Các bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian

phần nội dung
A. Các bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian
1. Đường thẳng đi qua 1 điểm và có phương cho trước. Ta đã biết đường thẳng được xác định khi biết nó đi qua 1 điểm và 1vtcp. Vì thế trong mỗi dạng toán ta phải tìm được vtcp của đường thẳng.
1.1. Đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước.
	1.1.1. Phương pháp giải:Đường thẳng đi qua 2 điểm A;B có vectơ chỉ phương (vtcp) là: (hoặc)
	1.1.2. Vận dụng: 
	Viết phương trình đt (d) đi qua A(1;2;-3) và B(0;4;-2)
	Giải:	ĐT có vtcp là (-1;2;1)
	Pt tham số của (d): x=1-t; y=2+2t; z= -3+t (tẻ R)
1.2. Đường thẳng đi qua 1 điểm và // với đt cho trước.
	1.2.1. Phương pháp giải: ĐT cần tìm // đt (d) nên có vtcp là vtcp của (d).
	1.2.2.Vận dụng:
	* Viết ptđt đi qua M (2;1;3) và // với đt (d):	x= 1+2t
	y= -4t	(tẻ R)
	z= 5+3t
	Giải: Đường thẳng cần tìm có vtcp là: (2;-4;3)
PT tham số của đt là: 	x= 2+2t
	y= 1-4t	(tẻ R)
	z= 3+3t
	* Viết pt đt (D) đi qua M(1;2;-1) và // (d):	 x+y-z+3=0
	 2x-y+5z-4=0
	Giải: đt (d) có vtcp = [;] = (4;-7-3) với (1;1;-1); (2;-1;5)
	Vì đt (D)//(d) nên (D) có vtcp 
	Pt đt (D) là: 	x= 1+4t
	y= 2-7t	t ẻ R)
z= -1-3t
	1.2.3. Chú ý: 
* Tìm pt tham số (hoặc chính tắc) của đt khi biết pt tổng quát:	
d:	A1x+B1y + C1z +D1=0
A2x+B2y + C2z +D2=0
	Cách 1:	 - Tìm vtcp = [;]; ( A1;B1;C1); ( A2;B2;C2)
	- Tìm 1 điểm M( x;y;z) ẻd; x;y;z là một nghiệm của hệ.
	Cách 2: Tìm 2 điểm A;B ẻd ị vtcp là 
	Cách 3: 	- Đặt 1 ẩn theo t (tẻR)
	- Biểu thị 2 ẩn còn lại theo t
	- Hệ pt 3 ẩn x;y;z biểu thị theo t là pt tham số.
	* Nếu dt(d) cho ở dạng Tổng quát thì bài toán trên trở thành bài toán; viết ptđt (D) đi qua M và song song với 2 mp cắt nhau cho trước.
	1.3. Đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đt d1;d2 cho trước
(d1 không song song với d2).
	1.3.1. Phương pháp giải:
	đt cần tìm có vtcp = [;];; là vtcp của d1; d2
	1.3.2. Vận dụng:
	Viết phương trình đt (d) đi qua M(0; 1; 2 ) , vuông góc với d1, d2.
	d1: 	x= 2-t	và d2:	2x-y-z =0	
	y=1+t	x+y-1=0
	z= 1-2t
	Giải: 	- vtcp của d1: (-1;1;-2)
	- vtcp của d2: (1;-1;3)
	- vtcp của (d): = [,] = (1;1;0)
	PT đt là: x=t; y= 1+t; z=2
	4. Đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước.
	1.4.1. Phương pháp giải:
	Đường thẳng (d ) có vtcp là vtpt của mp (P).
	1.4.2. Vận dụng: Viết ptđt (d ) qua M(3;2;-1) và vuông góc với mp (P): 
	2x-y+7z-1=0
	Giải: mp (P) có vtpt là: (2;-1;7) ị đt (d) có vtcp là: (2;-1;7).
	ptđt là: 	x= 3+2t
	y=2-t
	z=-1+7t
	2. Phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).
	2.1. Phương pháp giải: 
	- Viết pt mp (Q) chứa (d) và ^ mp (P).
	- Giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng cần tìm.
	* Cách viết pt mp (Q).
	- mp (Q) chứa (d) nên chứa M0, M0 ẻd
	- mp (Q) có cặp vtcp (là vtcp của dt (d) )và ( là vtcp của mp (P)).
	- vtpt của mp (Q): =[,].
	* Nếu (d) cho ở dạng pt tổng quát thì mp (Q) chứa d có dạng của pt chùm mp.
	2.2. Vận dụng: 
	2.2.1.Viết phương trình hình chiếu của đt (d):	x=2-t
	y=2t
	z--1+2t
	lên mp (P): x+y+z-3=0
	Giải: 
	mp (Q) chứa (d) và ^ mp (P); mp (Q) đi qua (2;0;-1) và có cặp vtcp là :
	(-1;2;2); (1;1;1). 
ị vtpt của mp (Q) là = (0;3;-3) hay (0;1;-1).
mp (Q) có phương trình : y-z-1=0.
Đường thẳng cần tìm là: 	x+y+z-3=0
	y-z-1=0
2.2.2. Viết pt hình chiếu của đt (d):
 	5x-4y-2z-5=0
	x+2z-2=0
lên mp (P) : 2x-y+z-1=0.
Giải: mp (Q) chứa (d) có dạng:
m(5x - 4y - 2z -5) + n(x + 2z - 2) = 0 (m2+n2 ≠0)
Û (5m + n)x - 4my- (2m - 2n)z - 5m - 2n = 0
mp (Q) có vtpt (5m + n;-4m; -2m + 2n)
mp (P) có vtpt (2;-1;1) vì (Q) ^ (P) nên . =0 Û 3m + n =0
Chọn n = 3; m = -1
pt mp (Q) là: -2x + 4y + 8z - 1 = 0
Pt đt cần tìm là:
	-2x + 4y + 8z - 1 = 0
	2x - y + z - 1 = 0
2.3. Chú ý: Lập pt hình chiếu ^ của d trên mp (P), (Q), (R) (lần lượt // hoặc trùng với mp (oxy), (oyz), (oxz) .
* Đưa (d) về pt tham số: x = s (t); y = y(t), z = z(t)
Phương trình hình chiếu của d trên mp (P) là : 	x= x(t)
	y = y(t)
	z = z0
	* Nếu d cho ở dặng pttq ( là giao của 2mp lần lượt // hoặc chứa 2 trục toạ độ).
	Ax + Cy + D = 0
	B'y + C'y + D' = 0
	Pt hình chiếu của (d) trên (x) là :	AC'x - B'Cy + C'D - CD' = 0
	Z = Z0
3. Đường thẳng có phương cho trước và cắt đt cho trước.
3.1. Đường thẳng song song với đt (d) và cắt đường thẳng d1; d2.
3.1.1. Phương pháp giải: 
- Viết phương trình mp (P) chứa d1và // d
- Viết pt mp (Q) chứa d2và // d.
- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mp (P) và mp (Q).
3.1.2. Vận dụng:
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d): 
	x = 3t ; y = 1- t ; z = 5 + t và cắt 2 đt có pt (d1):
d1
 x -1
=
y+2
=
z-2
 và d2:
x-y+4z-3=0
1
4
3
2x-y-z+1=0
	Giải: 
	- Viết phương trình mp (P) chứa d1và // d ị mp (P) đi qua (1; -2 ; 2) và cặp vtcp (3 ; -1 ; 1); (1 ; 4 ; 3).
	mp (P) có vtpt là: [,] = (-7 ;-8 ; 13), ptmp (P) : -7x - 8y + 13z -35=0
	- Viết pt mp (Q) chứa d2 và //d.
	Pt có dạng: m(x - y + 4z - 3) + n(2x - y - z + 1) = 0
	Û ( m + 2n)x - (m + n)y + (4m - n)z + n - 3m = 0
	mp (Q) //d 3(m + 2n) + (m + n) + 4m - n = 0
	Û 4m +3n = 0, chọn n = 4; m = -3
	ptmp (Q): 5x - y - 16z + 13 = 0
	pt đt cần tìm là: 	7x +8y -13z +35 = 0
	5x - y -16z +13 = 0
	3.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng R và cắt 2 đường thẳng d1, d2
	3.2.1. Phương pháp giải:
	- Viết phương trình mp (P) chứa d1 và ^ mp (R).
	- Viết phương trình mp (Q) chứa d2 và ^ mp (R ).
	- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).
	3.2.2. Vận dụng:
	Viết ptđt ^ mp ( R) : x+y+z - 1= 0 và cắt cả 2 đường thẳng
d1:
x-1
=
y+1
= z;
d2
x-2y+z - 4=0
2
-1
2x - y +2z +1 = 0
Giải: 
	- mp (P) chứa d1, ^ mp ( R) ị (P) đi qua (1;-1;0) và cặp vtcp :
 (1;1;1); ( 2;-1; 1).
mp (P) có vtpt là (2;1; -3) pt mp (P): 2x+y - 3z - 1 = 0
- mp (Q) chứa d2, ^ mp ( R)
dạng pt: m(x- 2y + z - 4) + n (2x - y + 2z + 1) = 0
Û (m +2n )x - (2m + n )y + (m + 2n )z + n - 4m = 0
mp (Q) ^ mp ( R) Û 1( m + 2n )+ 1 (-2m - n) + 1 (m + 2n) = 0
	Û n = 0, chọn m = 1
ptmp (Q) : x - 2y + z - 4 = 0
Đt cần tìm: 	2x + y - 3z - 1= 0
	x- 2y + z - 4 =0
3.3. Đường thẳng nằm trong mp (R) và cắt 2 đt d1; d2.
3.3.1. Phương pháp giải:
- Tìm điểm M là giao điểm của mp (R) và d1
- Tìm điểm N là giao điểm của mp (R) và d2
- Đt cần tìm đi qua M, N.
6.3.2. Vận dụng: Viết pt đt nằm trong mp (R) : y+ 2z = 0 và cắt 2 đt:
d1:
x=1-t
y = t
z = 4t
d2:
x = 2-t
y = 4 +2t
z = 1
Giải:
Tìm điểm M:
Xét hệ: 	y + 2z = 0
	x = 1-t	nghiệm là: (1;0;0)
	y = t	ị M( 1;0;0)
	z= 4t
- Tương tự tìm được N( 5; -2; 1)
- Đt cần tìm đi qua M, N có vtcp (4;-2;1) 
Pt đt là: 	x= 1+4t
	y = -2t
 z= t
	4. Đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt, ^ với các đường thẳng khác
	4.1. Đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1; d2.
	4.1.1. Phương pháp giải:
	Phương pháp 1:
	- Viết pt mp (P) qua M và d1
	- Viết pt mp (Q) qua M và d2
	- ĐT cần tìm là giao tuyến của (P), (Q).
	Phương pháp 2:
d d
 ;	 có n0 => tìm 
d1 d2
	- Giải sử (m, n, p) là vtep của (d)
	- Viết pt đt (d). Vì d cắt d1, d2 nên hệ pt 
	4.1.2. Vận dụng.
	Viết pt dt đi qua M (-4; -5; 3) và cắt cả 2 đt.
	d1 : ; d2 : 
	Giải:
	Phương pháp 1:
- Pt mp (P) chứa M, d1, có cặp vtep là : (3; -2; -1); ( 3; 2; -1) với A (-1; -3; 2).
	=> vtpt của mp (P) là: [ ] = ( 4; 0; 12) hay (1; 0; 3)
	pt mp (P): x + 3z - 5 = 0
	- Tương tự mp (Q) chứa M, d2 có phương trình : 7x - 13y - 5z - 22 = 0
	- Pt đt cần tìm là: 	x + 3z - 5 = 0
	7x - 13y - 5z - 22 = 0
	Phương pháp 2:
	- đt (d) đi qua M có vtcp (m, n, p), phương trình là:
	 d cắt d1, d2 khi 2 hệ phương trình sau có n0.
(*)
và (*) (*)
	Xét hệ (*) chọn p = 1 => m = -3, n = -2, hệ (*) có n0 ( - 1; -3; 2)
	Với m = -3, n = -2, p = 1 hệ (* *) có n0 ( 2; -1; 1)
	Vật đt cần tìm là: 
	4.2. Đường thẳng đi qua M, ^ đt d1 và cắt đt d2
	4.2.1. Phương pháp giải.
- Viết pt mp (P) chứa M và ^ d1
- Viết pt mp (Q) chứa M và d2
- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của mp (P) và mp (Q).
 x + y - z + 2 = 0
 x + 1 = 0 
4.2.2. Vận dụng:
Cho A (0; 1; 1), d1 : ; d2
	Viết ptđt qua A, ^ d1 và cắt d2
Giải:	mp(P) qua A và ^ d1 có vtpt là (3 ; 1 ; 1 )
	ptmp (P) : 3x + y + z - 2 = 0
	ptmp (Q) chứa d2 có dạng m (x + y - z + 2) + n ( x + 1) = 0
	A ẻ ( Q) => 2m + n = 0 chọn m = 1, n = -2
 3x + y + z- 2 = 0
 x - y - z = 0 
	ptmp (Q): x - y + z = 0
	đt cần tìm có dạng : 
	4.3. Đường thẳng đi qua M, ^ và cắt đt (d).
	4.3.1. Phương pháp giải:	
Phương pháp 1:	- mp (P) chứa M và d
	- mp (Q) chứa M và ^ d
	- đt cần tìm là giao tuyến của mp (P) và mp (Q)
Phương pháp 2:	- mp (Q) chứa M, ^ d.
	- Tìm N là giao điểm của (Q) và (d), đt cần tìm đi qua M, N
 x + y - z + 2 = 0
x + 1 = 0 
* Dạng toán này được áp dụng vào việc lập ptđt chứa đường cao, đường trung trực trong tam giác.
	4.3.2. Vận dụng:
	Viết ptđt qua M ( 0; 1; 1) ^ và cắt đt (d) : 
Giải:	- mp (P) chứa M và d có pt 	x - y + z = 0
 y + z - 2 = 0
 x - y + z = 0
 y + d - 2 = 0
 x - y + d = 0
 x + y + z - 1 = 0
x - 1 = 0
	- mp (Q) chứa M và ^ d	y + z - 2 = 0
	- đt cần tìm 
	5. Đường thẳng đi qua giao điểm A của mp (p) và đt (d), nằm trong mp (P) và ^ d.
	5.1. Phương pháp giải:
	Phương pháp 1:	- Viết ptmp (Q) qua A, ^ d
	- đt cần tìm là giao tuyến của mp (P) và mp(Q)
	Phương pháp 2:	- đt cần tìm qua A có vtep = []
	với là vtpt của (P); là vtep của d.
 y - 1 = 0
 z + 1 = 0
	5.2. Vận dụng:
	Cho mp (P) : x + y + z - 1 = 0	 (d)
	Viết ptđt qua giao điểm của (P) và (d), nằm trong mp (P) và ^ d.
Giải:	- mp (P) có vtpt (1 ; 1 ; 1)
	(d) có vtep là (1 ; 0 ; 0 ) giao điểm của (P) và (d) là A ( 1; 1 ; -1).
	mp (Q) qua A và ^ (d) có pt : x - 1 = 0
	đt cần tìm là : 
	6. Đường ^ chung của 2 đường thẳng chéo nhau d1, d2.
	6.1. Phương pháp giải:
	Phương pháp 1:	- Tìm vtcp , của 2 đt d1, d2
	- Tìm = [, ].
	- Viết pt mp (P) chứa d1, có cặp vtcp ,.
	- Viết pt mp (Q) chứa d2, có cặp vtcp , .
	- đt cần tìm là giao tuyến của mo (P) và mp (Q).
Phương pháp 2:
 	- Như phương pháp 1 ta tìm = [, ] và mp (P).
	- Tìm M = d2 ầ (P) .
	- đt cần tìm qua M và vtcp 
	Phương pháp 3:
	- d1 đi qua M1 (x1, y1, z1), vtcp ( a1, a2, a3).
	- d2 đi qua M2 (x2, y2, z2), vtcp ( b1, b2, b3).
	- Điểm M (x1 +a1t, y1 +a2t, z1 + a3 t) ẻ d1
	- Điểm N (x2 +b1s, y2 +b2s, z2 + b3 s) ẻ d2
	Sao cho:	.= 0
	.= 0	Giải hệ tìm t, s. Từ đó tìm M, N.
	đt cần tìm đi qua M, N
	* Với phương pháp này có ưu điểm là: Ngoài việc lập đường vuông góc chung ta còn tìm được toạ độ của chân đường vuông góc và thuận lợi cho việc tính khoảng cách.
	6.2. Vận dụng: Lập ptđt vuông góc chung của 2 đt.
d1:
x-7
=
y-3
=
z-9
d2:
x-3
=
y-1
=
z-1
1
2
-1
-7
2
3
 Giải: 
	Cách 1: 
	- d1 đi qua A (7,3,9) có vtcp ( 1;2;-1)
	- d2 đi qua B ( 3,1,1) có vtcp ( -7, 2, 3).
	 = [,] = ( 8, 4, 16) hay (2; 1; 4)
	- mp (P) chứa d1, cặp vtcp , vtpt (3, -2, -1)
	pt (P) : 3x - 2y - z - 6 = 0
	mp (Q) chứa d2, cặp vtcp , vtpt (-5, -34, 11)
	pt (Q): 5x + 34 y -11z - 38 =0
	Đt cần tìm: 
	3x - 2y - z - 6 = 0
	5x + 34y - 11z - 38 = 0
	Cách 2: Theo cách 1 ta có ptmp (P): 3x - 2y - z - 6 = 0
	(P) cắt d2tại M
	Xét hệ phương trình:
3x - 2y - z - 6 = 0
x= 3
M (3; 1; 1)
x- 3
=
y-1
= 
z-1
y = 1
-7
2
3
z = 1
pt đt cần tìm qua M, vtcp : 
x-3
=
y-1
=
z-1
2
1
4
	Cách 3: 	Lấy M (7 +t1; 3 +2t1; 9 - t1 )d1
	Lấy N (3 - 7t2; 1 +2t2; 1 +3 t2 )d2 	t1, t2 R
	MN là đường vuông góc chung 	. = 0
	. = 0
t1+ t2= 0
t1 = 0
M( 7, 3, 9)
3t1+ 31t2 =0
t2= 0
N (3, 1, 1)
đt cần tìm qua M, N có vtcp ( 4, 2, 8) hay (2, 1, 4)
	Pt là: 
x-3
=
y-1
=
z-1
2
1
4
B. Bài tập tổng hợp
	Bài 1: 
	Trong không gian cho hệ toạ độ oxyz, đt (d), mp (P) có phương trình:
(d)
x-12
=
y-9
=
z-1
4
3
1
	mp (P) : 3x +5y - z -2 = 0.
	a, Xác định vị trí giữa (d) và (P). Tìm giao điểm nếu có.
	b, Viết pt hình chiếu vuông góc của d trên (P).
	c, Cho A ( 1; 0 ;-1). Tìm A' đối xứng với A qua (P).
	Giải:
	a) 	(d) có vtcp (4; 3; 1); (P) có vtpt ( 3; 5; -1) 
	. = 26 0. Vậy (d) cắt (P).
	Giải hệ: 
x-12
=
y-9
=
z-1
có nghiệm là x = 0, y = 0, z = -2
4
3
1
3x + 5y - z - 2 = 0
	Toạ độ giao điểm là: (0; 0; -2).
	b) + mp (Q) chứa d và vuông góc với (P) có pt: -8x + 7y +11z +14 = 0.
	+ đt cần tìm là: 	3x+ 5y -z -2 =0
	-8x + 7y +11z +14 = 0
	c) đt qua A và vuông góc với (P) có pt là: 	x= 1+3t
	y = 5t
	x= -1 -t
	đt trên cắt (P) tại I ( 29/35; -2/7; -33/35)
	A' đối xứng với A qua (P) khi I là trung điểm của AA'
	 A' ( 23/35; -4/7; -31/ 35).
Bài 2: 
	Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho ∆ ABC, A( 1; -2; -4); 
B(3;1; -3), C( 5; 1; -7).
	a) Lập pt đt chứa đường trung tuyến và đường cao hạ từ A của ∆ ABC.
	b) Lập pt mp trung trực và đt trung trực của BC.
Giải:
	a) ĐT chứa trung tuyến AM có vtcp (3; 3; -1)
	Có pt là :
x-1
=
y+2
=
z+4
3
3
-1
	- đt chứa đường cao AH là giao tuyến của mp (ABC) và (P) với (P) chứa A và BC 
	mp (P) có pt là: x- 2z - 9 = 0 
	mp (ABC) có vtpt là: [, ] = ( -12; 10; -6). hay ( 6; -5; 3)
	Phương trình (ABC) là: 6x - 5y +3z -4 = 0
	pt đường cao AH : 	x- 2z - 9 = 0
	6x - 5y +3z - 4 = 0
b) mp trung trực của BC đi qua trung điểm M của BC và có vtpt là (2; 0; -4) hay (1; 0; -2); 	M (4; 1; -5)
x- 2z - 14 = 0
6x-5y+3z - 4= 0
	mp có pt : x-2z -14 = 0 (Q)
	* Đt trung trực của BC là giao của (A) và mp (ABC) 
Bài 3: 
	Cho 2 đường thẳng có phương trình:
d1:
x = 3+t
d2:
x- 3y +z = 0
y = -1 +2t
x + y - z + 4 = 0
z = 4
	a, Xác định vị trí tương đối của d1; d2
	b, Viết ptmp (P) chứa d1và // với d2.
	c, Viết pt đường vuông góc chung của d1; d2
 Giải:
	a.	 (d1) đi qua M (3; -1; 4), có vtcp (1; 2; 0).
	(d2) đi qua N ( -2; 0; 2) có vtcp ( 1; 1; 2)
	[ , ] = ( 4; -2; -1)
	[ , ]. = -20 0 .
	Vậy d1,, d2 chéo nhau.
	b. mp (P) đi qua M và có vtpt (4; -2; -1)
	pt là: 4x - 2y - z +10 = 0
	c. mp (Q) chứa d1 và vtcp có phương trình là: 2x - y +10z - 47 = 0
	mp (R) chứa d2và vtcp 
	pt là: x+ 3y - 2z +6 = 0.
	- Đường thẳng cần tìm là: 	2x- y +10z - 47 = 0
	x+ 3y - 2z +6 = 0
Bài 4:	Cho mp (P): x+y+z = 0
	đt (d): 	x+2y - 3 = 0
	3x - 2z - 7 =0	
	a. Tìm giao điểm A của (d) và (P)
	b. Viết phương trình đt đi qua A, vuông góc với d và nằm trong (P).
Giải: 
	a. Giải hệ: 	x+ y +z = 0
	x+ 2y - 3 = 0	nghiệm là: (1; 1; -2).
	3x - 2z -7 = 0	
	Vậy A (1; 1; -2)
	b. d có vtcp (-2; 1; -3)
- mp (Q) chứa A và vuông góc với d có phương trình: 2x - y + 3z +5 = 0
	- Đt cần tìm là giao của 2 mp (P) và (Q).
	x+ y +z = 0
	2x - y + 3z +5 = 0
Bài 5:
	Cho 2 đường thẳng có phương trình:
d1
x+y = 0
d2
x + 3y - 1 = 0
x - y +z +4 = 0
y + z - 2 = 0
	a.Chứng minh rằng: 2 đt đó chéo nhau, tính khoảng cách giữa 2 đt đó.
	b. Viết ptđt đi qua M ( 2; 3; 1) và cắt cả 2 đt d1; d2.
	Giải:
	a. d1 đi qua A (0; 0; -4) và vtcp ( 1; -1; -2)
	d2 đi qua B (1; 0; 2) và vtcp ( 3; -1; 1)
	 = [, ] = ( -3; -7; 2)
	. = 9 0. Vậy d1; d2 chéo nhau.
	* Tính khoảng cách giữa d1. d2.
d(d1, d2) = = 
b) 
- mp (P) chứa M và d1 có phương trình: x-9y+ 5z + 20 = 0
- mp (Q) chứa M và d2có phương trình: x - 2y - 5z + 9 = 0
- Đường thẳng cần tìm là: 
	x - 9y +5z + 20 = 0
	x - 2y - 5z +9 = 0
Bài 6:
Cho 2 đường thẳng có phương trình:
d1:
x +1
=
y -1
=
z-3
d2:
x-1
=
y +1
=
z-2
1
2
-1
3
-1
2
a. Tính góc và khoảng cách giữa d1; d2
b. Viết phương trình mặt phẳng (R) // và cách đều d1, d2.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M (1;1;1) cắt d1và vuông góc với d2.
Giải:
a)	d1 đi qua A ( -1; 1; 3) và vtcp (1;2;-1)
	d2 đi qua B ( 1; -1; 2) và có vtcp (3; -1; 2)
Gọi là góc giữa d1, d2 ta có:
cos
=
.
=
1
.
2
Khoảng cách giữa d1và d2 
[,]. = 23 0 d1 và d2 chéo nhau
d( d1, d2)
=
,].
=
23
,
83
Chú ý: Vì d1chéo d2, ta viết mp (R) chứa d1 và // d2.
d (d1; d2) = d (B ; (R ))
b) mp (R ) // d1 , d2 => có vtpt [,] = (3; -5; -7)
Có pt dạng : 3x - 5y -7z + D = 0
Vì (R) cách đều d1, d2 nên d (A, R) = d ( B, R)
ú |D - 29 | = | D - 6 | 	ú D = 35/2
Vậy mp (R) : 3x - 5y - 7z + 35/2 = 0
c) mp (P) chứa M và d1có cặp vtcp , => vtpt là: (1; 0; 1)
pt(P): x+ z -2 = 0
- Mp (Q) chứa M và vuông góc với d2có phương trình là:
3x - y +2z -4 =0
đt cần tìm là:	x+z -2 = 0
	3x - y +2z - 4 = 0
Bài 7:
Cho 4 điểm A( 5; 1; 3); B(1; 6; 2) ; C( 5; 0; 4); D(4; 0 ;6)
a.Chứng minh rằng: A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích tứ diện đó.
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của AB, CD
	c. Điểm M, N di động trên AB, CD. Xác định vị trí của M, N để MN nhỏ nhất.
Giải:
	a) [, ]. = 4 0
	 , , không đồng phẳng
	Vậy A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện
V
=
1
, ]. 
=
2
6
3
	b. Phương trình cạnh AB:	x= 5 - 4t	
	y= 1+ 5t	t
	z= 3 - t	
	Phương trình cạnh CD:	x= 5 -s
	y= os	s
	z= 4+ 2s
	P (5- 4t; 1+5t; 3- t) 
	Q( 5- s; 0s; 4+ 2s) 
PQ là đường vuông góc chung của AB, CD 	 . = 0
	 . = 0
ú
21t - s +3 = 0
t
=
-17
, s
=
-39
t + 5s +2 = 0
16
106
P
598
;
21
;
335
và Q
596
;
o
;
346
106
106
106
106
106
Đường thẳng cần tìm đi qua P, Q có phương trình:
 = 
c) MN nhỏ nhất bằng PQ = / 106. Khi đó M P, NQ.
Bài 8:
Cho A (1; 3; -2); B (13; 7; -4) ; mp (P): x- 2y + 2z - 9 = 0
a) Tìm điểm H là hình chiếu của A trên (P)
b) Xác định điểm I (P) sao cho IA +IB là nhỏ nhất
Giải:	a) đt (d) qua A và vuông góc với (P) có phương trình:
x - 1
=
y -3
=
z + 2
1
-2
2
Toạ độ H là nghiệm của hệ :
x - 1
=
y -3
=
z + 2
1
-2
2
x- 2y + 2z - 9 = 0
 H ( 3; -1; 2)
b) Dễ thấy AB// (P) => A, B nằm cùng phía đối với mp (P).
Gọi A' đối xứng với A qua (P) thì H là trung điểm của AA' => A' (5; - 5; 6)
Ta có: IA + IB = IA' + IB ³ A'B
Để IA + IB nhỏ nhất thì I = A'B (P)
Đường thẳng A'B có phương trình : 
Cắt mp (P) tại I ( 9; 1; 1)
* Ta có thể nhận xét theo cách khách: Vì AB // (P) nên IH là đường trung bình của D A'AB => I là trung điểm của A'B 
Hoặc : I là hình chiếu của trung điểm đoạn AB trên (P)
Bài 9: Cho 2 đt có phương trình:
d1
x- 8z +23 = 0
d2
x - 2z - 3 = 0
y - 4z +10 = 0
y +2z +2 = 0
a) Viết phương trình 2 mp (P), (Q) // với nhau lần lượt chứa d1, d2.
b) Tính khoảng cách giữa 2 đt d1, d2
c) Viết ptđt // với oz và cắt cả 2 đt trên.
Giải:
a. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng :
	m (x -- 8z +23 ) +n (y - 4z +10 ) = 0
	mx + ny - ( 8m +4n )z +23m +10n = 0
Pt mp (Q) có dạng ax +by + (2b - 2a )z -3a +2b = 0
(P) // (Q)
m
=
n
=
-8m - 4n
23m +10m
a
b
2b - 2a
-3a +2b
Chọn m = a = 1 tìm được n = b = -1	
Vậy ptmp (P):	x - y - 4z +13 = 0
	(Q): 	x- y - 4z - 5 = 0
b. Lấy A( 0; 1; 3) (P)
d( d1; d2)= d (P, Q) = d (A, Q) = 3
c.Đường thẳng cần tìm là giao của mp và mp 
mp () chứa d1và // oz: x- 2y +3 = 0
mp () chứa d2và // oz: x+y - 1 = 0
Vậy đường thẳng là:	x - 2y +3 = 0
	x +y - 1 = 0
 Bài 10: Trong không gian , hệ toạ độ oxyz, cho đường tròn (C) có phương trình:
x2+ y2 + z2 - 4x +6y +6z +17 = 0 	(*)
x - 2y +2z +1 = 0 	(P)
a. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó.
b. Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn (C) và tâm thuộc mp:
x +y +z = 0 (Q).
Giải:
a. Mặt cầu có phương trình (*) tâm I (2; -3; -3); bán kính R =
- Tâm đường tròn là hình chiếu của I trên mp (P)
Đường thẳng qua I và vuông góc với (P) có phương trình là:
d: 
x -2
= 
y +3
=
z +3
1
-2
2
Hình chiếu H của I trên (P) là giao điểm của (d) và (P) 
H
5
;
-7
;
-11
3
3
3
Khoảng cách từ I đến mp (P) là l =1
Bán kính của đường tròn là r = = 2
b. Mặt cầu cần tìm chứa (C) nên tâm mặt cầu J thuộc (d).
Do đó J là giao điểm của (d) và mp (Q) => J(3 ; -5 ; -1)
- Khoảng cách từ J đến (P) là: h=4
bán kính mặt cầu cần tìm là R' = = 
Vậy mặt cầu có phương trình: (x -3)2 + (y +5)2 + (y+1)2 = 20
C. bài tập tự luyện
Bài 1:
Cho mp(P) đi qua 3 điểm A( 0; 0; 1); B(-1; -2; 0); C(2; 1; -1)
a)Viết phương trình của mp (P)
b)Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của và vuông góc với (P)
c) Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC, tính thể tích tứ diện ABC.
Bài 2:	Cho 	d : 
	(P) : x - y - z - 1 = 0
a) Xác định vị trí giữa (d) và mp (P)
b) Viết phương trình chính tác của đường thẳng qua A (1, 1, -2), song song với (P) và ^ d.
c) Viết mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P)
Bài 3: 	Cho A ( 0 , -2 , 0 )	 ;	B (2, 1, 4)
	mp (P): x + y - z + 5 = 0
	a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và mặt phẳng trung trực của AB.
	b) Tìm M trên AB sao cho d( M, P) = 2
	c) Lập mặt cầu (S) đường kính AB. Tìm vị trí giữa (S) và (P).
Bài 4: Cho A ( 4; 1; 4) 	B (3; 3; 1)	C (1; 5; 5)	D (1; 1; 1)
a) Tìm toạ độ hình chiếu của D trên (ABC). Tính VABCD
b)Viết phương trình đường vuông góc chung AC và BD. Tìm M ẻ AC, N ẻ BD để MN nhỏ nhất.
c) Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp ABCD. Viết phương trình mặt phẳng ( IAB).
Bài 5:	MP (P) : 3x - y + 2z - 1 = 0	M (1; 1 ; -1)
	a) Tìm N đối xứng với M qua (P)
	b) Tìm đường thẳng nằm trong (P) và cắt ox, oy.
	c) Tìm hình chiếu của ON trên (P)
Bài 6: Cho mặt cầu (C), đường thằng (d) và mặt phẳng (Q) có phương trình:
(C) : x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z - 67 = 0
d : 	2x - y + 3	= 0
	3x - 2y + z - 8 = 0
(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
a) Viết phương trình tất cả các mp chứa (d), tiếp xúc (C),
b) Viết phương trình hình chiếu của d lên (Q)
Bài 7: Cho tứ diện ABCD: A ( 6; -2; 3) ; B (0 ; 1; 6) ; C (2; 0; -1); D (4, 1, 0)
	a) Viết pt mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD.
	b) Viết pt đường tròn qua A, B, C. Tìm tâm, bán kính.
	c) Tìm mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A.
Bài 8: 	Cho 	d : x = 1 - t ; y = -3 + 2t; z = 3 + t
	(P): 2x + y - 2z + 9 = 0
	a) Tìm I ẻ d sao cho d ( I, P) = 2
	b) Cho A = d (P). Viết pt tham số của đt nằm trong (P), đi qua A, ^d
Bài 9 : Cho M ( 1; 3; 2). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên ox, oy, oz.
	a) Lập mặt cầu đi qua O, A, B, C. Chỉ số thiết diện của mặt cầu và (OAB).
	b) Tìm hình chiếu vuông góc của OM trên ( oxy)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O: 
	A (2; 0 ; 0)	; B (0; 1; 0)	; S (0; 0 ; 2)
	a) Gọi M là trung điểm SC. Tính góc và khoảng cách giữa SA, BM.
b) Giả sử N = SD (ABCD). Tính VS.ABMN
c) Lập pt đt qua A ^ và cắt SB.
__________________________