Các bài toán về phép đếm

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM
I. Phép đếm không lặp
Trong phép đếm không lặp mỗi phần tử cần đếm chỉ xuất hiện tối đa một lần, không có sự lặp lại.
VD1. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
VD2. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
VD3. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy.
VD4. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi chữ số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
VD5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị.
VD6. Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi chữ số gồm 7 chữ số khác nhau.
VD7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
VD8. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5.
VD9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000.
VD10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
VD11. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số chia hết cho 9, mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau.
VD12. Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, , 7, 8, 9. Lập được bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số trên.
VD13. Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
VD14. Cho tập hợp 
Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau lựa chọn từ E sao cho một rtong 3 chữ số đầu tiên là 1.
VD15.Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vaừ khác số.
VD16. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ cả 3 màu.
VD17. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông.
Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ.
Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông đỏ.
VD18. Có 12 cây giống 3 loại: xoài, mít, ổi trong đó 6 xoài, 4 mít, và 2 ổi. Muốn chọn ra 6 cây giống đã trồng. Hỏi có bao nhiêu cách:
Chọn ra mỗi loại đúng 2 cây.
Chọn ra mỗi loại có ít nhất một cây (tức là đủ cả 3 loại)
Chọn số cây xoài bằng số cây mít
Chọn số cây mít nhiều hơn số cây xoài.
VD19. Ở một trường tiểu học có 50 em là học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 em trên để đi dự trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào.
II. Phép đếm có lặp
Trong các bài toán về phép đếm có lặp, mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiện nhiều lần. Để giải các bài toán về phép đếm có lặp, người ta quy về phép đếm không lặp và cũng sử dụng hai quy tắc chính của phép đếm là quy tắc cộng và quy tắc nhân; cũng như sử dụng hai phương pháp trực tiếp và gián tiếp như đã dùng trong các bài toán đếm không lặp.
VD1. Cho tập hợp 
Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số (các chữ số này chọn từ tập hợp E) sao cho mỗi chữ số tạo thành đều chia hết cho 4.
VD2. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5 lần, các số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1 lần.
VD3.Cho tập hợp 
Cần lập bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:
Chữ số ở vị trí thứ 3 (chỉ số hàng vạn) là một số chẵn.
Đó là số không chia hết cho 5.
Các chữ số ử những vị trí 4, 5, 6 (hàng nghìn, hnàg trăm, hàng chục) đôi một khác nhau.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu số như vậy?