Các bài toán hay

B ài 1. Tính 
HD: 
Đặt t =2x ta được 
Do đó Ta có 
Bài 2: Giải phương trình : 
Hướng dẫn: Kiểu phương trình với f đơn điệu 
Bài 3: Tính: 
Hướng dẫn: Dạng đặc biệt không thể dùng các phương pháp thông thường . Chú ý cận dạng nên đổi biến . Tổng quát dạng này : , trong đo là hàm chẵn.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
Hướng dẫn: Đặt , chú ý tìm nghiệm hơi khó , mà phải dùng đạo hàm chứng minh nó vô nghiệm trên điều kiện của t ( ).
Như vậy có thể xét sự biến thiên hàm số f(x) để chứng tỏ 1 phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất hay vô nghiệm ( hay số nghiệm )
Bài 5: Tính nguyên hàm :
Hướng dẫn : có thể làm theo 3 cách sau đều được 
-Đặt 	
-Đặt 
-Tích phân từng phần với 
Tương tự : tính 
Bài 6: 
Ý hay ở chỗ , mà 
Vậy tích phân trên có thể tính nhờ phép đổi biến loại 2 
Tổng quát dạng 
Hay dạng ẩn hơn 
Bài 7: 
Chú ý đẳng thức quen thuộc và 
Đặt 
Tổng quát : 
Bài 8: 
Dạng đặc biệt 
Dạng này đặc biệt , phương pháp từng phần cũng chịu . Nó chưa sinx và có cận nên đổi biến 
Bài 9: Giải bất phương trình : 
Hướng dẫn: đặt , coi vế trái là tam thức đối với t , tính nghiệm theo x từ đó tìm nghiệm vế trái , sử dụng tính liên tục xét dấu vế trái, suy ra tập nghiệm bất phương trình . 
Bài 10: Giải : 
Hướng dẫn: Dùng phương pháp bình phương thì hơi vất. Nhóm liên hợp để có nhân tử chung .
Bài 11: Giải và biện luận phương trình : 
Hướng dẫn : Đưa về dạng , và f(x) đơn điệu trên 1 khoảng , từ đó suy ra u = v
Bài 12: Giải hệ : 
Hướng dẫn: Lượng giác hoá , đặt 
Bài 13: Giải bất phương trình :
Hướng dẫn: Bài này không khó , nhưng đòi hỏi phải nắm vứng việc so sánh hai loga hay mũ cùng cơ số , với chú ý cơ số nhỏ hơn 1 , lớn hơn 1 .
Bài 14: 
.
 HD: 
Bài 15: 
Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của biểu thức: .
HD: 
Đặt t = a + b .
Nhận xét: thực ra ta có thể tách và Cauchy nhưng cách giải trên dẫn đến bài toán tổng quát:
Cho n số thực dương ak, k = 1, 2, ..., n thỏa . Tìm GTNN của biểu thức .
Bài 16: Cho x,y là các số thực thoả mãn 
Chứng minh 
HD: Bài này hay ở cách xử lý mẫu số . Ta có: 
Xét phân thức " đẳng cấp " . Xét hàm số của Q theo t , suy ra kết quả.
Bài 17: Cho 
Chứng minh với mọi ta đều có : 
HD: 
Xét hàm số với 
Đạo hàm tới cấp 3 rồi xét dấu ngược lên , dẫn tơi hàm số đồng biến trên 
Ý hay là dùng f'''(x) để xét dấu f''(x) , dùng f''(x) xét dấu f'(x) , và dúng f'(x) xét dấu f(x).
Bài 18: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất 
Hướng dẫn: Việc chứng minh phương trình có nghiệm là dễ , xét hàm số 
hàm liên tục trên R , nên phương trình có nghiệm.
Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất , ta hay dùng tính đơn điệu , tuy nhiên trên R hàm số không đơn điệu . Cái hay bài này là ở chỗ giới hạn điều kiện x .
Từ phương trình ta có 
Lại từ 
Xét trên khoảng , (đpcm).
B ài 19: Chứng minh : 
Việc khử căn có thể dúng bất đẳng thức Bunhia, nhưng hiện tại Bộ chưa cho . Có thể khử bằng Cô-sin 
Chú ý dấu "=" xảy ra khi 
Do đó cô-si số với , 1 ta có : 
Bài 20: Cho a,b,c là các số thực thoả mãn . Chứng minh :
Đây là bài toán đậm chất Cô-si , cái khó là Cô-si cho các số nào cho "vừa vặn " dấu "=" xảy ra khi , dựa vào dự đoán dấu "=" xảy ra khi mà ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số : 
, các căn kia tương tự , sau đó Cô-si tiếp cho 3 số hạng , ta có đpcm.
Bài 21: Giải hệ phương trình:: 
HD: 
+ Cách 1: đặt S = x + y, P = xy ().
.
+ Cách 2: (?)
Bài 22. Hai điểm trên 2 nhánh của (C) có khoảng cách ngắn nhất: 
Cho , tìm 2 điểm A, B trên 2 nhánh (C) sao cho AB ngắn nhất.
Cách 1: Gọi hoành độ A, B lần lượt là 1-a (a>0), 1+b (b>0). Tính AB theo a, b rồi Cauchy 2 lần.
Cách 2: Gọi a, b là hoành độ của A và B (a<1<b). Tiếp tuyến tại A, B và đt AB có hệ số góc lần lượt là:
AB ngắn nhất khi 2 tt song song và vuông góc với AB hay:
....
Bài 23: Giải hệ : 
Bài 24. Hệ phương trình: Giải hệ : 
HD: 
C1: Đây là hệ đối xứng kiểu II , giải bằng pp trừ theo hai vế , rồi phân tích thành 
Chú ý trường hợp vô nghiệm vì từ phương trình ta có x ,y dương
C2: Dạng hệ hoán vị vòng quanh 
Trong đó hàm số tăng 
Chú ý điều kiện x,y dương
Bài 25: 
Bài 26: 
HD: Biến đổi 
Tổng quát dạng 
Bài 27: Giải hệ phương trình : 
Nhìn thì dễ , hoá ra cũng lắt léo phết. Từ phương trình thứ 1 , phân tích ra được 
* dễ 
* hơi vất vả 
Rút ra được từ điều kiện 
Thay vào phương trình thứ 2 : 
Được phương trình bậc 3 ẩn nhưng không nhẩm được nghiệm 
Xét hàm số trên đoạn thấy phương trình vô nghiệm .
Bài 28: Giải phương trình : 
Hướng dẫn: Vì cơ số 2 và 3 nên không thể đưa về cùng cơ số được . 
đặt 
Thay vào phương trình ta có : 
Dùng đơn điệu giải phương trình mũ này .
Dạng tổng quát : trong đó a, b không cùng là một luỹ thừa của cơ số nào .
Bài 29: 
Cho đường tròn . Lập phương trình cát tuyến đi qua điểm cắt (C) tại A, B sao cho A là trung điểm đoạn MB.
HD: 
       . (I là tâm (C)).
Bài 30: Cho hàm số . Viết :
a) Phương trình đường thẳng qua điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số
b) Viết phương trình Parabol đi qua gốc toạ độ và các điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
Hướng dẫn: 
C1: Tìm các toạ độ các điểm cực trị ,rồi viết phương trình ( cách này dài nếu toạ độ lẻ ( dạng căn ) hoặc có dạng tham số )
C2: Viết phương trình gián tiếp 
Toạ độ các điểm CĐ,CT là nghiệm của hệ :
a) Vậy phương trình đường thẳng qua CĐ,CT là 
b) Parabol đi qua CĐ,CT có dạng 
Vì đi qua O nên từ đó ta tìm được m
Bài 31. .
Bài 32: Tìm a,b,c sao cho pt có các nghiệm trái dấu: x3 –ax2+bx-c = 0.
Bài 33: Cho 2 số thực x, y thỏa (*).
Tìm GTNN, LN của A = xy.
HD: Đặt . 
(*) trở thành: 
Từ điều kiện .
Bài 34 : Chứng minh các điểm uốn của đồ thị hàm số nằm trên đường cong 
HD: Toạ độ điểm uốn là nghiệm hệ :
Bài 35. Cho a, b, c, là các số dương. Chứng minh rằng : 
Bài 36. Chứng minh rằng: Nếu và thì 
Bài 37.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	T = xx + yy với x, y (0; 1)
Bài 38. Chứng minh rằng: ta đều có: 
Bài 39. Tính tích phân : 
Bài 40. Cho hàm số:	 
	Trong đó là hằng số dương. Tìm tất cả các giá trị của để f(x) có đạo hàm tại mọi x.