Các bài toán tổ hợp trong đề thi tuyển sinh đại học

Các bài toán tổ hợp trong đề thi tuyển sinh đại học.
1. Chứng minh rằng
 a) b) .
2. Chứng minh rằng: 
 a) b) 
3.Chứng minh rằng:
 . (Đề 144).
4. Chứng minh rằng:
 (Đề 176)
5.Tính tổng: (ĐH BK 99).
6. Giải bất phương trình: ( ĐH BK 2000).
7. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh A,B,C,D,E vào 1 ghế dài sao cho:
 a-Bạn C ngồi chính giữa.
 b- Bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế.
 (ĐH Hàng Hải TP HCM 99).
8.Đặt: 
Tính hệ số .
Tính tổng: 
Tính tổng: .
 ( ĐH HH 97).
 9. Giải bất phương trình: ( ĐH HH 99).
 10.Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp, hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị hội học sinh nhà trường sao cho trong 3 người có ít nhất 1 cán bộ lớp.
 ( ĐH GT 2000).
 11. Hỏi từ 10 chữ số từ 0-9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt số 0 và 1.
 ( HVCN BC VT TPHCM 99).
 12.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển công thức nhị thức Newton: .
 13. Chứng minh rằng:
 14. Xét các biển số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái: A,B,C,....,Z. Các chữ số được lấy từ các số 0,1,2,...,9.
Có mấy biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ cái O và các chữ số là đôi một khác nhau. ( ĐS: 3402000 cách)
Có mấy biển số xe có 2 chữ cái đôi một khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau. ( ĐS: 975000 cách).
 ( HV Ngân Hàng TP HCM.KA-2000)
 15. Trong mặt phảng, cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H.
Có bao nhiêu tam giác như vậy. (1140)
Có mấy tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H. (320).
Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H. (800).
16. Chứng minh rằng: 
 ( Hãy chọn n một giá trị tương ứng nào đó, chẳng hạn: n=2007 hoặc n=2008, sau đó tự tính tổng vế trái.).
17.Chứng minh rằng: .
18.Chứng minh rằng: ta có: .
19. Chứng minh rằng: .
20. Chứng minh rằng: 
21. Cho .
Tính: .
Chứng minh rằng: .
22. Cho các chữ số : 1,2,3,4.
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên.
Tính tổng các chữ số đã tìm được ở câu a. (66660).
 - Hướng dẫn: Mỗi chữ số đứng ở các hàng : Nghìn, trăm trục và đv đều có 6 cách lựa chon......
23..Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau lấy từ các số : 0,2,3,6,9.
24. Cho . Tìm hệ số của trong khai triển.
25. Cho tam giác ABC, xét tập hợp gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC 6 đường thẳng song song với CA. Các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình thang, không kể hình bình hành. ( 120 tam giác và 720 hình thang.)
26. a) Tính: .
 b) Chứng minh rằng: .
27. a) Tính: . 
 b) Chứng minh rằng: .
28.Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.
29. a. Tính tích phân: .
Tính tổng: .
30. Tìm hệ số của trong khai triển:.
31. Trong khai triển : Tìm số hạng không chứa x biết rằng: .
32. Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức: bằng 1024 hãy tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển.
33.Tính .
34. Giải bất phương trình: .
35. Từ các số : 0,1,3,5,7. có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5.
36. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 
37. Một trường tiểu học có 50 cháu đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn 1nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh đó đi dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào.Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
38. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số từ các số : 1,2,3,4,5,6 trong đó các chữ số 1 và 6 có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
39.Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Chọn ra 1 tốp ca gồm 5 em trong đó có ít nhất 2 nam và ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
40. a.Trong khai triển nhị thức Niuton: tìm số hạng không chứa x.
 b. Trong khai triển: Tím số hạng chứa .
41. Lan được tặng 1 bó hoa có 8 hồng nhung và 6 hồng bạch. Lan muốn chọn ra 10 bông sao cho có nhiều nhất 6 bông hồng nhung và ít nhất là 3 bông hồng bạch. Có bao nhiêu cách chọn.
42.Một lớp học gồm 15 em, trong đó có 9 nam và 6 nữ. Muốn chọn 1 nhóm 5 em tham dự trò chơi gồm 3 nam và 2 nữ. Hỏi có mấy cách chọn.
43. Tính: .	
44. Tính: .
45. Một đội văn nghệ có 10 nam 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
 1. Có đúng 2 nam .
 2. Có ít nhất 2nam và ít nhất 2 nữ.
46. Từ các số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 2 lần các chữ số khác có mặt 1 lần.
47. Chứng minh rằng: .
48. Một tổ sinh viên gồm 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiến anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3em biết tiếng Anh 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách.
49.Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số :
 1- Chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.
 2- Chia hết cho 5có 3 chữ số đôi một khác nhau.
 3- Chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó đôi 1 khác nhau.
50. Một tổ có 5 học sinh và 5 học sinh nữ đứng thành hàng dọc.
 1- Có bao nhiêu cách xếp khác nhau.
 2- Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giưói tính đứng cạnh nhau.
51. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau.
52.Cho . Tính hệ số của trong khai triển của đa thức.
53. Tính hệ số của: trong khai triển: .
54. Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
 1-Có 3 học sinh trong nhóm.
 2- Có 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ.
 3- Có 6 học sinh sao cho có ít nhất là 9 nam.
55.Có 9 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.
 1- Có bao nhiêu cách chọn ra 6 bi trong đó có đúng 2 bi đỏ.
 2-Có bao nhiêu cách chọn ra 6 bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ.
56.Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho:
 1- Số đó phải có mặt số 2.
 2- Số đó phải có mặt 2 số 1 và 6.
57.Cho 
 1- Tính: .
 2 Chứng minh rằng: 
58. a.Tính tích phân : 
 b. Chứng minh rằng: .
59. Chứng minh rằng: 
60. Chứng minh rằng: 
 1. .
 2. Với: . Chứng minh rằng:
 .
61. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồngotrawngs và 4 bông hồng đỏ ( Các bông hồng xem như đôi một khác nhau) Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông.
 1. Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ.
 2. Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.