13.314 : Trong không gian với hệ toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng song song :
d1 : 
x + 7
3 =
y − 5
−1 =
z − 9
4 
và d1 :
x
3 =
y + 4
−1 =
z + 18
4 
.
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2. 2. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.
Bài 13.315 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz xét đường thẳng có phương trình :
∆ : 
x
4
=
y − 4
3 =
z + 1
−2
và mặt phẳng có phương trình (P) : x − y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc của hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên
Ô
mặt phẳng (P).
Bài 13.316 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0),C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
1. Chứng tỏ rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông.
2. Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c.
Bài 13.317 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A. Các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy các góc bằng β.
1. Chứng minh hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
2. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng mặt phẳng (S AI) vuông góc với mặt phẳng ABC.
3. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên S I. Chứng minh rằng AK vuông góc với mặt phẳng (S BC).
4. Cho biết góc BAC = α, khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC là d. Tính diện tích của tam giác ABC theo d, α, β.
Bài 13.318 : Cho góc tam diện ba mặt vuông Oxyz. Trên Ox,Oy,Oz lần lượt lấy các điểm A, B,C.
1. Tính diện tích tam giác ABC và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA = a,OB = b,OC = c.
2. Giả sử A, B,C thay đổi nhưng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi. Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể
tích tứ diện OABC.
3. Giả sử điểm A cố định còn B và C thay đổi sao cho OB + OC = OA. Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện
OABC là lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC lại là nhỏ nhất.
Bài 13.319 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d1 : 
x − 3
2
=
y − 3
2
=
z − 3
1 
và d2 :
8
<
:
5x − 6y − 6z + 13 = 0
x − 6y + 6z − 7 = 0.
1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
2. Gọi I là giao điểm của d1 và d2. Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1, d2 sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích
bằng
√
41
42 
.
Bài 13.320 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P) : 2x + 3y − 3z + 1 = 0 và đường thẳng d : x − 3
2
=
y
9 =
z + 5
1
và ba điểm A(4; 0; 3), B(−1; −1; 3),C(3; 2; 6).
Download tài liệu học tập tại :  Trang 285
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua ba điểm A, B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Bài 13.321 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 1), B(2a; 0; 0), C(a; b; 0), D(a; 0; c), E(0; 0; 2), F(a; b; c),
G(5; 1; 1) và H(18; 0; 0), trong đó a, b, c là các số thực dương. Biết bốn điểm A, B,C, D nằm trên mặt phẳng (P) và bốn điểm E, F,G, H
nằm trên mặt phẳng (Q). Xác định a, b, c và viết phương trình mặt phẳng (P).
Bài 13.322 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đường thẳng d : x − 1−1 =
y + 2
1
=
z
2
.
1. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho
(a) |−−→MA + −−→MB| nhỏ nhất;
(b) MA2 + MB2 nhỏ nhất ;
(c) MA + MB nhỏ nhất ;
(d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.
4. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
5. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là
(a) lớn nhất ; (b) nhỏ nhất.
Bài 13.323 : Cho mặt phẳng (α) : x − y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2; −1), B(3; 1; −2),C(1; −1; 1). Tìm điểm M thuộc (α) sao cho :
1. MA + MB nhỏ nhất ;
2. |MA − MB| nhỏ nhất ;
3. MA2 − MB2 − MC2 lớn nhất ;
4.
−−→MA + −−→MB + −−→MC nhỏ nhất.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 286
Download tài liệu học tập tại :