Các chuyên đề Luyện thi đại học - Chương 10: Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ song song

Chương 10
Mở đầu về hình học không gian. Quan hệ song
song
Sau khi học xong mục này, học sinh cần biết :
1. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một trong các điều kiện sau đây :
(a) Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
(b) Mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.
(c) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
(d) Mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.
(e) Mặt phẳng đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng chéo với đường thẳng ấy.
(f) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng không chứa đường thẳng ấy.
(g) Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau.
2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song :
(a) Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
(b) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lưựơt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với
ít nhất một trong hai đường thẳng ấy.
(c) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
(d) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì giao tuyến song song với a.
(e) Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường
thẳng đó.
(f) Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.
(g) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với l thì hai hình chiếu a′, b′ của a và b theo
phương l lên mặt phẳng (P) song song hoặc trùng nhau.
(h) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì hình chiếu a′ của a trên (P) song song với a.
3. Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng :
(a) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau.
(b) Nếu a ∥ b, a 1 (P), b ⊂ (P) thì a ∥ (P).
(c) Nếu a ⊂ (P), (P) ∥ (Q) thì a ∥ (Q).
(d) Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đoạn thanửg đó cùng song song với
một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng trên).
191
Download tài liệu học tập tại : 
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(e) a ∥ b, a ∥ (P), b 1 (P),⇒ b ∥ (P).
(f) a ∥ (P), (P) ∥ (Q), a 1 (Q) ⇒ a ∥ (Q).
4. Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song :
(a) Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
(b) Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng khác thì ahi mặt phẳng đó sóng
song.
(c) Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng khác thì hai mặt
phẳng đó song song.
(d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
10.1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) ; xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ; chứng minh ba điểm
thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy ; tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ; chứng minh bốn điểm đồng phẳng.
Vấn đề 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng. Vì vậy ta cần xác định được hai giao điểm của hai mặt phẳng đó. Muốn xác
định giao điểm của hai mặt phẳng ta chọn hai đường thẳng a ⊂ (P) và b ⊂ (Q) sao cho a ∩ b = {M}. Khi đó M là một giao điểm
của hai mặt phẳng đó.
Bài 10.1 : Trong mặt phẳng (α) cho tứ giác ABCD có các cạnh đối AB và CD không song song với nhau. Gọi S là một điểm không
thuộc mặt phẳng (α).
1. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AC) và (S BD).
2. Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).
Vấn đề 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

1. Phương pháp chung là cần tìm đường thẳng ∆ ⊂ (P) và ∆ cắt a, giao điểm đó chính là giao điểm của a và (P).
2. Cách tìm đường thẳng ∆: Chọn mặt phẳng (Q) sao cho a ⊂ (Q), (Q) ∩ (P) = ∆ ⇒ ∆ ∩ a = a ∩ (P). Thường ta chọn mặt phẳng
(Q) sao cho dễ xác định giao tuyến với mặt phẳng (P).
Bài 10.2 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên các đoạn thẳng OA,OB,OC ta lần lượt lấy các điểm
A′, B′,C′ không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng (ABC) và nằm trong tam giác ABC. Tìm
điểm chung (giao điểm) của :
1. Đường thẳng B′C′ với mặt phẳng (OAM). 2. Đường thẳng OM với mặt phẳng (A′B′C′).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 192
Download tài liệu học tập tại : 
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 3 : Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đường thẳng đồng quy

Muốn chứng minh ba điểm A, B,C thẳng hàng ta chứng minh A, B,C cùng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P), (Q). Khi đó A, B,C
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nên chúng thẳng hàng.
Còn nếu muốn chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy, ta xác định giao điểm của hai trong ba đường thẳng rồi chứng minh giao
điểm đó thuộc đường thẳng còn lại. Hoặc có thể dùng định lí giao tuyến của ba mặt phẳng.
Bài 10.3 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Gọi A′, B′,C′ lần lượt là các điểm lấy trên OA,OB,OC và
không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng các cặp đường thẳng A′B′ và AB, B′C′ và BC, C′A′ và CA cắt nhau lần
lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Bài 10.4 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F,G là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại
H. Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy.
Vấn đề 4 : Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

Muốn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) ta tìm các đoạn giao tuyến của (α) giao với các mặt (bên và đáy) của hình
chóp.
Chú ý : Mặt phẳng (α) cắt mỗi mặt bên tại không quá hai điểm trong của các cạnh của mặt bên đó.
Bài 10.5 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD. Điểm C′ nằm trên cạnh S C. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABC′).
Bài 10.6 : Cho bốn điểm A, B,C, D không đồng phẳng.
1. Điểm D thuộc những mặt phẳng nào ?
2. Chứng minh AC và BD chéo nhau.
3. Gọi Bx là đường thẳng đi qua B và song song với AD và M ∈ AD. Gọi J là trung điểm đoạn BM. Nếu điểm M di động trên
đường thẳng AD, điểm B di động trên đường thẳng Bx, chứng minh rằng khi đó đường thẳngCJ luôn luôn nằm trong mặt phẳng
cố định.
Bài 10.7 : Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Trên a ta lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b lấy hai điểm phân biệt C, D.
1. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.
2. Gọi M là một điểm trên đoạn AC, N là điểm trên đoạn BD. Khi đó đường thẳng MN có thể song song với AB hoặc CD được
không ?
3. Gọi O là điểm trên đoạn MN. Chứng minh rằng AO cắt CN và BO cắt DM.
Bài 10.8 : Cho mặt phẳng (α) xác định bởi đường thẳng a và điểm A không thuộc a. Gọi a′ là đường thẳng đi qua A và song song với
a. Lấy một điểm M trên a và một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (α).
1. Chứng minh rằng điểm M thuộc mặt phẳng (α).
2. Tìm điểm chung của các cặp mặt phẳng (ABM) và (α), (ABM) và (a′, B), (ABM) và (a, B).
3. Tìm điểm chung của ba mặt phẳng (α), (a′, B), (ABM).
4. Gọi I, K lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng AB và MB . Chứng minh rằng IK song song với mặt phẳng (α).
Download tài liệu học tập tại :  Trang 193
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 10.9 : Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và c là một đường thẳng cắt (α) tại I khác O.
1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (O, c).
2. Gọi M là một điểm nằm trên c và không trùng với I. Tìm giao tuyến m của hai mặt phẳng (M, a) và (M, b). Chứng minh rằng
khi M di động trên đường thẳng c, giao tuyến m này luôn nằm trong một mặt phẳng cố đinh.
Bài 10.10 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm lấy trên cạnh BD sao cho
BK = 3KD.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (BCD).
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNK) với mặt phẳng (ACD).
Bài 10.11 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của các cặp mặt
phẳng sau:
1. (S AC) và (S BD) ; 2. (S AB) và (S CD) ; 3. (S AD) và (S BC).
Bài 10.12 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn
BC,CD, S O. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 10.13 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh S B, S D . Lấy một
điểm P trên cạnh S C sao cho S P = 3PC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt (S AC), (S AB), (S AD) và (ABCD) của
hình chóp.
Bài 10.14 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt lấy trên các cạnh AC, BC sao cho MN không song song với AB. Gọi O là một điểm
thuộc miền trong tam giác ABD. Tìm giao điểm của AB và AD với mặt phẳng (OMN).
Bài 10.15 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh S C.
1. Tìm giao điểm của AM với mặt phẳng (S BD).
2. Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của S D và mặt phẳng (AMN).
Bài 10.16 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của S C.
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD). Chứng minh rằng IA = 2IM.
2. Tìm giao điểm P của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM).
3. Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S BD).
Bài 10.17 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt lấy trên AC, AD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của:
1. MN và mặt phẳng (ABG). 2. AG và mặt phẳng (BMN).
Bài 10.18 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi I, K là hai điểm cố định trên S A và S C với S I = 2IA và S K = 13 KC. Một mặt phẳng (α)
quay quanh IK cắt S B tại M và S D tại N. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
1. Chứng minh rằng ba đường thẳng IK, MN, S O đồng quy.
2. Gọi {E} = AD ∩ BC và {F} = IN ∩ MK. Chứng minh rằng ba điểm S , E, F thẳng hàng.
3. Gọi {P} = IN ∩ AD và {Q} = MK ∩ BC. Chứng minh rằng khi (α) thay đổi đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố đinh.
Bài 10.19 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh S B.
1. Tìm giao điểm E, F của IK và DK với mặt phẳng (S AC).
2. Gọi {O} = AD ∩ BC, {M} = S C ∩ OK. Chứng minh rằng bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Bài 10.20 : Cho tứ diện ABCD. Trên đoạn CA,CB, BD cho lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB , NP
không song song với CD. Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và tứ diện
ABCD.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 194
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 10.21 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD,CD, S O. Tìm thiết
diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 10.22 : Cho hình chóp S .ABCD. Trong tam giác S BC lấy một điểm M và trong tam giác S CD lấy một điểm N.
1. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (S AC).
2. Tìm giao điểm của cạnh S C với mặt phẳng (AMN).
3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 10.23 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh S C.
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AM với mặt phẳng (S BD). Chứng minh rằ ... D. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng IJ ∥ CD.
Bài 10.31 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm S A, S B.
1. Chứng minh MN ∥ CD ;
2. Gọi P là giao điểm của S C và mặt phẳng (ADN), I là giao điểm AN và DP. Chứng minh rằng S I ∥ AB. Tứ giác S ABI là hình
gì.
Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau

Chúng ta thường dùng phương pháp phản chứng.
Bài 10.32 : Cho d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau. Trên d1, lấy hai điểm phân biệt A, B và trên d2 lấy hai điểm phân biệt C, D.
Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.
Bài 10.33 : Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (α). Gọi Bx,Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối
với mặt phẳng (α). M, N là hai điểm lần lượt di động trên Bx,Cy sao cho CN = 2BM.
1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định I khi M, N di động.
2. E thuộc đoạn AM và EM =
1
3 EA, IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ song song với Bx
và (QMN) chứa một đường thẳng cố định khi M, N thay đổi.
Bài 10.34 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên BC, S C, S D, AD sao cho
MN ∥ BS , NP ∥ CD, MQ ∥ CD.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 196
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Ô
1. Chứng minh rằng PQ ∥ S A.
2. Gọi K là giao điểm của MN và PQ, chứng minh rằng S K ∥ AD.
3. Qua Q dựng các đường thẳng Qx ∥ S C và Qy ∥ S B. Tìm giao điểm của Qx với (S AB) và của Qy với (S CD).
Bài 10.35 : Cho hình chóp S .ABCD đáy là hình thang, các cạnh đáy AD = a, BC = b. I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác
S AD, S BC.
1. Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt phẳng (S BC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt phẳng (S AD).
2. Tính độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (S AB) và (S CD).
Bài 10.36 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với
KB = 2KD.
1. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
2. Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 10.37 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, mặt bên S AB là tam giác đều, S AD = 900. Gọi Dx là đường
thẳng qua D và song song với S C.
1. Tìm giao điểm I của Dx và mặt phẳng (S AB). Chứng minh AI ∥ S B.
2. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AIC). Tính diện tích thiết diện.
10.3 Đường thẳng và mặt phẳng song song
Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, dựng thiết diện song song với một đường thẳng
; dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác, xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng ;
dựng mặt phẳng qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau a và b
Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

1. Dùng định nghĩa (thường là phản chứng).
2. Dùng tiêu chuẩn : Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (α) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trên
(α) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).
Chú ý : Nếu a không có sẵn ta thường chọn một mặt phẳng (β) chứa d và lấy a là giao tuyến của (α) và (β).
Bài 10.38 : Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O,O′ lần lượt là tâm của các hình
bình hành ABCD và ABEF; G1,G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng :
1. OO′ song song với mặt phẳng (ADF) và (BCE) ; 2. G1G2 song song với mặt phẳng (CEF).
Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng thiết diện song song với một đường thẳng

Ta có thể dùng định lí sau : Cho đường thẳng d ∥ (α). Nếu d ⊂ (β) và (α) ∩ (β) = d′ thì d′ ∥ d.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 197
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 10.39 : Cho hình chóp S .ABCD. M, N là hai điểm trên AB,CD và (α) là mặt phẳng qua MN và song song với S A.
1. Tìm các giao tuyến của (α) với (S AB) và (S AC).
2. Xác định thiết diện của hình chóp với (α). Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
Bài 10.40 : Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′, đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB′A′, ACC′A′ là các hình vuông. Gọi I, J là
tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng IJ ∥ (ABC).
2. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (OIJ). Chứng minh rằng thiết diện là hình thang cân và tính diện tích thiết diện.
Bài 10.41 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm S A và CD.
1. Chứng minh rằng (OMN) ∥ (S BC) ;
2. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và S AB. Gọi I là trung điểm S E, J là một điểm trên (ABCD)
và cách đều AB và CD. Chứng minh rằng IJ ∥ (S AB).
3. Giả sử hai tam giác S AD, ABC đều cân tại A. Chứng minh rằng EF ∥ (S AD).
Vấn đề 3 : Dựng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác
Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Cho a, b chéo nhau. Ta sẽ dựng mặt phẳng (P) chứa a và b ∥ (P) như sau :
Cách 1 : Xét một đường thẳng c cắt a và c ∥ b. Khi đó (P) là mặt phẳng chứa a và c.
Cách 2 : Xét một mặt phẳng (Q) chứa b, (R) chứa a. Ta có (R) ∩ (P) = a, (Q) ∩ (R) = c và giả sử c ∩ a = {M} thì (P) ∩ (Q) là đường
thẳng d qua M và song song với b.
Vậy (P) là mặt phẳng chứa a và d.
Bài 10.42 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là một điểm nằm giữa hai điểm S và C ; (α) là mặt phẳng chứa
AM và song song với BD.
1. Hãy xác định các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lần lượt với các cạnh S B, S D.
2. Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, A, J thẳng hàng.
Bài 10.43 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hãy xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua
trung điểm M của AB, song song với các đường thẳng BD và S A.
Bài 10.44 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD.
1. Chứng minh MN song song với (S BC) và (S AD) ;
2. Gọi P là trung điểm S A. Chứng minh S B và S C đều song song với mặt phẳng (MNP).
3. Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh G1G2 song song với mặt phẳng (S AB).
Bài 10.45 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình thang với các cạnh đáy AB,CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC và G là trọng
tâm tam giác S AB.
1. Tìm giao tuyến của cặp mặt phẳng (S AB) và (IJG) ;
2. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJG). Tìm điều kiện của AB,CD để thiết diện là hình bình hành.
Download tài liệu học tập tại :  Trang 198
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 10.46 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác S AB và S AD, M là trung
điểm CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).
Bài 10.47 : Cho hình chóp S .ABCD. Gọi M, N là hai điểm trên AB,CD; (α) là mặt phẳng qua M và song song với S A.
1. Tìm giao tuyến của (α) với các mặt phẳng (S AB) và (S AC).
2. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α);
3. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
Bài 10.48 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trung điểm A′B′.
1. Chứng minh CB′ song song với mặt phẳng (AHC′);
2. Tìm giao điểm của AC′ với (BCH);
3. Mặt phẳng (α) qua trung điểm của CC′, song song với AH và CB′. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia
các cạnh tương ứng của lăng trụ.
10.4 Hai mặt phẳng song song
Chứng minh hai mặt phẳng song song ; tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt
phẳng cho trước.
Vấn đề 1 : Chứng minh hai mặt phẳng song song

1. Dùng định nghĩa (thường là phản chứng).
2. Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.
3. Dùng tiêu chuẩn : Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với một
mặt phẳng (β) cho trước thì hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.
Bài 10.49 : Cho hình chóp S .ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của S A, S D.
1. Chứng minh rằng (OMN) song song với (S BC).
2. Gọi P là trung điểm của AB, Q trên đoạn ON sao cho OQ = 3ON. Chứng minh rằng PQ ∥ (S BC).
Vấn đề 2 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước

Chúng ta thường dùng định lí : Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song thì mọi mặt phẳng (γ) đã cắt (α) đều phải cắt (β) và các giao
tuyến của chúng song.
Bài 10.50 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b, tam giác S BD đều. Một mặt phẳng (α) di
động song song với mặt phẳng (S BD) và đi qua điểm I trên đoạn AC khác A và C.
1. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
Download tài liệu học tập tại :  Trang 199
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.
Bài 10.51 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm S A, S D.
1. Chứng minh (OMN) ∥ (S BC) ;
2. Gọi P, Q là trung điểm AB và ON. Chứng minh PQ ∥ (S BC).
Bài 10.52 : Cho tứ diện ABCD, gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.
1. Chứng minh rằng (G1G2G3) ∥ (BCD).
2. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3). Tính diện tích thiết diện, biết diện tích tam giác là s.
3. M là điểm di động trong tứ diện sao cho G1 M luôn song song với mặt phẳng (ACD). Tìm tập hợp những điểm M.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 200
Download tài liệu học tập tại : 
Chương 11
Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :
1. Để có hai đường thẳng d và d′ vuông góc, có thể chứng minh :
→u .−• − →→v = 0, ở đó − →v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′.u và −
• Góc giữa chúng bằng 90◦.
• d song song với đường thẳng ∆, còn d′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó).
• d⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.
• Khi d và d′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo
của định lí Pytago, . . .
2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :
• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).
• d ∥ d′ mà d′⊥(α).
• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).
• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C).
• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α).
• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và
(α) thì d⊥(α).
3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :
• Góc giữa chúng bằng 90◦.
• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia.
4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.
A
B C
H M
201
Download tài liệu học tập tại :