Các chủ đề luyện thi môn Toán 12

 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
1 
Chủ đề 1 : HÀM SỐ 
1. Cho hàm số:  3 24 3y x m x mx    . Tìm m để 
a) Hàm số đồng biến trên  
b) Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 
c) Hàm số nghịch biến trên đoạn 1 1;
2 2
   
d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài 1l  . 
2. Tìm m để hàm số:    3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x      đồng biến trên khoảng  2; . 
3. Tìm m để hàm số:  3 23 1 4y x x m x m     nghịch biến trên khoảng  1;1 . 
4. Tìm m để hàm số:  3 21 3 2
3
my x mx m x    đồng biến trên  . 
5. Tìm m để hàm số:    3 21 2 1 1
3
y mx m x m x m      đồng biến trên    ;0 2;   . 
6. Cho hàm số: 4 2 22y x mx m    . Tìm m để: 
a) Hàm số nghịch biến trên  1; ; b) Hàm số nghịch biến trên    1;0 , 2;3 
7. Cho hàm số 
2 2
1
x x my
x
 


. Tìm m để: 
 a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
 b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng    0;1 , 2;4 . 
8. Chứng minh rằng với mọi m hàm số:  
2 31 1x m m x m
y
x m
   


 luôn đạt cực đại và cực tiểu 
9. Tìm m để hàm số:  4 2 29 10y mx m x    có ba cực trị. (B-2002). 
10. Tìm m để hàm số:  3 3y x m x   đạt cực tiểu tại điểm 0x  . 
11. Tìm m để hàm số:    3 2 2 21 2 3 1 5
3
y x m m x m x m        đạt cực tiểu tại 2.x   
12. Tìm m để hàm số: 
2
1
x mxy
x



 để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực 
trị của đồ thị hàm số bằng 10 . 
13. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị  mC của hàm số 
 2 1 1
1
x m x m
y
x
   


 luôn luôn có 
điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . (B-2005). 
14. Tìm m để hàm số:  
2 22 1 4
2
x m x m m
y
x
   


 có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị 
của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. (A-2007). 
15. Cho hàm số: 4 22 2y x mx m   . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành: 
a) Một tam giác đều b) Một tam giác vuông c) Một tam giác có diện tích bằng 16. 
16. Tìm m để hàm số:    3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x     có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng 
4 0.x y  
17. Tìm m để hàm số: 3 2 7 3y x mx x    có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với 
đường thẳng 3 7 0.x y   
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
2 
18. Tìm m để hàm số:      3 2 23 1 2 3 2 1y x m x m m x m m        có đường thẳng đi qua điểm 
cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng 4 20 0x y   một góc 045 . 
19. Tìm m để hàm số: 3 2 23y x x m x m    có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 
2 5 0x y   . 
20. Cho hàm số:    3 22 os 3sin 8 1 os2 1
3
y x c x c x        
 a) Chứng minh rằng với mọi  hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 
b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại 1 2, xx . Chứng minh: 2 21 2 18x x  . 
21. Tìm m để hàm số: 3 21 1
3
y x mx x m     có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là 
nhỏ nhất. 
22. Tìm m để hàm số: 4 21 3
4 2
y x mx   chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. 
23. Tìm m để hàm số: 
2 3 2 1
1
mx mx my
x
  


 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox 
24. Tìm m để hàm số:  
2 2 3 2
2
x m x m
y
x
   


 có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả mãn 
2 2 1
2CD CT
y y  . 
25. Tìm m để hàm số:      3 2 2 22 1 4 1 2 2012y x m x m m x m m         đạt cực trị tại hai 
điểm có hoành độ 1 2, xx sao cho  1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
   . 
26. Tìm m để hàm số   1:mC y mx x
  có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên 
bằng 1
2
. (A-2005). 
27. Tìm m để hàm số:    3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x      đạt cực trị tại 1 2, x x thoả 1 22 1x x  . 
28. Tìm m để hàm số:    3 2 2 20112 1 4 3 2012
3
y x m x m m x m        đạt cực trị tại hai điểm 
1 2, x x sao cho  1 2 1 22A x x x x   đạt giá trị lớn nhất. 
29. Tìm m để hàm số: 3 21 5 4 4
3 2
   y x mx mx đạt cực trị tại 1 2,x x sao cho biểu thức 
22
2 1
2 2
1 2
5 12
5 12
x mx mmA
x mx m m
 
 
 
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
30. Tìm m để  mC :  4 22 1y x m x m    có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA BC với O là 
gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (B-2011). 
31. Tìm m để   3 2: 3 2C y x x   có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn 
  2 2 2: 2 4 5 1 0mC x y mx my m      . 
32. Tìm m để điểm  3;5A nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
    3 2: 3 3 6 1mC y x mx m x     . 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
3 
33. Tìm tất cả các giá trị m để      3 21 1: 1 2 1 1
3 2m
C y x m x m x      có hai điểm cực trị có 
hoành độ lớn hơn 1. 
34. Tìm m để đồ thị      4 21: 3 1 2 1
4m
C y x m x m     có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác 
có trọng tâm là gốc toạ độ O. 
35. Tìm m để   4 2: 2 2mC y x mx   có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại 
tiếp đi qua điểm 3 9D ;
5 5
 
 
 
. 
36. Tìm m để đồ thị   3 2: 3  C y x x m có hai điểm cực trị A, B sao cho  0AOB 120 . 
37. Tìm m để đồ thị    4 2 2: 2 1 1mC y x m x m     có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có 
diện tích lớn nhất. 
38.Tìm m để đồ thị   4 2 2: 2 2 4mC y x mx m    có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện 
tích bằng 1. 
39. Tìm m để hàm số    3 2 2 20121 1 3 . 2011 3 2 my x mx m x m C     đạt cực trị tại 1 2,x x đồng thời 
1 2,x x là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 
10
2
. 
40. Tìm m để đồ thị   4 2: 2 2mC y x mx   có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa 
độ làm trực tâm. 
41. Tìm m để hàm số:    3 2 32 3 2 6 5 1 4 2y x m x m x m       đạt cực tiểu tại điểm  0 1; 2x  
42. Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: 
2 6 2
2
mx xy
x
 


. 
43. Cho hàm số: 
2x x my
x m
  


. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm  2;0A . 
44. Cho họ đồ thị  
2 1:
1m
x mxC y
x
 


. Tìm m để tiệm cận xiên của  mC tạo với hai trục tạo độ 
một tam giác có diện tích bằng 8. 
45. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số: 
 2 23 2 2
3
mx m x
y
x m
  


 bằng 
045 . (A-2008). 
46. Cho họ đồ thị  
 
 
2 2 21 2
: 0m
mx m m x m m
C y m
x m
     
 

. 
Chứng minh rằng khoảng cách từ gốc toạ độ O đến hai tiệm cận xiên không lớn hơn 2 . 
47. Cho   3 5:
2
xC y
x



. Tìm M thuộc  C để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 
48. Cho hàm số: 3 3 2y x x    (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 
 C . 
49. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 
   3 2: 3C y x x  trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 
50. Tìm trên đường thẳng 2y  các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị   3: 3C y x x  . 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
4 
51. Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị   4 2: 1.C y x x   
52. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị   2:
2
xC y
x


 biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại M, 
N sao cho MN OM 2 với O là gốc toạ độ. 
53. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị      3 21: 1 4 3
3m
C y mx m x m x     tồn tại đúng 
hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng 
1 3:
2 2
d y x   . 
54. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị   2:
1
xC y
x



 biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B 
sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất. 
55. Cho hàm số: 2 3mxy
x m



  mC . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kì với 
 mC cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64. 
56. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị   :
1
xC y
x


 biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam 
giác có chu vi bằng 4 2 2 . 
57. Cho hàm số:  3 2
1
xy C
x



. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình 
tiếp tuyến của d với  C biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho 
 5 26cos BAI
26
 . 
58. Cho hàm số:  4 21 53 
2 2
y x x C   và điểm  A C với Ax a . Tìm các giá trị thực của a biết 
tiếp tuyến của  C tại A cắt đồ thị  C tại hai điểm B, C phân biệt khác A sao cho AC 3AB ( B 
nằm giữa A và C). 
59. Tìm trên   1:
2
xC y
x
 


 các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A song song với 
tiếp tuyến tại B và AB 2 2 . 
60. Viết phương trình tiếp tuyến với   3:
2 2
xC y
x



 biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox, Oy tại hai 
điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O. 
61. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị   3: 3 2C y x x   sao cho tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số 
góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 2011 0x y   . 
62. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của    3 2: 2 2 3mC y x x m x m     đi qua điểm 
55A 1;
27
  
 
. 
63. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định của   4 2: 2 2 1mC y x mx m     vuông góc nhau. 
64. Cho hàm số 1
2 1
xy
x
 


 có đồ thị  C . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m  luôn 
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi 1 2, k k lần lượt là tiếp tuyến với (C) tại A, B. Tìm m để tổng 
1 2k k đạt giá trị lớn nhất. ( A -2011) 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
5 
65. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1y x mx m    tại điểm có hoành độ 0 1x   cắt 
đường tròn  C :    2 22 3 4x y    theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. 
66. Tìm trên   2 1:
2
xC y
x



 các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A song song với 
tiếp tuyến tại B và độ dài AB lớn nhất. 
67. Cho hàm số:  3 2011 y x x C  . Tiếp tuyến của  C tại 1M ( có hoành độ 1 1x  ) cắt  C tại 
điểm 2 1M M , tiếp theo tiếp tuyến của  C tại 2M cắt  C ở điểm 3 2M M và cứ như vậy tiếp 
tuyến của  C tại 1nM  cắt  C tại điểm  1 3n nM M n   . Giả sử  ;n n nM x y . Hãy tìm n để 
20122011 2n nx y  . 
68. Cho hàm số:  1 
2 1
xy C
x



. Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm 
 M C mà tiếp tuyến tại M của  C tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên 
đường thẳng 2 1y m  . 
69. Tìm trên hai nhánh của đồ thị   2 1:
1
xC y
x



 hai điểm M và N sao cho tiếp tuyến tại hai điểm 
này cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập thành một hình thang. 
70. Cho hàm số: 2 1
1
xy
x


 ... com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
64 
Chủ đề 18: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao là h và góc ở đáy của mặt bên bằng  . Tính 
thể tích khối chóp S.ABC. 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng  . Cho biết khoảng 
cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng a. Tính thể tích của hình chóp. 
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.Abc . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a và góc 
hợp bởi AB với mặt phẳng (SBC) bằng 030 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. 
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi (P) là mặt phẳng qua A song 
song với BC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa mặt phẳng (P) và đáy bằng  . 
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và  . 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. 
 a) Chứng minh S.ABCD là hình chóp đều 
 b) Tính cạnh của hình chóp S.ABCD khi thể tích của nó bằng 
39a 2
2
. 
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của khối chóp theo a và 
 trong mỗi trường hợp sau: 
 a)  là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. 
 b)  là góc giữa mặt bên và mặt đáy. 
 c)  là góc giữa đường cao và mặt bên. 
 d)  là góc ở đỉnh của mặt bên. 
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và 
khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) bằng 
a 3
6
. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên 
(SCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a.Mặt phẳng 
(SBC) vuông góc với đáy. Các mặt bên hợp với đáy góc 045 . Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác vuông. 
 a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác đều 
 b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
 c) Tính tan biết  là góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp. 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
65 
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 
2a 3
3
, chiều cao bằng a 
và hai mặt chéo  SAC và  SBD cùng vuông góc với đáy. 
 a) Chứng minh S.ABCD là hình chóp đều. 
 b) Tính thể tích khối chóp 
 c) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp. 
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với 
mặt phẳng đáy. Biết  0BAC 120 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) 
vuông góc với đáy. Đường chéo AC của đáy tạo với cạnh AB một góc  . Cạnh SC có độ dài bằng a 
và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc  . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a,  và  . 
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, BC = 2a . Hai mặt bên 
(SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 060 . 
 a) Tính thể tích khối chóp. 
 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). 
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy 
và SA a 2 . Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM  . Hạ SN vuông góc với CM. 
 a) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a 
và  . 
 b) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN. Chứng minh SC vuông góc với mặt 
phẳng (AHK) và tính độ dài HK. 
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  0BAD 60 . Cạnh bên SA vuông 
góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a . Gọi C là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và 
song song với BD; cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B , D  . Tính thể tích của khối 
chóp S. AB C D   . 
Bài 16: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường chéo BC của mặt 
bên  BCC B  tạo với mặt bên  ABB A  một góc 030 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 
Bài 17: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A B C D    có chiều cao bằng h. Góc giữa hai đường 
chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng  0 0 0 90   . Tính thể tích khối lăng trụ đã 
cho. 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
66 
Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 
AB a, AA =2a, A C= 3a  . Gọi M là trung điểm của đoạn A C , I là giao điểm của AM và A C . 
Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). 
Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C   có AB a, AC = 2a, AA =2a 5 và  0BAC 120 . Gọi 
M là trung điểm cạnh CC . Chứng minh MB vuông góc với MA và tính khoảng cách từ điểm A 
đến mặt phẳng  A BM . 
Bài 20: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A cách 
đều các đỉnh A, B, C. Cạnh AA tạo với đáy góc 060 . Tính thể tính khối lăng trụ. 
Bài 21: Cho lăng trụ ABC.A B C   có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, 
AB a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh 
BC. Tính theo a thể tích khối chóp A .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA , B C  . 
Bài 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D    có đường chéo AC a  và lần lượt tạo với ba 
cạnh AA , AB và AD các góc 0 0 060 , =45 , =60   . Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đã 
cho. 
Bài 23: Cho hình lập phương ABCD.A B C D    có cạnh bằng a. Chứng minh  B D A BC   và 
tính thể tích khối đa diện có các đỉnh B , A , B, C , D   theo a. 
Bài 24: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, 
SB, SC , SD theo thứ tự A ,B ,C ,D    . Chứng minh: 
 a) S.ABC S.ACD S.ABD S.BCDV V V V   ; b) 
SA SC SB SD
SA SC SB SD
  
   
. 
Bài 25: Cho hình chóp S.ABC có  SA ABC , tam giác ABC vuông cân đỉnh C và SC a . Tính 
góc  giữa hai mặt phẳng  SBC và  ABC để thể tích khối chóp lớn nhất. 
Bài 26: Cho điểm M cố định nằm trong góc tam diện Oxyz cố định. Các mặt phẳng qua M và song 
với các mặt tam diện cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại 1 1 1A ,B ,C . Mặt phẳng   di động qua M và cắt 
Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O. 
 a) Chứng minh 1 1 1
OA OB OC 1
OA OB OC
   
 b) Tìm vị trí   để 
OMAB OMBC OMCA OABC
1 1 1 e
V V V V
   đạt giá trị lớn nhất. 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
67 
Chủ đề 19: BẤT ĐẲNG THỨC 
1. Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3
1 1 1 1 .
a b abc b c abc c a abc abc
  
     
2. Cho , , 0a b c  thỏa mãn: 1a b c   . 
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1 1 30
a b c ab bc ca
   
 
. 
3. Cho 0 , , 1x y z  . Chứng minh rằng:    812 2 2 2 2 2
8
x y z x y z       . 
4. Cho các số thực , ,x y z thỏa: 2 3 2x y z   . 
Chứng minh rằng: 2 2 21 2 1 3 1 2 10x y z      . 
5. Cho 2 22 , y 2 3y x x x    . Chứng minh rằng: 2 2 2x y  . 
6. Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 22010 . 2010 2010 . 2010 2010 . 2010
x y y z z x
x y y z z x
  
 
     
. 
7. Cho x, y là hai số thực thỏa:  2 22log 2 1x y x y   . Chứng minh rằng: 
92 .
2
x y  
8. Chứng minh rằng: 
         
2
4 4 4 42 0 1 2 ...
1
n
n n
n n n n
C
C C C C
n
    

 với mọi nN  \ 0 . 
9. Cho , , 0a b c  thỏa mãn: 3
4
a b c   . 
 Chứng minh rằng: 3 3 33 3 3 3a b b c c a      . Dấu “=” xảy ra khi nào? 
10. Chứng minh rằng nếu 0 1y x   thì 1
4
x y y x  . Dấu “=” xảy ra khi nào? 
11. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn 3 3 3 1x y z     . Chứng minh rằng: 
9 9 9 3 3 3
3 3 3 3 3 3 4
x y z x y z
x y z y z x z x y  
 
  
  
. 
12. Cho x, y, z thỏa mãn: 0x y z   . 
Chứng minh rằng: 3 4 3 4 3 4 6x y z      . 
13. Chứng minh rằng với mọi , 0x y  ta có:  
2
91 1 1 256.yx
x y
          
14. Cho , , 0a b c  . Chứng minh rằng: a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
    
     
. 
15. Chứng minh rằng nếu phương trình 4 3 2 1 0x ax bx ax     có nghiệm thì 2 2 4
5
a b  . 
16. Cho 
2 2 2
5
9
x y z
x y z
  

  
. Chứng minh rằng: 7, , 1;
3
x y z    
. 
17. Cho 
2 2 2 2
1
x y z
xy yz zx
   

  
. Chứng minh rằng: 4 4, , ;
3 3
x y z     
. 
18. Cho 2
0a
a bc
a b c abc



   
. Chứng minh rằng: , 0b c  . 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM
 Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925 
68 
19. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:  
2
1 cos cos cos
2
x A B C x    x R. 
20. Cho 
0 , , 2
3
a b c
a b c
 

  
. Chứng minh rằng: 2 2 2 5a b c   . 
21. Cho , , 0x y z  thỏa:   1xyz x y z   . Chứng minh rằng:  )( 2x y y z   . 
22. Cho , , 0x y z  thỏa: 
3
yzx y z
x
   . Chứng minh rằng:  2 3 3
6
x y z  . 
23. Cho 2 n N và hai số thực x, y không âm. Chứng minh rằng: 1 11n n n nn nx y x y    . Dấu 
“=” xảy ra khi nào? 
24. Cho các số thực x, y thỏa mãn: , 0;
3
πx y     
. Chứng minh rằng: cos cos 1 cosx y xy   . 
25. Cho , , 0x y z  . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
     3 3 3 3 3 33 3 3 2 2 24 4 4 2
x y zP x y y z z x
y z x
 
         
 
. 
26. Cho , 0a b  thỏa mãn 3ab a b   . Chứng minh rằng: 
2 23 3 3 .
1 1 2
a b ab a b
b a a b
    
  
27. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn: 0 1a b   . Chứng minh rằng: 2 2ln ln ln lna b b a a b   . 
28. Cho ba số thực  , , 0;1a b c . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
.
1 1 1
a b b c c aP
c a b
  
  
  
29. Cho , ,x y z là ba số thực thỏa mãn điều kiện: 1x y z   . Chứng minh rằng: 4 4 4x y z xyz   . 
30. Giả sử , , ,a b c d là bốn số nguyên thay đổi thỏa mãn 1 50a b c d     . Chứng minh bất đẳng 
thức 
2 50
50
a c b b
b d b
 
  và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .a cS
b d
  
31. Chứng minh rằng: 
2
cos 2 
2
x xe x x x     R. 
32. Cho , , 0x y z  thỏa mãn: 3xyz  . Chứng minh: 
11 1
93
xy yz zx
yx zx y z
 
 . 
33. Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: 
2010 1
2011 2011 2010 1 .
2011 2011
x y x ye e e

  
34. Chứng minh rằng:  
x 1
1 x 1 x 2x x x 0;1
e
     . 
35. Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho: 2 2 2 2 4a b c d    . Chứng minh: 
3 3 3 3 8a b c d    . 
36. Cho  , y, z 0,1x  . Chứng minh rằng    1 1 1 1xyz x y z     . 
37. Cho các số thực x, y, z thỏa: 
2 2
2 2
3
16
x xy y
y yz z
   

  
. 
Chứng minh rằng: 8xy yz zx   . 
38. Cho , ,a b c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2011
a b c
   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1 1 1
2 2 2
P
a b c a b c a b c
  
     
. 
 WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
WWW.MATHVN.COM