Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 11: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
Chương 11
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :
1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :
→u .−• − →→v = 0, ở đó − →v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′.u và −
• Góc giữa chúng bằng 90◦.
• d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).
• d⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.
• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo
của định lí Pytago, . . .
2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :
• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).
• d ∥ d′ mà d′⊥(α).
• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).
• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C).
• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).
• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và
(α) thì d⊥(α).
3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :
• Góc giữa chúng bằng 90◦.
• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.
4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.
A
B C
H M
201
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
• AB2 + AC2 = BC2 (Định lí Pytago);
•
1
AH2
=
1
AB2
+
1
AC2 
; AH =
AB.AC
BC 
; b
• AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC;
• AM =
BC
2 
, nếu C = 30◦ thì AB = BC
2 
.
Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a,CA = b; ha, hb, hc và ma,mb,mc lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất
phát từ A, B,C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p = a + b + c
2 
là
nửa chu vi tam giác.
1. Định lí hàm số cosin :
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; cos A = b
2 
+ c2 − a2
2bc .
2. Định lí hàm số sin :
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R ⇒ a = 2R sin A.
3. Công thức trung tuyến :
m2a =
2(b2 + c2) − a2
4 
.
4. Công thức diện tích tam giác:
(a) Tam giác thường
S =
1
2
a.ha =
1
2
b.c. sin A = abc
4R
= pr =
È
p(p − a)(p − b)(p − c) ⇒ ha = 2S
a 
,R =
abc
4S 
, r =
S
p 
.
(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S = 1
2 
AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S = a
2
2 
.
(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S = a
2 √3
4 
và đường cao bằng
a 
√
3
2 
;
Ô
Ô
5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a2.
6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.
7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin BAD = 1
2 
AC.BD. sin(AC, BD).
8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin BAD = 1
2 
AC.BD.
9. Diện tích hình thang là S = ( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao
2 
.
10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S = 1
2 
tích hai đường chéo.
11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng

Nếu ba vectơ −→a ,−→b ,−→c không đồng phẳng thì vectơ −→d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→a ,−→b ,−→c ; nghĩa là tồn tại duy
nhất bộ ba số m, n, p sao cho
−→d = m−→a + n− →c .→b + p−
Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Đặt
−−→
AA′ = −→a ,−→AB = −→b ,−→ →c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD′C′, J là điểm trênAD = −
cạnh B′C′ sao cho JB′ = k.JC′ (k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ −−→CB′,−→ →AI,−IJ theo ba vectơ −→a ,−→b ,−→c .
Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Đặt −→a = −−→AC′,−→b = −−→BA′,−→c = −−→CB′. Gọi M là trung điểm AA′ và G là trong tâm tam giác
ABC. Hãy biểu diễn các vectơ
−−→
AA′,
−−→
B′G,−−→MN theo ba vectơ −→a ,−→b ,−→c .
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại :  T r a n g 202
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ

1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.
2. Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
AB + −→Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng −→ AD + −→AE = −→AG.
Bài 11.4 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng −→S A + −→S C = −→S B + −−→S D.
Bài 11.5 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng −→S A2 + −→S C2 = −→S B2 + −−→S D2.
Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho CA
CB
=
m
n 
, với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta
luôn có
−→S C = n
m + n
−→S A + m
m + n
−→S B.
Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Gọi O và O′ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′.
1. Hãy biểu diễn các vectơ
−→AO,−−→AO′ theo các vectơ −−→AA′,−→AB,−→AD.
2. Chứng minh rằng
−→AD + −−−→D′C′ + −−−→D′A′ = −→AB.
Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B,C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và
đủ để bốn điểm A, B,C, D tạo thành một hình bình hành là : −→OA + −−→OC = −→OB + −−→OD.
Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song

1. Để chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng ta có thể
• Chứng minh vectơ hai
−→AB và −→AC cùng phương, tức là −→AB = k−→AC.
• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh
−→
IC = m−→OA + n−→OB với m + n = 1.
2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ −→AB và −−→CD cùng phương.
3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc
−→ →u + y−AB = x− →→v trong đó các vectơ − →v có giá song song hoặc nằm trên (P).u và −
Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Xét các điểm M, N lần lượt trên các đường thẳng A′C và C′D sao cho
−−−→
MA′ = k−−→MC,
−−→
NC′ = l−−→ND (k và l đều khác 1). Đặt −→BA = −→a , −−→BB′ = −→b , −→BC = −→c .
1. Hãy biểu thị các vectơ
−−→BM và BN qua các vectơ −→a ,−→b ,−→c .
2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′.
Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho −−→MA = m−→AB. Tìm điểm N trên đường thẳng
B′C và điểm P trên đường thẳng A′C′ sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m , 0).
Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho −−→MA = −2−−→MB,−−→ND = −2−−→NC. Các điểm I, J, K
lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho −→IA = k−→ID,−−→JM = k−→JN,−→KB = k−−→KC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆,∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B,C và A1, B1,C1. Với điểm O bất kì
trong không gian, đặt
−→OI = −−→AA1,−→OJ = −−→BB1,−−→OK = −−→CC1. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại :  Trang 203
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B0,C0, D0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G0 là trọng tâm tam
giác BCD và B0C0D0. Chứng minh rằng ba điểm A,G0,G thẳng hàng.
Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. M là điểm trên cạnh AD sao cho
−−→AM = 13
−−→AD. N là điểm trên đường thẳng BD1, P là
điểm trên đường thẳng CC1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Tính
−−→
MN
−−→NP
 .
Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′, BC,C′D′ lân lượt tại M, N, P sao cho
−−→NM = 2−→NP. Tính MA
MA′
.
Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.
1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA1 và đỉnh C1 thuộc một đường thẳng.
2. Tính tỉ số
GA
GC1 
.
Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB′A′. M là một điểm trên OB′.
Mặt phẳng (MD′C) cắt BC′ ở I và DA′ ở J. Chứng minh rằng ba điểm I, M, J thẳng hàng.
Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A′B′C′, gọi I là giao điểm của
hai đường thẳng AB′ và A′B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG′ song song với nhau.
Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA1, AB1 của các mặt
bên sao cho EF ∥ BC1. Tìm tỉ số
EF
BC1 
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M là trung điểm cạnh bên AA1. Trên đường chéo AB1, BC1 của các mặt
bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ số
EF
CM , xác định vị trí của E, F.
Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA1,CC1. Hai điểm E, F lần lượt trên
các đường thẳng CM, AB1 sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ số
EF
BN 
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA1, BB1,CC1 sao cho
AM
AA1
=
B1N
BB1
=
C1P
CC1
=
3
4
. Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A1N sao cho EF ∥ B1P. Tìm tỉ số
EF
B1P
.
Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất
thuộc DC1 sao cho MN ∥ BD1. Tính tỉ số
MN
BD1 
.
Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD′ và DB sao cho −−→MA = k−−−→MD′,−−→ND = k−−→NB
(k , 0, k , 1).
1. Chứng minh rằng MN ∥ (A′BC) ;
2. Khi đường thẳng MN ∥ A′C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD′ và DB.
Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD′; G,G′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện
A′D′MN và BCC′D′. Chứng minh rằng đường thẳng GG′ và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau.
Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng

Muốn chứng minh các vectơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng chúng ta có thể :
1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→a ,−→b ,−→c có giá cùng song song với một mặt phẳng.
2. Ba vectơ −→a ,−→b ,−→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→c = m−→a + n−→b , trong đó −→a ,−→b là hai vectơ không
cùng phương.
Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại :  Trang 204
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
−→AB,−−−→A′C′,−−−→B′D′ ; 2. −→AB,−−→BB′,−−−→B′C′ ; 3. −→AB,−−→B′D,−−−→C′D′.
Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho −−→AM = 3−−→MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho −−→NB = −3−−→NC.
Chứng minh rằng ba vectơ
−→AB,−−→DC,−−→MN đồng phẳng.
Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường
chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ −→BD,−→IK,−−→GF đồng phẳng.
Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các
điểm M, N sao cho
AM
AC
=
BN
BD
= k (k > 0).
Chứng minh rằ ... , E theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S M. Giả sử S A = R 
√
3, góc
giữa S M và (α) bằng 60◦. Tính
1. Góc giữa S A và (S BM); S B và (S AM); S M và (S AB); S M và (ADE).
2. Góc giữa (S BM) và (α); (S BM) và (S AB); (ADE) và (S AM).
3. Khoảng cách từ M đến (S AB); từ S đến (ADE); từ A đến (S BM). Khoảng cách giữa các cạnh đối nhau của hình tứ diện S ABM.
4. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I, đặt AI = x (0 < x < 2R). Mặt phẳng qua I vuông góc với AM cắt AM, S M, S B lần lượt tại
J, K, L. Xác định hình dạng và tính diện tích thiết diện IJKL theo R, x. Tìm x để IJKL có diện tích lớn nhất.
Bài 11.357 : Cho ba nửa đường thẳng S x, S y, S z không đồng phẳng và vuông góc với nhau từng đôi một. Trên S x, S y, S z lần lượt lấy
các điểm A, B,C khác điểm S . Đặt S A = a, S B = b, S C = c. Gọi α, β, γ là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (S BC),
(S CA), (S AB). Lấy P, Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA, AB. Gọi G, H,O, r lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn
ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua S . Chứng minh rằng
1. Các cặp đối của tứ diện S ABC vuông góc với nhau từng đôi một và cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 236
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. S H⊥(ABC) và 1
S H2
=
1
a2
+
1
b2 +
1
c2 
.
3. S 2ABC = S 2S BC + S 2S AC + S 2S AB, S 2S BC = S HBC.S ABC.
4.
√
3S ABC ≥ S S BC + S S CA + S S AB ≥ 92S H
2, (BC +CA + AB)2 ≤ 6(a2 + b2 + c2).
5. Tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn và a2 tan A = b2 tan B = c2 tan C = 2S ABC.
Bài 11.358 : Hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, S O⊥(ABCD). Giả sử OB = a 
√
3
2 
, S B = S D = a.
Ô
1. Chứng minh rằng tam giác S AC vuông tại S , S C⊥BD, (S AC)⊥(S BD).
2. Giả sử BDA = 60◦, S O = 3a
4 
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. Chứng minh rằng (S OF)⊥(S BC).
3. Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (S BC).
4. Gọi (α) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (S BC). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α). Tính diện tích
thiết diện này và góc giữa (α) và mặt phẳng (ABCD).
5. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của O trên (S CD) khi S di động trên đường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD).
Bài 11.359 : Cho hình chóp tứ giác tứ đều S .ABCD, có AB = a, S A = a 
√
2. Qua điểm A dựng mặt phẳng (α) vuông góc với S C.
1. Dựng thiết diện tạo bởi (α)với hình chóp.
2. Mặt phẳng (α) chia khối chóp trên thành 2 phần có tỉ số thể tích bằng bao nhiêu?
Bài 11.360 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tinh thể tích
khối chóp S .ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và S C bằng a.
Bài 11.361 : Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều và BCD là tam giác cân tại D. Cho biết AB = a,CD = a 
√
5, góc giữa hai
mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30◦. Tính khoảng cách giữa AD và BC.
Bài 11.362 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB = 1,CC′ = m. Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC′ bằng
60◦.
Bài 11.363 : Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AB Ô= AD = 1, AC = 2, BAC = ϕ (0◦ < ϕ < 90◦). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vuông gó của B lên AC và CD. Đường thẳng HK cắt tia đối của tia AD tại E. Chứng minh BE⊥CD và tính thể tích khối tứ diện BCDE.
Bài 11.364 : Cho hình chóp S .ABC có S C ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB = a, AC = a √3. Góc giữa 2 mặt phẳng
(S AC) và (S AB) bằng α với tan α =
É
13
6 . Tính thể tích khối chóp S .ABC theo a.
Bài 11.365 : Cho tứ diện OABC có các góc phẳng ở đỉnh O đều bằng 90◦. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 1 và tổng diện tích
các tam giác OAB, OBC, OCA bằng
√
3. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
Bài 11.366 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a 
√
2, CD = 2a, S A⊥(ABCD), S A = 3a √2. Gọi K là
Ô
trung điểm của AB. Chứng minh rằng (S AC)⊥(S KD) và tính thể tích khối chóp S .CDK.
Bài 11.367 : Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có AB = AD = a, AA′ = a 
√
3
2 
và BAD
Ô
= 60◦. Gọi M và N lầ lượt là trung điểm
A′D′ và A′B′. Chứng minh rằng AC′ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối đa diện ABDMN.
Bài 11.368 : Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A′C bằng
a 
√
15
5 . Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 11.369 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên S D vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), S D = a √3.
1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD theo a.
2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (S BC).
Bài 11.370 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB = 60◦, đường chéo BC′ của mặt bên
BB′C′C tạo với mặt bên (AA′C′C) một góc 30◦.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 237
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1. Tính thể tích khối tứ diện C′ABC.
2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.
Bài 11.371 : Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C ) tâm O đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy
điểm S sao cho OS = R 
√
3. I là điểm thuộc đoạn OS với S I = 2R√
3
. M là một điểm thuộc (
b b
C ) (M không trùng với A và B). H là hình
chiếu của I trên S M. Tìm vị trí của M trên (C ) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 11.372 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác nhọn và cân ở A, có AB = AC = a; B = C = α. Các cạnh bên S A, S B, S C cùng
tạo với đáy một góc β (0◦ < β < 90◦). Tính thể tích khối chóp S .ABC.
Bài 11.373 : Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AA′ = a 
√
2 và A′B⊥B′C. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh
rằng A′B⊥B′M. Tính thể tích khối chóp A′.ABC.
Bài 11.374 : Cho hình chóp S .ABCD có S A = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng BD⊥(S AC). Tìm x
theo a thể thể tích khối chóp S .ABCD bằng a
3 √2
6 .
Bài 11.375 : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA′ = a 
√
2. M là điểm trên
AA′ sao cho −−→AM = 13
−−→
AA′. Tính thể tích khối tứ diện MA′BC′.
Bài 11.376 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và −→S A.−→S B = −→S B.−→S C = −→S C.−→S A = a
2
2 
. Tính thể tích khối
Õ
chóp S .ABC theo a.
Bài 11.377 : Trong không gian cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với
mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mặt phẳng (S BC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60◦. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện S ABC.
Bài 11.378 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên (S BC) vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với
đáy một góc α. Tính thể tích khối chóp S .ABC.
Bài 11.379 : Hình chóp tứ giác đều S .ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (S BC) bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt
bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Bài 11.380 : Co lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân với AB = AC = a, cạnh bên AA′ = a 
√
2. M là trung điểm
của A′B′. Dựng và tính diện tích của thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với BC′.
Bài 11.381 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC,CD đôi một vuông góc với nhau và AB = BC = CD = a. Gọi C′, D′ lần lượt là
hình chiếu vuông góc của B trên AC và AD. Tính thể tích tứ diện ABC′D′.
Bài 11.382 : Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và S E = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, S C; M là điểm di động trên tia đối
của tia BA sao cho góc ECM = α (0◦ < α < 90◦) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ
theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.
Bài 11.383 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = a 
√
3 và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối
tứ diện S ACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng S B và AC.
Bài 11.384 : Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP.
Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số AQ
AD 
và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 11.385 : Cho hình chóp S .ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, S A = S B = S C = a. Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (S MN). Chứng minh
rằng AD vuông góc với S I và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBS I.
Bài 11.386 : Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy
tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC.
Bài 11.387 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D có cạnh bằng a. K là giao điểm của AC′ và mặt phẳng (A′BD). Tính thể tích tứ
diện KCC′D′ và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (KC′D′).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 238
Download tài liệu học tập tại : 
htt
p:/
/ao
tra
ng
tb.
com
Chương 12
Mặt cầu và khối tròn xoay
12.1 Mặt cầu, khối cầu

Ô
Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một
hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :
(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.
(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).
(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.
Chú ý :
1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung
trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.
Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có BAC = 120◦ và đường cao AH = a 
√
2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại
A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.
2. Tính theo a độ dài AI, AJ.
3. Chứng minh rằng BIJ,CIJ là các tam giác vuông.
4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC.
5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.
Bài 12.2 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B′,C′, D′ lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên S B, S C, S D. Chứng minh rằng
1. Các điểm A, B′,C′, D′ đồng phẳng.
2. Bảy điểm A, B,C, D, B′,C′, D′ nằm trên một mặt cầu.
3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.
239
Download tài liệu học tập tại :