Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
	· Tập xác định: D = R. . 
	(1) đồng biến trên R Û Û 
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng .
	· 
Cho hàm số có đồ thị (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 
	· có 
	. Hàm số đồng biến trên các khoảng 
	Do đó: hàm số đồng biến trên 
Cho hàm số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để hàm đồng biến trên .
	· Hàm đồng biến trên với 
	 với 
	Ta có: 
	Lập bảng biến thiên của hàm trên , từ đó ta đi đến kết luận: 
Cho hàm số (1), (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
	2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
	· Ta có 
	+ , Þ thoả mãn.
	+ , có 3 nghiệm phân biệt: . 
	Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi . 	Vậy .
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng .
	· Tập xác định: D = R \ {–m}.	.
	Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Û 	(1)
	Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảngthì ta phải có 	(2)
	Kết hợp (1) và (2) ta được: .
KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
	2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
	· PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành: 
	 Û 
	(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục 0x PT (1) có 3 nghiệm phân biệt 
	Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û Û 
Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
	· .
	(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT có 2 nghiệm trái dấu Û Û .
Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
	2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
	· TXĐ: D = R ; .
	Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu Û 
Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng .
	· Ta có: .
	Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 
	 (*)
	Gọi hai điểm cực trị là 
	Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 
	 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: 
	Các điểm cực trị cách đều đường thẳng xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
	TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (thỏa mãn)TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng 
	Vậy các giá trị cần tìm của m là: 
Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
	· Ta có: ; . Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0.
	Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ 
	Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
	A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û Û Û 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: .
	· ; .
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 2 nghiệm phân biệt Û .
	Khi đó 2 điểm cực trị là: Þ 
	Trung điểm I của AB có toạ độ: 
	Đường thẳng d: có một VTCP .
	A và B đối xứng với nhau qua d Û Û Û 
Cho hàm số 	(1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: .
	· Ta có 
	Hàm số có cực đại, cực tiểu Û có hai nghiệm phân biệt 
	Ta có: 
	Tại các điểm cực trị thì , do đó tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình:
	Như vậy đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình 
	nên D có hệ số góc .	d: Þ d có hệ số góc 
	Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D 
	Þ 
	Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
	Vậy: m = 0
Cho hàm số (1) có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: .
	· 
	Hàm số có CĐ, CT Û 
	Ta có 
	Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là , I là trung điểm của AB.
	; 
	và: 
	Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là 
	A, B đối xứng qua (d): Û Û .
Cho hàm số , với là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với .
	2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
	· Ta có 
	+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại PT có hai nghiệm phân biệt 
	 	 PT có hai nghiệm phân biệt là .
	+ Theo định lý Viet ta có Khi đó:
	 	(2)
	+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là và 
Cho hàm số , với là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với .
	2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
	· Ta có: 
	Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt (giả sử )
	 (*)
	Hàm số đạt cực trị tại các điểm . Khi đó ta có: 
	Kết hợp (*), ta suy ra 
Cho hàm số , với là tham số thực.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với .
	2) Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho .
	· Ta có: 
	Hàm số có cực đại và cực tiểu Û có hai nghiệm phân biệt 
	Û (luôn đúng với "m)
	Khi đó ta có: Û 
	.
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị thỏa .
	· . Ta có: Þ hàm số luôn có 2 cực trị .
	Khi đó: 
	Câu hỏi tương tự:
	a) ;	ĐS: .
Cho hàm số , m là tham số.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
	2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.
	· Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
	PT có 2 nghiệm dương phân biệt
Cho hàm số 	 (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
	· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
	Xét biểu thức ta có: 
	Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: .
	Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB.
	Phương trình đường thẳng AB: 
	Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: Þ 
Cho hàm số (m là tham số) (1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
	· 
	YCBT Û phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
	Û Û .
Cho hàm số (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
	2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O.
	· Ta có 
	Hàm số (1) có cực trị thì PT có 2 nghiệm phân biệt
	 có 2 nhiệm phân biệt 
	Khi đó: điểm cực đại và điểm cực tiểu 
	Ta có .
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
	· . 
	PT có Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị .
	Chia y cho y¢ ta được:	
	Khi đó:	; 
	PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là .
Cho hàm số có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: .
	· Ta có: .
	Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 
	 (*)
	Gọi hai điểm cực trị là 
	Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 
	 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d:
	Đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với d: 
 (thỏa mãn)
Cho hàm số có đồ thị là (Cm).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
	2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: một góc .
	· Ta có: .
	Hàm số có CĐ, CT có 2 nghiệm phân biệt 
	 (*)
	Gọi hai điểm cực trị là 
	Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: 
	 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D:
	Đặt . Đường thẳng d: có hệ số góc bằng .
	Ta có: 
	Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: 
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho .
	· Ta có: ; 
	Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)
	. Để thì 
Cho hàm số 	(Cm)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi đường thẳng cố định.
	· ; 
	Điểm cực đại chạy trên đường thẳng cố định: 
	Điểm cực tiểu chạy trên đường thẳng cố định: 
Cho hàm số 	(1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
	2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
	· . 
	Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT có 1 nghiệm Û 
Cho hàm số 	.
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
	· Ta có 
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û 	 (*)
	Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: 
	Þ 
	Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A 
	Û 	(thoả (*))
 Cho hàm số 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
	· Ta có 
	Hàm số có CĐ, CT Û PT có 3 nghiệm phân biệt Û 	 (*)
	Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: 
	Þ 
	Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi Û 
	Û Û .
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số: 
 Cho hàm số có đồ thị (Cm) .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
	2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng .
	· Ta có ; 	(m < 0)
	Khi đó các điểm cực trị là: 
	; . DABC cân tại A nên góc chính là .
	Vậy .
 Cho hàm số có đồ thị (Cm) .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành ...  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB.
	· Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho .
	Do DOAB vuông tại O nên Þ Hệ số góc của d bằng hoặc .
	Hệ số góc của d là Û 
	Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: .
Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. 
	· Lấy điểm . Ta có: 
	Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình: 	
	Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: 
	Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: 
	Ta có: . Dấu “=” xảy ra Û 
	Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: hoặc 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
	· Giả sử , 
	Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) tại M: 
	Toạ độ giao điểm A, B của (D) với hai tiệm cận là: 
	Ta thấy , suy ra M là trung điểm của AB.
	Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 
	S = 
	Dấu “=” xảy ra khi 
	Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3)
Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
	· Giao điểm của 2 tiệm cận là . Gọi MÎ (C). 
	+ PTTT tại M có dạng: 
	+ Toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến với 2 tiệm cận: A, B
	+ Ta có: (đvdt)
	+ DIAB vuông có diện tích không đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB
	Û 
	Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện , 
	Khi đó chu vi DAIB = .
	Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.
	Thật vậy: P = ³ .
	Dấu "=" xảy ra Û a = b.
Cho hàm số: (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Cho điểm . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
	· Phương trình đường thẳng d đi qua và có hệ số góc k: 
	d là tiếp tuyến của (C) Û Hệ PT có nghiệm
	 Û PT: (1) có nghiệm .
	Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt 
	Û 	(*)
	Khi đó ta có: và 
	Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì 
	Û Û Û Û 
	Kết hợp với điều kiện (*) ta được: .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Cho điểm thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.
	· Î (C) Þ . 
	Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0 : 
	Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: .
	Þ Þ M0 là trung điểm AB.
Cho hàm số : (C) 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
	· Giả sử M Î (C). 
	PTTT (d) của (C) tại M: Û 
	Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: , .
	 ; 
	Diện tích : S= = 6 (đvdt) ĐPCM.
	Câu hỏi tương tự đối với hàm số 	ĐS: S = 12.
Cho hàm số y = .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận, là một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C). d là khoảng cách từ I đến . Tìm giá trị lớn nhất của d.
	· . Giao điểm của hai đường tiệm cận là I(–1; 1). Giả sử 
	Phương trình tiếp tuyến với đồ thi hàm số tại M là:
	Khoảng cách từ I đến là d == 
	Vậy GTLN của d bằng khi hoặc .
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng .
	· Tiếp tuyến của (C) tại điểm có phương trình: 
	 Û (*) 
	Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng Û 
	Các tiếp tuyến cần tìm : và 
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
	· Gọi là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: (d)
	(d) là tiếp tuyến của (C) (*)
	YCBT Û hệ (*) có 1nghiệm(1) có 1 nghiệm khác 1 
	Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1).
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(-4; -2).
	· Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (). 
	PTTT (d) là Û 
	Ta có: Û 
	Û 
	Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác IPQ.
	· . PT tiếp tuyến d tại A: 
	Giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến d: 
	Giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến d: 
	Ta có: . Vậy A là trung điểm của PQ.
	IP = ; IQ = 
	SIPQ = IP.IQ = 2 (đvdt)
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc bằng , với I là giao 2 tiệm cận.
	· I(2; 2). Gọi , 
	Phương trình tiếp tuyến D tại M: 
	Giao điểm của D với các tiệm cận:, .
	Do nên Û 
	Kết luận: Tại phương trình tiếp tuyến: 
	Tại phương trình tiếp tuyến: 
KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
	· PT Û . Đặt 
	Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng d: 
	Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có 3 nghiệm phân biệt Û Û 
Cho hàm số có đồ thị (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm m để phương trình có 6 nghiệm.
	· Dựa vào đồ thị ta có PT có 6 nghiệm Û .
Cho hàm số: .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 	(m > 0)
	· Û 	(*)
	+ Số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị và 
	+ Từ đồ thị suy ra:
2 nghiệm 
3 nghiệm
4 nghiệm 
2 nghiệm 
vô nghiệm
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
	 với 
	· Xét phương trình: với 	(1)
	Đặt , phương trình (1) trở thành: 	(2)
	Vì nên , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau.
	Ta có: 	(3)
	Gọi (C1): với và (d): . Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (d). 
	Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền .
	Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
vô nghiệm
1 nghiệm
2 nghiệm
4 nghiệm
2 nghiệm
vô nghiệm
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn :
	· Xét phương trình: 	(*)
	Û 	(1)
	Đặt . Với thì . Khi đó (1) trở thành:
	 với 
	Nhận xét : với mỗi ta có : 
	Để (*) có 2 nghiệm thuộc đoạn thì 
	Dưa vào đồ thị (C) ta có: Û .
Cho hàm số 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
	· Số nghiệm của bằng số giao điểm của đồ thị (C¢): và 
	Dựa vào đồ thị ta suy ra được:
2 nghiệm
1 nghiệm
vô nghiệm
KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3).
	· Gọi , là điểm đối xứng với A qua điểm 
	 Û 
	Û 
	Vậy 2 điểm cần tìm là: và 
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: .
	· Gọi thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d 
	I là trung điểm của AB nên , ta có 
	Có: 
	Lại có: 
	- Xét 
	- Xét vô nghiệm
	Vậy 2 điểm cần tìm là: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
	· Hai điểm đối xứng nhau qua Oy Û 
	Û Û hoặc 
	Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: .
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9.
	· Giao điểm 2 tiệm cận là . 
	Gọi 
	+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: 
	+ YCBT Û . Vậy có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; –3) và M(–2; 5)
Cho hàm số 	(C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
	· Gọi Î (C), () thì 
	Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì:
	Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 
	 MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi . 
	Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3).
	Câu hỏi tương tự:
	a) 	ĐS: 
Cho hàm số (C).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận.
	· Gọi Î (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3.
	Ta có: 
	Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1).
	· Þ Phương trình MN: .
	Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: .
	Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
	 Û 	(1)
	(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Û 	(2)
	Khi đó với là các nghiệm của (1)
	Trung điểm của AB là º (theo định lý Vi-et)
	A, B đối xứng nhau qua MN Û I MN Û 
	Suy ra (1) Û Þ A(0; –4), B(2; 0).
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0).
	· Ta có . Gọi với .
	Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox.
	Ta có: 
	và: 
	Hay: .
	Vậy 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm tọa độ điểm M Î (C) sao cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
	· Giả sử . PTTT D của (C) tại M là:
	 Û 
	Khoảng cách từ tới tiếp tuyến D là:
	. 
	Theo BĐT Cô–si: Þ . 
	Khoảng cách d lớn nhất bằng khi .
 Vậy có hai điểm cần tìm là: hoặc 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2).
	· PT đường trung trực đọan AB: .
	Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT:
	 Û 
	Hai điểm cần tìm là: 
Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất.
	· Tập xác định D = . Tiệm cận đứng .
	Giả sử (với ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)
	AB nhỏ nhất Û 
	Khi đó: .