Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 12: Mặt cầu và khối tròn xoay

htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
Chương 12
Mặt cầu và khối tròn xoay
12.1 Mặt cầu, khối cầu

Ô
Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một
hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :
(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.
(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).
(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.
Chú ý :
1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung
trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.
Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có BAC = 120◦ và đường cao AH = a 
√
2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại
A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.
2. Tính theo a độ dài AI, AJ.
3. Chứng minh rằng BIJ,CIJ là các tam giác vuông.
4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC.
5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.
Bài 12.2 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B′,C′, D′ lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên S B, S C, S D. Chứng minh rằng
1. Các điểm A, B′,C′, D′ đồng phẳng.
2. Bảy điểm A, B,C, D, B′,C′, D′ nằm trên một mặt cầu.
3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.
239
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A).
Hạ AD⊥S C và AE⊥S B. Chứng minh rằng
1. Các điểm A, B,C, D, E thuộc cùng một mặt cầu.
2. Bốn điểm B,C, D, E cùng một đường tròn.
Bài 12.4 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ. Tính bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r. Gọi S tp là tổng diện tích các mặt của tứ diện; hA, hB, hC, hD lần lượt là
độ dài đường cao xuất phát từ A, B,C, D của tứ diện. Chứng minh rằng
1. VABCD =
1
3r.S tp.
2.
1
r
=
1
hA
+
1
hB
+
1
hC
+
1
hD 
.
Bài 12.6 : Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của S B và S D. Biết AM⊥CN. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.
Bài 12.7 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a 
√
3.
1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.
2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh S C là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD.
Bài 12.8 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h. Mặt
phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′,C′, D′.
1. Chứng minh rằng tứ giác A, B′,C′, D′ nội tiếp một đường tròn.
2. Chứng minh rằng các điểm A, B,C, D, B′,C′, D′ thuộc cùng một mặt cầu.
3. Tính thể tích khối chóp S .AB′C′D′.
4. Tính diện tích tứ giác AB′C′D′.
Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông tại O, OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông tại O. Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O của tứ diện.
Chứng minh rằng
1.
h
r 
≤ 1 + √3. 2. R
r 
≥ 3 + 3 
√
3
2 
.
Bài 12.12 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với đáy, S C tạo với đáy góc 45◦ và tạo với mặt
phẳng (S AB) góc 30◦. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12.13 : Cho tam giác đều ABC. Đường thẳng∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm M thay đổi trên∆. Kẻ BE⊥AC, BF⊥MC
(E ∈ AC, F ∈ MC). Đường thẳng EF cắt đường thẳng ∆ tại N. Chứng minh rằng
1. AM.AN không đổi.
2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có tâm thuộc đường thẳng cố định.
Bài 12.14 : 1. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (tính theo a)
trong các trường hợp sau :
(a) Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ;
(b) Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ;
(c) Mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 240
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Chứng minh rằng : có vô số mặt cầu đi qua hai điểm cố định A và B cho trước. Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu đó.
Bài 12.15 : 1. Cho hai đường tròn C1 và C2 có tâm O1 và O2. Hai đường tròn này nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và có chung
nhau dây cung AB. Chứng minh rằng có duy nhất một mặt cầu đi qua cả hai đường tròn C1 và C2.
2. Cho đường thẳng a cố định và một điểm M cố định không thuộc đường thẳng a. Gọi O là một điểm di động trên đường thẳng a.
Vẽ mặt cầu (S ) có tâm O và bán kính R = OM. Chứng minh rằng : mặt cầu (S ) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Bài 12.16 : 1. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tới mặt cầu (và giả sử B là tiếp
điểm) và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D, biết : CD = R 
√
3.
(a) Tính độ dài AB theo R ;
(b) Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng CD.
2. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A thuộc mặt cầu này. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và
mặt phẳng (Q) là 30◦.
(a) Tính diện tích thiết diện (theo R) của mặt cầu với mặt phẳng (Q).
(b) Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q). Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài cạnh AB theo
R.
Bài 12.17 : 1. Cho mặt cầu S (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm I. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu này. Từ M kẻ hai
tiếp tuyến với mặt cầu S (O; R) sao cho hai tiếp tuyến này cắt mặt phẳng (Q) tại A và B. Biết MA⊥MB. Chứng minh rằng :
AB2 = IA2 + IB2.
2. Cho mặt phẳng (Q) và hai điểm A và B cố định nằm về một phía của mặt phẳng (Q) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Q)
tại điểm I. Gọi mặt cầu S (O; R) là mặt cầu thay đổi nhưng luôn đi qua A và B đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q). Gọi M là
tiếp điểm của mặt cầu S (O; R) với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng : điểm M di động trên một đường tròn cố định C nào đó.
Bài 12.18 : 1. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Hãy xác định tâm và tính bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và b.
2. Cho ba đoạn thẳng S A, S B, S C đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện S ABC, với S A = a, S B = b, S C = c. Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b, c.
Bài 12.19 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có 9 cạnh đều bằng a.
1. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngaoij tiếp hình lăng trụ đã cho ;
2. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu nói trên (tính theo a).
Bài 12.20 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = S C = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp đó (tính theo a và h). Tính diện tích của mặt cầu đó.
Bài 12.21 : Trong mặt phẳng (Q) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy một điểm S thuộc đường thẳng Ax vuông góc với (Q).
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với S C. Mặt phẳng (P) cắt S B, S C, S D lần lượt tại M, N, E.
1. Chứng minh rằng : bảy điểm A, B,C, D, M, N, E là cùng thuộc một mặt cầu.
2. Tính diện tích của mặt cầu đó theo a và thể tích của khối cầu đó.
Bài 12.22 : Cho tứ diện S ABC có S A⊥(ABC) và S A = a, S B = b, S C = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
đã cho trong các trường hợp sau :
Ô1. có BAC = 90◦ ; Ô2. có BAC = 60◦ và b = c ; Ô3. có BAC = 120◦ và b = c.
Bài 12.23 : Cho mặt cầu S (O; R) và mặt phẳng (Q) cách tâm O một khoảng bằng h (0 < h < R). Mặt phẳng cắt mặt cầu (Q) theo
đường tròn C . Vẽ đường thẳng d đi qua điểm A cố định thuộc đường tròn C và d⊥(Q). Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O; R) tại B. Gọi
CD là đường kính di động của đường tròn C .
1. Chứng minh rằng : AD2 + BC2 và AC2 + BD2 là không đổi.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 241
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tìm vị trí của đường kính CD để diện tích tam giác BCD là lớn nhất.
3. Kẻ BH⊥CD với H ∈ CD. Tìm tập hợp điểm H khi CD di động.
Bài 12.24 : Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Bài 12.25 : Cho hình chóp S .ABCD có S A = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có
AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CDE.
Bài 12.26 : Cho hình cầu đường kính AA′ = 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA′ sao cho AH = 4R3 , mặt phẳng (Q) đi qua H và vuông
góc với AA′ cắt hình cầu theo đường tròn C .
1. Tính diện tích đường tròn C ;
2. Giả sử tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn C . Hãy tính thể tích hình tứ diện ABCD và A′BCD theo R.
Bài 12.27 : 1. Chứng minh rằng : Nếu tứ diện ABCD có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của nó thì tứ diện đó có tổng các cặp
cạnh đối diện là bằng nhau.
2. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 
√
2. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai
cạnh S B, S C tại E và F là trung điểm của mỗi cạnh.
(a) Chứng minh rằng : mặt cầu đó đi qua M và N là trung điểm của AB và AC.
(b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng S A là D. Tính độ dài của AD và S D.
Bài 12.28 : Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = BD = a, AD = b và mặt phẳng (ACD)⊥(BCD).
1. Chứng minh rằng : ACD là tam giác vuông ;
2. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ;
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 12.29 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là một điểm
bất kì trên d với S . A.
1. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;
2. Cho S A = h cho trước. Hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;
3. Gọi A′ là điểm đối xúng của A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng : khi S thay đổi trên đường thẳng d thì A′ luôn thuộc
một đường thẳng cố định.
Bài 12.30 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh BC và (P)⊥(ABC). Gọi (C ) là đường tròn đường kính
BC và đường tròn này nằm trong mặt phẳng (P). Gọi S là điểm di động trên đường tròn (C ). Chứng minh rằng :
1. Tổng T = S A2 + S B2 + S C2 là một số không đổi ;
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là một điểm cố định (nếu S . B và C).
Bài 12.31 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy  ... ụ theo các dây cung AB và CD (dây AB đi qua O).
1. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R và h.
2. Chứng minh rằng : hình chiếu vuông góc K của điểm O′ lên mặt phẳng (P) luôn luôn thuộc một đường tròn cố định.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 244
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Ö
Bài 12.52 : Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính theo a và h diện
tích :
1. xung quanh và thể tích hình trụ ngoại tiếp lăng trụ đó.
2. toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
Bài 12.53 : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, hai cạnh
bên bằng
5a
2 
, chiều cao lăng trụ bằng h.
1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
2. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ đó theo a và h.
Bài 12.54 : Cho hình trụ có trục O1O2. Một mặt phẳng (α) ∥ O1O2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chũ nhật ABCD. Gọi O là
tâm của thiết diện đó. Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là bán kính đường tròn đáy của hình trụ đã cho. Hãy
tính góc O1OO2.
Bài 12.55 : Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π.
1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ ;
2. Tính thể tích của khối trụ ;
3. Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ ;
4. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình trụ ;
5. Một mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABB1A1. Biết một cạnh của thiết diện là
một dây cung của đường tròn đáy và chắn một cung tròn 120◦. Hãy tính diện tích thiết diện đó.
Bài 12.56 : Xét nột hình trụ nội tiếp một mặt cầu tâm O có bán kính R cho trước. Biết rằng diện tích thiết diện qua trục của hình trụ
này là lớn nhất (so với các hình trụ khác cùng nội tiếp mặt cầu đã cho).
1. Tính thể tích V và diện tích toàn phần S tp của hình trụ đã cho theo R.
2. Tính thể tích của lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ đã cho.
3. Tính diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng bằng
R
2 
.
Bài 12.57 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng B1D và (ABB1A1) là 30◦.
Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (ABB1A1) là 3a2 . Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp,
biết đường chéo của đáy hình hộp là 5a.
Bài 12.58 : Cho hai điểm A, B cố định. Gọi d là một đường thẳng di động luôn luôn đi qua A và d luôn cách điểm B một khoảng bằng
BH = a =
AB
2 
. Chứng minh rằng : đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay.
Bài 12.59 : Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và
có khoảng cách tới tâm O của đáy là 12cm. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với khối nón đã cho và tính diện tích thiết diện
đó.
Bài 12.60 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh
và thể tích của khối nón N có đỉnh là tâm O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A′B′C′D′.
Bài 12.61 : Cho một hình nón N có đỉnh là điểm D, có O là tâm đường tròn đáy, có độ dài đường sinh bằng l và có góc giữa đường
sinh với mặt đáy bằng α◦.
1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón N theo l và α◦.
2. Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho
DI
DO = k. Tính diện tích thiết diện của hình nón với mặt phẳng (Q)
đi qua I và vuông góc với trục hình nón (tính theo l, α◦, k).
Bài 12.62 : Cho một hình nón N có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 245
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Ô
b
1. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón N đã cho (tính theo a).
2. Một mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦. Tính diện tích thiết diện được tạo nên bởi hình
nón N và mặt phẳng (Q).
Bài 12.63 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có các cạnh bên bằng a và có góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α◦. Vẽ hình nón N
có đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC - gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh
của hình nón N theo a và α◦.
Bài 12.64 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có chiều cao S O = h và S AB = α◦ (α > 45◦). Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường
tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón N đó theo h và α◦.
Bài 12.65 : Cho khối nón N có bán kính đáy R = 12cm và có góc ở đỉnh bằng 120◦. Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai
đường sinh vuông góc với nhau.
Bài 12.66 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với S O tại A, cắt hình
nón N theo đường tròn có bán kính bằng R1. Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng thay đổi và vuông góc với S O tại B (điểm B nằm giữa
O và A). Mặt phẳng (Q) cắt hình nón theo thiết diện là một đường tròn có bán kính bằng x.
Hãy tính x theo R và R1 nếu biết mặt phẳng (Q) chia khối tròn xoay trong hình nón nằm giữa (P) và đay hình nón thành hai phần
có thể tích bằng nhau.
Bài 12.67 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón bằng α◦. Một mặt phẳng (P) song
song với đáy hình nón và cách đáy hình nón một khoảng bằng h, và cắt hình nón N theo một đường tròn (C ).
1. Tính bán kính của đường tròn (C ) theo R, h, α◦ ;
2. Tính diện tích và thiết diện phần hình nón nằm giữa đáy hình nón N và mặt phẳng (P).
Bài 12.68 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Lấy một điểm A thuộc đường cao S O sao cho S A =
1
3 S O. Gọi
(P) là mặt phẳng vuông góc với S O tại A. Một mặt phẳng (Q) qua trục hình nón cắt khối tròn xoay nằm trong khối nón N - khối đó
nằm giữa mặt phẳng (P) và đáy hình nón - theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hãy tính thể tích khối
tròn xoay của khối nón N nằm giữa (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón (tính theo R).
Bài 12.69 : Cho hình chóp S , ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có B = 60◦. Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã
cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy hình nón là β◦.
1. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón theo r và β◦ ;
2. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp theo r và β◦.
Bài 12.70 : Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu nội tiếp hình nón đó. Đường tròn
(C ) chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần. Hãy tính tỉ số diện tích của hai phần đó, biết diện tích hình cầu bằng diện tích
đáy hình nón.
Bài 12.71 : Cho hình nón N có bán kính đáy R và chiều cao bằng 4R.
1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r - tính theo R và r (Hình trụ được gọi
là nội tiếp hình nón nếu có một đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón và đáy còn lại của hình trụ
nằm trong mặt đáy của hình nón).
2. Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 12.72 : 1. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất sao cho hình nón đó phải nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước.
2. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất sao cho hình nón đó phải ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước.
Bài 12.73 : Tìm hình tròn có thể tích lớn nhất biết diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng a cho trước.
Bài 12.74 : Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón
đó.
Bài 12.75 : Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất. Với hình
nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 246
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 12.76 : Một mặt phẳng (Q) đi qua hai đường sinh của hình nón, cắt mặt đáy của hình nón theo một dây cung có độ dài gấp k lần
đường cao hình nón. Gọi α◦ là góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt đáy của hình nón. Biết α = 12 góc tạo bởi hai đường sinh của hình nón
mà hai đường sinh đó nằm trong (Q). Hãy tính cos α theo k.
Ô Ô
Bài 12.77 : Cho hình nón N có đỉnh S , đường cao S O. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng
cách từ điểm O tới AB là bằng a. Biết S AO = 30◦ và S AB = 60◦. Tính diện tích xung quanh của hình nón N theo a.
Bài 12.78 : Cho hai điểm cố định A và B, ở đó AB = a. Với mỗi điểm C trong không gian sao cho tam giác ABC đều, kí hiệu AE là
đường cao của tam giác ABC và d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng chứa d và AE, xét đường tròn
đường kính AE. Gọi S là một giao điểm của đường tròn này và đường thẳng d.
1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC (tính theo a).
2. Chứng minh rằng : khi điểm C thay đổi thì điểm S luôn thuộc một đường tròn cố định và mỗi đường thẳng S A, S B luôn thuộc
một mặt nón cố định.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 247
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 248
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
Chương 13
Phương pháp không gian toạ độ trong không gian
13.1 Hệ toạ độ trong không gian
Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,
tọa độ trọng tâm, . . .
Bài 13.1 : Viết toạ độ của các vectơ sau đây :
−→a = 4−→j ; −→b = −−→i + 2−→j ; −→c = 3−→i + 2−→j − −→k .
Bài 13.2 : Cho các vectơ −→a = (−3; 1; 2),−→b = (1; 3; 4),−→c = (−3; 2; 0).
1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3−→a , 3−→a − 2−→b ,−→a − 3−→b + 2−→c .
2. Hãy biểu diễn vectơ
−→d = (−1; 0; 2) theo ba vectơ −→a ,−→b ,−→c .
Bài 13.3 : Cho hai vectơ −→a và −→b tạo với nhau một góc 120◦. Tìm |−→a + −→b | và |−→a − −→b | biết |−→a | = 3, |−→b | = 5.
Bài 13.4 : Cho vectơ −→a = (1; −3; 4).
1. Tìm y0 và z0 để cho vectơ
−→b = (2; y0; z0) cùng phương với −→a .
2. Tìm tọa độ của vectơ −→c biết rằng −→a và −→c ngược hướng và |−→c | = 2|−→a |.
Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),D(1; −1; 1),C′(4; 5; −5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình
hộp.
Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA′ = 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A′(0; 0; 2a).
1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.
2. Xác định toạ độ
−−→
DB′.
3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′.
4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD.
Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

1. Sử dụng các công thức
249
Download tài liệu học tập tại :