Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số - GV: Hoàng Ngọc Quang

Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 1 
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
A. ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
1. Phương pháp chung: 
 Để vẽ đồ thị của hàm số có mang dấu GTTĐ ta có thể thực hiện các bước sau: 
Bước 1: Phá dấu GTTĐ 
 + Xét dấu biểu thức chứa bên trong dấu GTTĐ. 
 + Sử dụng đ/n khử dấu GTTĐ (viết hàm số cho bởi nhiều biểu thức) 
Bước 2: Vẽ đồ thị từng phần rồi ghép lại (vẽ chung trên cùng một hệ trục toạ độ 
2. Các kiến thức sử dụng: 
• Đ/n GTTĐ: 
 A 0
A A < 0
A
A
≥
= 

neáu
neáu
• Một số tính chất của đồ thị: 
1. Đồ thị hàm số y = f(x) và y= - f(x) đối xứng nhau qua trục hoành Ox. 
2. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung Oy. 
3. Đồ thị hàm số y = f(x) và y = - f(-x) đối xứng nhau qua gốc toạ độ O. 
3. Bài toán tổng quát: 
Từ đồ thị (C): y = f(x), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
( )
( ) ( )
( )
1
2
3
: ( )
:
: ( )
C y f x
C y f x
C y f x
 =

=

=
• Dạng 1: Từ đồ thị ( ) : ( )C y f x= suy ra đồ thị ( ) ( )1 :C y f x= 
B1: Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1
f f 0 (1)
:
-f f < 0 (2)
x x
C y f x
x x
 ≥
= = 

neáu
neáu
B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C1) như sau: 
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1) 
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (do 2) 
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox. 
Minh hoạ 
• Dạng 2: Từ đồ thị ( ) : ( )C y f x= suy ra đồ thị ( ) ( )2 :C y f x= 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 2 
B1: Ta có ( ) ( ) ( )( )2
f x 0 (1)
:
f x < 0 (2)
x
C y f x
x
 ≥
= = 
−
neáu
neáu
B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C2) như sau: 
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía phải trục Oy (do 1) 
- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục tung (do 2) 
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có). 
Minh hoạ 
• Dạng 3: Từ đồ thị ( ) : ( )C y f x= suy ra đồ thị ( ) ( )3 :C y f x= 
B1: Ta có ( ) ( )
( )
2
f 0
: ( ) (1)
( ) (2)
x
C y f x f x
f x
 ≥

= = 

−
B2: Từ đồ thị (C) có thể suy ra đồ thị (C3) như sau: 
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox (do 1) 
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (do 2) 
- Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox (nếu có). 
Minh hoạ 
3. Ví dụ: 
VD1: Cho hàm số 3 3y x x= − + (1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
2. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
a) 3 3y x x= − + b) 3 3y x x= − + c) 3 3y x x= − + 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 3 
VD2: Cho hàm số 1
1
xy
x
+
=
−
 (1) 
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
4. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau: 
a) 1
1
xy
x
+
=
−
 b) 1
1
x
y
x
+
=
−
 c) 1
1
xy
x
+
=
−
 d) 1
1
x
y
x
+
=
−
 e) 1
1
xy
x
+
=
−
4. Bài tập: 
Bài tập 1: Cho hàm số 3 22 9 12 3y x x x= − + − có đồ thị (C) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 
b) Tìm m để phương trình 3 22 9 12 1x x x m− + + = có 6 nghiệm phân biệt 
c) Tìm m để phương trình 3 22 9 12 3x x x m− + + = có nhiều hơn 2 nghiệm 
Đáp số: b) 5 6m< < c) 4 5m≤ ≤ 
Bài tập 2 (Khối B - 2009) Cho hàm số 4 22 4y x x= − có đồ thị (C) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 
b) Tìm m để phương trình 2 2 2x x m− = có đúng 6 nghiệm phân biệt 
Đáp số: 0 1m< < 
5. Bài tập tự luyện 
Bài tập 1 (Khối A - 2006) Cho hàm số 3 22 9 12 4y x x x= − + − có đồ thị (C) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 
b) Tìm m để phương trình 3 22 9 12 4x x x m− + − = có 6 nghiệm phân biệt 
Đáp số: 4 5m< < 
Bài tập 2: Cho hàm số 4 28 10y x x= − + − có đồ thị (C) 
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 
d) Tìm m để phương trình 4 28 10x x m− + − = có 8 nghiệm phân biệt 
Đáp số: 0 6m< < 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 4 
B. CỰC TRỊ 
Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị 
1. Hàm bậc ba: y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 
 y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c 
 Hàm số có cực trị ⇔ Hàm số có CĐ và CT ⇔ f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. 
2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) 
 y’ = f’(x) = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) 
 Hàm số có đúng cực trị 
0
0
0
. 0
a
b
a
a b
 ≠

=⇔
 ≠

>
; Hàm số có đúng 3 cực trị
0
. 0
a
a b
≠
⇔ 
<
Bài 1: Tìm m để hàm số ( ) 3 22 3 5y m x x mx= + + + − có cực đại và cực tiểu 
Đáp số: 
2
3 1
m
m
≠ −

− < <
Bài 2 (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số ( )3 23 1 1y mx mx m x= + − − − không có cực trị. 
Đáp số: 10
6
m≤ ≤ 
Bài 3 (ĐH cảnh sát-2000) Tìm m để hàm số 4 21 3
4 2
y x mx= − + chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 
Đáp số: 0m ≤ 
Bài 4 (ĐH kiến trúc-1999) Tìm m để hàm số ( ) ( )4 21 1 2y mx m x m= − − + − có đúng một cực trị. 
Đáp số: 10
4
m≤ ≤ 
Bài 5 (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm m để hàm số ( )3 3y x m x= − − đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 0x = 
Đáp số: 1m = − 
Bài 6 (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm số ( )4 2 29 10y mx m x= − − + có ba cực trị 
Đáp số: 3m < hoặc 0 3m< < 
Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 
 1. Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba 3 2( ) axy f x bx cx d= = + + + 
 * Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( ) ( ). '( ) Axf x Q x f x B= + + 
 * Khi đó, giả sử ( ) ( )1 1 2 2; , ;x y x y là các điểm cực trị thì: ( )( )
1 1 1
2 2 2
Ax
Ax
y f x B
y f x B
 = = +

= = +
 2. Tìm nhanh cực trị hàm đa thức f(x) bậc ba, bậc bốn... 
 * Chia f(x) cho f’(x) ta được: ( ) ( ). '( ) Axf x Q x f x B= + + 
 * G/s x0 là hoành độ điểm cực trị khi đó tung độ điểm cực trị là ( )0 0 0Axy f x B= = + 
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 23 6 8y x x x= − − + 
Đáp số: 6 6y x= − + 
Bài 8 (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
( )3 2 2 3 23 3 1y x mx m x m m= − + + − + − 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 5 
Đáp số: 22y x m m= − + 
Bài 9: Tìm m để hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − − có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song 
song với đường thẳng 4 1y x= − + 
Bài 10: Tìm m để hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x= + − + − có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng 
4y x= − 
Bài 11: Tìm m để hàm số 3 2 23y x x m x m= − + + có các điểm cực cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua 
đường thẳng 1 5
2 2
y x= − Đáp số: 0m = 
Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó 
Bài 12: Tìm m để hàm số ( ) ( ) ( )3 2 32 3 2 6 5 1 4 1y x m x m x m= − + + + − + có hai điểm cực trị nhỏ hơn 2. 
Đáp số: 1 0
3
m− < < 
Bài 13 (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 2 2 2y x m x m x m= + − + − + + có hai điểm cực 
đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. 
Đáp số: 5 71;
4 5
m m< − < < 
Bài 14 (CĐ - 2009) Tìm m để hàm số ( ) ( )3 22 1 2 2y x m x m x= − − + − + có cực đại và cực tiểu đồng thời 
các điểm cực trị của hàm số có hoành độ dương. 
Đáp số: 1 1, 0
3
m m− < < ≠ 
Bài 15 (HV quan hệ quốc tế 1996) Tìm m để hàm số 4 2 42 2y x mx m m= − + + có các điểm cực trị lập 
thành một tam giác đều. 
Đáp số: 3 3m = 
Bài 16 Tìm m để đồ thị hàm số 4 22 1y x mx m= − + − có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. 
Đáp số: 3 3m = 
Bài 17 (ĐH khối A BD1 - 2004) Tìm m để hàm số 4 2 22 1y x m x= − + có ba điểm cực trị là ba đỉnh của 
một tam giác vuông cân. 
Bài 18 Chứng minh rằng hàm số ( ) ( )3 23 1 3 2 1y x m x m m x= − + + + + luôn có cực đại, cực tiểu. Xác định 
m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ dương . 
Đáp số: 0m > 
Bài 19 (Khối B - 2007) Tìm m để hàm số ( )3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − − có cực đại và cực tiểu và 
các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O Đáp số: 1
2
m = ± 
Bài 20: Tìm m để hàm số 4 2 22( 2) 5 5y x m x m m= + − + − + có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam 
giác vuông cân. 
Đáp số: m = 1 
Bài 21: Tìm m để hàm số ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa mãn 
( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + Đáp số: 1; 5m m= = 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 6 
C- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG GIAO 
1. Phương pháp chung: 
• Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho: 
( ) ( ) ( ) 1f x g x= 
• Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của 
(C1) và (C2). 
• Chú ý: * (1) vô nghiệm ⇔ (C1) và (C2) không có điểm chung 
* (1) Có n nghiệm ⇔ (C1) và (C2) có n điểm chung 
* Nghiệm x0 của (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2). Khi đó tung độ điểm 
chung ( )0 0y f x= hoặc ( )0 0y g x= 
2. Xét phương trình ( ) 3 2ax 0f x bx cx d= + + + = (1) 
a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm 
• (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( )
<
( ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
 1
y . 0CÑ CT
f x
y
• (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( )
=
( ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
 2
y . 0CÑ CT
f x
y
• (1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi ( )



 >
( ) khoâng coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
 3( ) coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu
y . 0CÑ CT
f x
f x
y
b. Đ/k để (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân 
 * Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSC: 
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm 
1 2 3
, ,x x x lập thành CSC khi đó 
2 3
b
x
a
= − thế vào (1) 
 giá trị của 
tham số 
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành 
CSC hay không. 
 * Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN: 
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm 
1 2 3
, ,x x x lập thành CSN khi đó 3
2
d
x
a
= − thế vào (1) 
 giá trị của 
tham số 
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành 
CSN hay không. 
 Chú ý: Nếu a = 1 ( ) ( )3 332 2 0 0x d f x c b d d⇒ = − ⇒ = ⇒ = ≠ 
3. Xét phương trình ( ) 4 2ax 0= + + =f x bx c (2) 
 Đặt 2t x= đ/k 0t ≥ ta được phương 2( ) 0g t at bt c= + + = (*) 
a) Đ/k để (2) vô nghiệm, có 1,2, 3,4 nghiệm 
* (2) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm 
1 2
0t t≤ < 
* (2) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1
2
0
0
t
t
 =

<
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 7 
* (2) có 2 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 
1 2
0t t< < 
* (2) có 3 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 1
2
0
0
t
t
 =

>
* (2) có 4 nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm 
1 2
0 t t< < 
b) Đ/k để (2) có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng 
 (2) có 3 nghiệm lập thành CSC ⇔ (*) có 2 nghiệm 2 11 2
1 22 1
1 2
0
90
. 09
0
t tt t
t tt t
t t
∆ >

= < < 
⇔ 
>= 
 + >
4. Xét phương trình ( )ax 3+ = +
+
b
mx n
cx d
- Đưa phương trình về dạng: 2( ) 0 df x Ax Bx C x
c
 
= + + = ≠ − 
 
 (**) 
(3) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phận biệt 
0
0
d
d
fc
c
∆ >

≠ − ⇔  
− ≠ 
 
Chú ý: Trên đây chỉ là điều kiện trong trường hợp tổng quát, khi giải bài toán cụ thể ta cố gắng nhầm 
nghiệm để phân tích phương trình về dạng tích khi đó điều kiện sẽ đơn giản hơn 
5. Bài tập: 
a) Dạng 1: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại k điểm phân biệt 
Bài 1 (DB2 ĐH Khối D -2002) Tìm m để đồ thị hàm số 4 2 1y x mx m= − + − cắt trục hoành tại 4 điểm 
phân biệt. 
Đáp số: 1 2m< ≠ 
Bài 2 (DB1 ĐH Khối B -2003) Tìm m để đồ thị hàm số ( )( )21y x x mx m= − + + cắt trục hoành tại 3 
điểm phân biệt. 
Đáp số: 14;0
2
m m> < ≠ − 
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số ( )3 23 3 1 1 3y x x m x m= − + − + + cắt trục hoành 
a) tại 1 điểm 
b) tại 2 điểm 
c) tại 3 điểm 
Đáp số: ) 1 b)m=1 c)m>1a m < 
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số ( )3 2 21 2y x m x mx m= + + + + cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 
hoành độ âm 
Đáp số: 10
4
m< < 
Bài 6:Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( )3 2 2 22 2 1 1y x mx m x m m= − + − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân 
biệt có hoành độ dương 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 8 
Đáp số: 21
3
m< < 
Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số ( )( )21 2 1y x x mx m= − − − − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 
hoành độ lớn hơn -1 
 Đáp số: 
Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 18 2y x x mx m= − + − cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn 
1 2 3
0x x x< < < 
Đáp số: 0m < 
b) Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt 
Bài 9 (CĐ -2008) Tìm m để đồ thị hàm số 
1
x
y
x
=
−
 cắt đường thẳng :d y x m= − + tại hai điểm phân 
biệt 
Đáp số: 0
4
m
m
 <

>
Bài 10: Cho hàm số 3 22 84
3 3
y x x x= − − + . Tìm m để đường thẳng 8
3
y mx= + cắt đồ thị hàm số tại 3 
điểm phân biệt 
Đáp số: 35 4
8
m− < ≠ − 
Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − − có đồ thị (C), gọi kd là đường thẳng đi 
qua điểm ( )0; 1M − và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng kd cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. 
Đáp số: 9 0
8
k− < ≠ 
 Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số 3 23 2y x x= − + có đồ thị (C), gọi d là đường thẳng đi qua điểm 
( )3;20A và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. 
 Đáp số: 
Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm m để đường thẳng 1y = − cắt đồ thị ( )mC của hàm số 
( )4 23 2 3y x m x m= − + + tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. 
Đáp số: 1 1, 0
3
m m− < < ≠ 
Bài 14: Tìm để đường thẳng : 2d y x m= + cắt đồ thị hàm số 3 1
4
x
y
x
+
=
−
 tại hai điểm phân biệt A, B . 
Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn nhất. 
 Đáp số: 
Bài 15: Cho hàm số 1
1
x
y
x
+
=
−
 có đồ thị (C). 
a) Chứng minh rằng đường thẳng : 2 0d x y m− + = luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 
hai nhánh của (C). 
b) Tìm m để độ dài AB ngắn nhất 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 9 
c) Dạng 3: Tìm đ/k để đồ thị cắt trục hoành tại các điểm lập thành cấp số cộng, cấp số nhân 
Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số ( )3 2 23 2 4 9y x mx m m x m m= − + − + − cắt trục hoành tại 3 điểm lập 
thành cấp số cộng 
Đáp số: 1m = 
Bài 17: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( )3 23 1 5 4 8y x m x m x= − + + + − cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 
cấp số cộng 
Đáp số: 2m = 
Bài 18: Tìm m để đồ thị hàm số ( )4 22 1 2 1y x m x m= − + + + cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành cấp số 
cộng 
Đáp số: 44;
9
m m= = − 
Bài 19: (ĐH Khối D -2008) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm ( )1;2I với hệ số góc 
( )3k k > − đều cắt đồ thị hàm số 3 23 4y x x= − + tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm 
của đoạn thẳng AB 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 10 
D- TIẾP TUYÊN 
1. Viết pt tiếp tuyến của (C) tại ( )000 ; yxM
(y0 = f(x0))
2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 
- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: f’(x) = 0 (*) 
 - Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm ⇒ tung độ tiếp điểm ⇒ bài toán trở về dạng 1 
3. Chú ý : 
a) Đ/k để hai đường cong ( )y f x= và ( )y g x= tiếp xúc nhau là hệ ( ) ( )( ) ( )' '
f x g x
f x g x
 =

=
 có nghiệm 
b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1 
c) Hệ số góc của tiếp tuyến 0'( ), tank f x k ϕ= = (ϕ là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành) 
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm 
Bài 1: Tìm m a,b để đồ thị hàm số ax
1
by
x
+
=
−
 cắt Oy tại ( )0; 1A − đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc 
bằng 3. 
Đáp số: 4, 1a b= − = 
Bài 2: Cho hàm số ( ) 3 23 1y f x x x mx= = + + + có đồ thị (Cm). 
a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng 1y = tại 3 điểm phân biệt ( )0;1 , ,C D E . 
b) Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. 
Đáp số: 9 9 65)0 )
4 8
a m b m ±≠ < = 
Bài 3 (ĐH huế khối D-1998) cho hàm số 4 22 2 1y x mx m= − + − + có đồ thị (C). Tìm m để các tiếp tuyến 
với đồ thị (C) tại ( ) ( )1;0 , 1;0A B − vuông góc với nhau. 
Đáp số: 5 3;
4 4
m m= = 
Bài 4 (ĐH khối B-2004) Cho hàm số 3 21 2 3
3
y x x x= − + có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của 
(C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
Đáp số: 8
3
y x= − + 
Bài 5 (HV Quân Y 1997) Cho hàm số 3 1 ( 1)y x m x= + − + có đồ thị (Cm). 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tai các giao điểm của (Cm) với Oy. 
b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8. 
Đáp số: ) 1 b)m=9 4 5; 7 4 3a y mx m m= − + − ± = − ± 
Bài 6: Cho hàm số 2 1
1
xy
x
−
=
−
 có đồ thị (C). Cho M bất kì trên (C) có Mx m= . Tiếp tuyến của (C) tại M 
cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và 
diện tích tam giác IAB không đổi. 
Đáp số: 
y = f’(x0). (x - x0 ) + y0 
Chuyên đề khảo sát hàm số Ôn thi đại học 2010 
GV: Hoàng Ngọc Quang – TTGDTX Hồ Tùng Mậu Lục Yên – Yên Bái Trang 11 
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc 
Bài 7 (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số ( ) 3 21 1 42
3 2 3
y f x x x x= = + − − có đồ thị (C). Viết phương tình 
tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng : 4 2d y x= + 
Đáp số: 
Bài 8 (ĐH khối D-2005) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số 3 21 13 3 3
my x x= − + . Gọi M là điểm thuộc (Cm) có 
hoành độ x = -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5 0x y− = . 
Đáp số: 6m = 
Bài 9: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số ( )
23 1m x m m
y
x m
+ − +
=
+
 ( )0m ≠ tại giao điểm giao 
điểm của (C) với trục Ox song song với đường thẳng : 10d y x+ = . Viết phương trình tiếp tuyến. 
Đáp số: 1 3;
5 5
m y x= − = − 
Bài 10: Cho hàm số 3 2
1
xy
x
−
=
−
 có đồ thị (C). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một 
góc 450. 
Đáp số: 2; 6y x y x= − + = − + 
Dạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường 
Bài 11 (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số ( )3 22 1 1y x m x m= − − + − − . Tìm m để đồ thị 
(Cm) tiếp xúc với đường thẳng 2 1y mx m= − − 
Đáp số: 10;
2
m m= = 
Bài 12: Cho hµm sè 3 3y x x m= − + . T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc Ox 
Đáp số: 2m = ± 
Dạng 4: Tìm điểm sao cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất nào đó 
Bài 13 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
−
=
−
 có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường 
tiệm cận của (C), Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. 
 Đáp số: 
Bài 14 (ĐH khối D-2007) Cho hàm số 2
1
xy
x
=
+
 có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp 
tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1
4
. 
Đáp số: ( )1 ; 2 ; 1;1
2
M M − − 
 
Bài 15 (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số 
1
xy
x
=
−
 có đồ thị (C). Viết phương trình d của (C) sao cho d 
và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân. 
 Đáp số: 
Bài 16 (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số 2
2 3
xy
x
+
=
+
 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của 
đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại 
gốc toạ độ O. 
Đáp số: 2y x= − −