Các bài toán về Hệ phương trình

1 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH 
I.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1: 
2 2
2 2
4 4 2 22 2 2 2
2 2
35( ) 2 19 49/ / 18
1/ ;2 / ;3 / ;4 /
3 35 ( ) 1801 12
17 ( )4 5 5
5 / ;6 / ;7 / ;8 /
2 4 7 ( 1) 67
x y xyx y xy x y xyx y y x
x y xy xy x yx y xy x y
x y x y xyx y x y x y
x y xy xy x y xyx y xy
             
   
            
          
  
          
4 4
78
97x y


 
2 2 3 2 3
4 ( 1) (1 1 ) 4( )(1 1 ) 4
9 / ;10 / ;11/
1 44 ( ) ( ) 1 4
x y x y y x x x y yx y xy
xy xy x y y xx y x y y x xy xy xy y
          
  
           
II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2: 
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 1 2
13 4
1/ ;2 / 2;3/ 1;4 / 2 ;5/
13 4
2 1 2
xyz x y z
xy z x y z x yz x
x x y yzt y z t
yz x y z x y zx y
ztx z t xy y x
zx y z x y z xy z
txy t x y
  
                 
          
       
            
3 3 2 2 2 2
3 3 2 2 2 2
2 3 2 3 2
6 / ;7 / ;8 /
2 3 2 3 2
x x y x x y x y y
y y x y y x y x x
         
  
         
III.Hệ phƣơng trình đẳng cấp: 
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2
2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3) 1
4 5 5 2 3 17 2 2 3
x xy y x xy y x y x y x y xy x y
x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y
                     
    
                      
2 2 5 5 3 3 2 2 3 3 2
5 5 2 2 3 3 2 2 2 2 2
5 7( ) 31( ) 2 2 3
6 / ;7 / ;8 / ;9 / ;10 /
11( ) 3 2 1 3 1
x y x y x y x y x x y x xy y
x y x y x y xy x y xy x y x y xy x y
                  
    
                      
2 2 2 4 3 3 3 3 2 2
3 3 2 2 5 5 3 3 3 3 3 2
3 2 0 1 2 3 1
11/ ;12 / ;13 / ;14 / ;15 /
2 2 2 2 1 0 2 3 3
x y xy x y xy y x xy x y x y
x y x y x y xy x y xy x y x y x xy y
                   
    
                    
IV.Hệ phƣơng trình vô tỉ: 
2 2 22 2
2 2 2 2
30 2 8 24 2 2 8 28
12835 128 4 2 16
x y y x x y xyx y x y S P Px y x
x yx x y y x y x y S P
                 
     
              
2 23 3
2 2 2 23 3
2(1)2 2 5 2 72( ) 3( )
; ; ;
2 2 5 2 76 4
x y x yx y x yx y x y xy
y x y xx y x y x y
                 
   
                
( bp (1) ) 
2 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 
2 2
3 2 1 20 /20 2 2 7
; ; ; ( )
3 2 23136 0 16 /5
x y x y y x x y x yx y x y x y x y
x yx y x y x y x y x y x y
                      
   
              
34
6 32 2 4
2 1 2 1 2 11 1
11/ ;12 / ;13 / ;14 /
1 2 1 2 5 8 2 21 12 2
x y x y x yx y
y x x x y yy xx y xy
             
   
             
2 2 211 1( 3) 3 2
15 / ;16 / ;17 / ;18 /
21 1 1 1 1
x yx y x yy x x x x x y y
x y x yx y x xy y x x y x y
               
   
                  
1 7 4 9 7 4 3 3 42 2 3
19 / ;20 / ;21/ ;22 /
3 1 7 4 9 7 4 2
x y x y x yx y y x
x y xy y x y x y x
                  
   
                  
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 1 2 91 2
23 / ;24 / ;25 / ;26 /
2 01 1 1 0,5 91 2
x y x y x y y x x y x y y
x y xyx y x y x x y y y x x
                    
   
                  
 
 
 
 
2 2 1 12 ( 3 ) 2 3 5 ( 42 ) 2 42
27 / ;28 / ;29 /
2 1 2 2 1 12 ( 3 ) 6 3 5 ( 42 ) 2
y x x y x yxy x y x y
x y y x x y y x y y x x
            
  
             
V. Giải HPT bằng pp đánh giá: 
2 2 2 2
2 2 3 4 2
2 2 4 6 4 2
2 2 2
2
1 2 /(1 ) 2 /(1 )1/ 1
2
1; 1/ 1; 2 /(1 ) ; 3 /( 1) ;
2
1/ 1 2 /(1 ) 4 /( 1)1
12
x y yz
x y x x y x x yx y
z y xz
y z y z y y z y y y z
x z yx
z x z z x z z z z xz x
x y z
  
               
            
                    
2 222 2 2 4 6
3 4 4 5 7 22
1 4 1 ( 1)1 21 1
; ;
1 1 1 2 1 41 2 1 4
xy zz xyx y x y z
x y x y z x yz xyx yz xy
              
   
               
VI. Một số HPT khác: 
2 2 2 2 3 3
32 2 2 2 2 2
6 5 1/ 1/2 ( ) 3 ( ) ) 3 7 7
; ; ; ;
2 1( ) 10 ( )( ) 15 2
2
x y x y
x x y yy x y x x y x y x x y y
x y x y
y xx x y y x y x y x y x y
xy
 
                 
     
               
2 2
2 2 2 2 2 2
(3 2 )( 1) 12 ( 2)(2 ) 9 ( )(1 1/ ) 518
6 / ; ; ;9 /
( 1)( 1) 72 4 2 8 4 6 ( )(1 1/ ) 49
x x y x x x x y x y xyx y x y
xy x y x x y x x y x y x y
              
   
              
3 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 3 9 96 ( )( ) 45
10 / 7 ;11/ 4 9 189 189;12 / ( )( ) 63
( )( ) 5414 3 4
x y z x u vx y z x y x y z
xy yz zx x y z x u v y z x y z
z x x y zx y z xz y xv u
             
  
                
              
5 6( ) 5 24( ) 0 1 ( ) 2
13 / 7 12( );14 / 7 24( ); 0; 5;17 / ( ) 3
3 4( ) 4( ) 0 2 ( ) 6
xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz
yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz
xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy
                
    
                
                    
2 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 2
2 0 2 / ( 1) 1 1 3 4 11
18 / ;19 /
12 4 3 0 2( 1) 1 0 3 2 9 8 3
x y x y y x x x x y x y
yx x y x y x y x y
              
    
                
2 2 2 2 2 2
3 32 22 2
1/ 1/ 1 ( ) 6
20 / ;21/
18 2722 2 1 21 1 2
x y x y x x yx y x y
x y yyx y xyx y xy
          
    
               
3 2 2 2 2
34
16 1 2
22 / , 0 8 3 4 8 2;23 /
3 8 ( )(1 ) 1
x y x y x y xy
x y x y x y x y
x y x y xy xy
     
          
      
24
24 4
4
32 3
24 / ( 32 ) ( 32 ) 6 21 12. 12 16; 3
32 6 24
x x y
x x x x y y VT x y
x x y
     
             
   
4 3 2 2 4 3 2 2 3 3 34 2
3 2 2 2 2
1 1 1 20
25 / ;26 /
111 ( 1)( 1) 0 2
x x y x y x x y x y x y x y yx x
yxyx y x xy xy x x y x y
               
      
            
2 2
2 2 2 2 22 2 2
1/ 6 / ( ) 6 66 3 1;2 (1/ 2;1)
27 /
2 2;1 (1;2)1/ 5 5 2 51 5
x y x y yz z y SPy xy x S y
P zx y z y S Px y x
             
                       
3 3 3 3 3 3 3
2 2
1 19 / 16 / 31/ 19 19
28 / ;29 /
/ 9 / 21/ 6 / ( ) 66
x y x xy x yx y z y
xy y xx y x y zy z yy xy x
         
    
          
2 2 2 2
2 2
4 2 6(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
31/ ;32 / ;33 /
2 1 (2 ) 0 0 2 6 0
x y x y x y x yx y x y x y
x y x y x xy y x xy y
            
  
           
3 3 2 2
5 5
2 ( ) 6 3 5 34 ( 1)( 1) 3
34 / ;35 / ;36 /
6 3 18 ( 1)( 1) 630 32
x y xy x y x y z x x y y
x y z x yx y xy
             
  
        
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 1) 3 1 7 2 2 2 2
38 / ;39 / ;40 / ;41/
( ) 5 1 0 1 13 2 2 1 3 1
x x y xy x y x y x x x y x
x y x x y xy y x y x y xy x y xy x
              
   
                
2 2 2 22 2
2 23 2 2 2
26 52( ) 1 13
42 / ;44 / ;45 / ;46 /
24 1 1 12 6 1 2 3
x y y xx y x yx y x y xy
x y x y xyx xy x x y
          
   
           
4 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 
2 2 2
2 2 2
2 4 2 2 0 ( 1)(2 1) 6 2 5 2 1 0
47 / ;48 / ;49 /
( 1)(3 2) 2 33 6 3 0 4 12 12 10 0
x xy x y x y x y x xy y x y
x y x yx xy x y x xy y x y
                 
  
               
2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 3 3 2 0 2 2 3 0 1 13
50 / ;51/ ;52 /
1 123 32 5 0 3 1 0
x xy y x y x xy y x xy xy x y y x
xy xy x y y xx y xy y y
               
  
            
2 2
2 2
2 2
2 2 / (1 ) 2 ( / 7)
53 / 2 0 2 / (1 ) 4 (2 / 7)
8 (4 / 7)2 2 / (1 )
x x y y y x x y tan a x tan k
y y z z x y z z y y z tan a y tan k
x tan a z tan kz z x x x z z



        
    
                
             
2 2
2
2 2
2
2 2
6 ( ) 13 0 0 0 6 / 6 / 13
3 0
54 / 3 ( ) 5 0 0 0 6 / 6 / 10;55 /
2 0
6 / 6 / 56 ( ) 5
x y z yz x y z xy z xz y
xy y x y
y z x zx y z x xy z yz x
x xy y
z R x R y R xz y yz xz x y xy
          
         
               
               
Khảo sát (2) ta thấy: nếu x > 1 thì y > 1 nên (1) VN. 
Nếu x = 1 thì từ (2) suy ra y = 1, thỏa mãn (1). Nếu Vậy 
HPT có nghdn x = y = 1. 
 Từ ĐK của HPT 
 Vậy HPT có 2 nghiệm là ( 1; 0 ) và ( -2; 3 ) 
2 2 4 3 2 2 2
2 2 3 2 2 2
1 1 41 4 1 2 1/ 2
58 / ;59 / ;60 / ;61/
( ) 2 7 2 1 2 2 6 4 6
x yx y xy y x x y x y x x y
y x y x y x y x xy y y x y x y
                  
   
                    
62/ Tìm GT của m để HPT sau có nghiệm thực: 
3 2 3
2 2 2
3 3 2 0(1)
1 3 2 0(2)
x y y x
x x y y m
     

     
3 3 2
2 2 2 22 2 2 2
2 9 6 3 1
63 / ;64 / ;65 / ;
2 4 11 3
x y x y x y x xy x y
x x y y x yx y x y
             
  
            
2 22 4 2 2
2 2 22 2
31 ( ) 4 4 6 9 0
66 / ;67 / ;68 / ;
( 1)( 2) 2 22 01 1 4
x y xyx y x y y x x y y
x x y y x y x yx y
              
  
            
1 2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 22
(1 4 )5 1 3 3( ) 8 27 18
69 / ;70 / 71/
7( ) 4 63 1/ 1 2
x y x y x y
x xy y x y x y y
x xy y x y x y x yx y y x y
                
  
            
5 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 
2 2 2 2 2
3 3
2 1 4( ) 3 / ( ) 7
72 / ;73 / ;74 /
2 1/ ( ) 32 2 2
x y x yy x x xy y x y
x x yx y y x y x y
            
  
        
75/ 
3 2 3 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 9 22 3 9 ( )( 9) 22 3( )(1)
1 2 ( 1 2) ( 1 2) 1(2)
x x x y y y x y x y xy x y
x y x y x y
              
 
         
 Từ (2) : 1 2 ; 1 2a x cosa y sina     . Thay vào (1) ta được: 
(1 )(3 2 ( ) 2 37 4) 22 3(1,5 )cosa sina cosa sina cosasina cosa sina cosa sina            
 Đặt t = cosa – sina thì PT trên trở thành: 
2 3(1 )(1,5 (1 ) 2 2 37 4) 22 3(1,5 ) 2 39 41 0 1( 2)t t t t t t t t t                
2 ( 4) 1 2 2 2cos a a k k          HPT có 2 nghiệm:(3/2; -1/2) và (1/2; -3/2 ) 
VII. Biện luận hệ phƣơng trình: 
 1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: 
2 2
(1)
x y xy m
x y m
  

 
Giải: Đặt S = x + y; P = xy 
2 2& 2 2 3 0. ' 1 3 0 1/3S P m S P m S S m m m                . Để 
(1) có nghiệm thì 
2 24 2 2 2 2( ) 2 2 2 3 1 0S P S P P m P m m S m S m m                  . Để (1) 
có nghiệm ta chỉ cần đk: 2 3 1 0 3 1 2 0 8m m m m m            ( do 0m  từ pt thứ hai của hệ 
 2/ Giải và bl hpt: 
2
2
2
2
x xy y mx
y xy x my
   

  
Giải: Trừ các vế của 2 pt ta đƣợc: ( )( 1 ) 0x y x y m     
 a/ 
23 ( 1) 0 0;( 1) /3x y x m x x m        
 b/ 
21 ( 1) 1 0. ( 1)( 5)y m x x m x m m m             
Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm 0; ( 1) /3x y x y m     
 +/ 1 5m m   : hpt có nghiệm: 0; ( 1) /3x y x y m     ;
1 1
( ; )
2 2
m m    
 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 
2 2
2 2
1(1)
3 2 (2)
x xy y
x xy y m
   

  
6 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 
Giải: Đặt 
2 2(1) : ( 1) 1x ty y t t     (3). Vì 2 1 0t t   với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra: 
2 2 2( 3 2) /( 1) ( 1) (3 ) 2 0t t t t m m t m t m            (4). 
 +/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghiệm. 
 +/ 1:m  (4) có 3( 4)( 6)m m     . 
 Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi 4 6m   . 
 4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 
1 1 3
1 1 1 1
x y
x y y x x y m
    

       
Giải: hpt đã cho tđ với: 
2 2
3( , 0) 3
/3( 1) ( 1)
u v u v S
P mu v v u u v m
    
  
      
hpt có nghiệm khi 0 27/ 4m  . 
 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất: 
2 3 2
2 3 2
4
4
y x x ax
x y x ay
   

  
Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: 0 0( ; )x y thì nó cũng có nghiệm 0 0( ; )y x do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì 
3 2
0 0 0 0 05 0x y x x ax     . Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì 25 4 0 25/ 4a a      . 
 b/ đk đủ: hpt tđ với 
2 3 2
2 2
4
( ) 3( ) 0
x y y ay
x y x xy y x y a
   

         
. Do pt 
2 2 3( ) 0x xy y x y a       
2 2( 3) 3 0x y x y y a      có 2 2 2( 3) 4( 3 ) 3 6 9 4 0x y y y a y y a y             vì 
' 12(3 ) 0y a    do a > 25/4 . 
 Với x = y thì hpt trở thành 
2( 5 ) 0x x x a   . Do 25/ 4 25 4 0a a     nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do 
đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất. 
 6/ Giải và biện luận hpt: 
x y xy a
x y a
   

 
Giải: trừ các vế của hai pt ta đƣợc: 2 0 0 4 ( 0)y xy y x y y       
 a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3) 
 b/ 0a  : hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0). 
7 DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN 
MỘT SỐ BÀI TẬP: 
 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: 
2 2
2
4
3 4
x xy y k
y xy
   

 
 2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 
4 1 4
(13/3 7)
3
x y
m
x y m
    
 
 
 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: 
3 2 2
3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my
   

  
 có nghiệm duy nhất ( m > 16 ) 
 4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: 
2
2 1
( 1)
( )
x y xy m
m
xy x y m m
   

  
 5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: 
2 2
2 2
3 2 11 59 3897 59 3897
4 42 3 17
x xy y
m
x xy y m
      
  
     
 6/ Cho HPT: 2 2( ) & ( )x my m d x y x C    . Biện luận số nghiệm của HPT theo m. Khi HPT có hai nghiệm 
1 1 2 2( ; ) &( ; )x y x y hãy tìm GT của m để GTBT 
2 2
2 1 2 1( ) ( )S x x y y    đạt GTLN ( m = 1/2 ) 
---------------------- // --------------------