Các bài tập hình học không gian tổng hợp giải bằng phương pháp toạ độ

 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
1 
1 
CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP 
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ 
PHẦN II: HÌNH CHĨP 
Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định 
vungocvinh59@yahoo.com 
PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TỐN 
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ 
thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. 
Bài tốn đơn giản hay khơng một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuơng gĩc và đơn vị 
trên các trục. 
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc O ( Đỉnh của gĩc vuơng, tâm 
mặt cầu .) 
Bước 2: Dựa vào điều kiện của bài tốn để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt 
cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy. 
 (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) 
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : 
+)Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). 
+) Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, 
điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ 
+) Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. 
+) Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. 
Bước 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài tốn sang tính chất đại số 
và giải tích, đưa bài tốn về bài tốn đại số, giải tích. Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết 
bài toán . 
Các dạng toán thường gặp: 
- Độ dài đọan thẳng 
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
- Góc giữa hai đường thẳng 
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
- Góc giữa hai mặt phẳng 
- Thể tích khối đa diện 
- Diện tích thiết diện 
- Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc 
- Bài toán cực trị, quỹ tích 
Bổ sung kiến thức : 
1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin 
của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu 
 cos.' SS  
2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S 
 Ta luôn có: 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
2 
2 
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABCS
CBAS
'''
.
'''. .. 
Chú ý. 
a) Hình chĩp S.ABCD cĩ SA vuơng gĩc với đáy và đáy là hình vuơng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn 
hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuơng. 
b) Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuơng gĩc với đáy. 
Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta cĩ 
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). 
c) Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vuơng gĩc với 
đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuơng gĩc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz 
ta cĩ: 
H(0; 0; 0),    a aA ; 0; 0 , B ; b; 02 2    
a a a 3, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .2 2 2
     
Phần II. 1 . 
HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH BÊN VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY 
( Hay hình chĩp cĩ hai mặt bên vuơng gĩc với đáy) 
* Lưu ý: Đường cao của hình chĩp là cạnh bên vu«ng gãc đáy. 
Ví dụ 1. 
 Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; 
AB = 3; AC = AD= 4 
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) 
 ( KD: 2002) 
Giảii 
+ Chän hƯ trơc Oxyz sao cho A  O 
D Ox; C  Oy và B  Oz 
 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) 
 Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ: 
1
4 4 3
  x y z  3x + 3y + 4z - 12 = 0 
Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ: 
d(A; mp’(BCD)) = 6 34
17
Ví dụ 2. 
 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, 
AD = a, AC = b, AB = c.Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : 
  2S abc a b c   
 (DB – ĐH. K. D – 2003) 
Giải 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) 
 z 
y 
x 
B 
C 
D 
A 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
3 
3 
           
     
     
     

   
 
2 2 2 2 2 2
BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1S BC,BD a b a c b c đpcm
2 2
a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a


     
  
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)
c a a b 2ca b
Ví dụ 3. 
 Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA a 2. Mặt phẳng () qua A 
vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt là M, N, P. Chứng minh rằng tứ giác AMNP có hai 
đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác. 
Giải 
 Dựng hệ trục Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, 
với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a 2) 
1SC (a; a; a 2) a(1; 1; 2) a.u    
  
2SB (a; 0; a 2) a(1; 0; 2) a.u    
  
3SD (0; a; a 2) a(0; 1; 2) a.u    
  
Phương trình mp(qua A(0; 0; 0) với 
pháp vectơ 1n u (1; 1; 2)  
  : 
( ) : x y 2z 0.    
Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ chỉ phương 1u
 : 
x a t
(SC) : y a t
z 2t
 
  
  
N SC N(a t; a t; 2t)     
a a a a 2N ( ) a t a t 2( 2t) 0 t N ; ;
2 2 2 2
 
               
Phương trình đường thẳng (SB): x = a + t; y = 0; x 2t.  
Ta có: 
a 2a a 2M SB; M ( ) t M ; 0;
3 3 3
 
         
. Phương trình đường thẳng (SD): 
x 0; y a t; z 2t.     Ta có: a 2a a 2P SD; P ( ) t P 0; ;
3 3 3
 
         
S 
A 
P N 
M 
B 
C 
a 
O 
z 
a 2 
a 
x 
D 
y 
z 
y 
x 
A 
B 
C 
D 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
4 
4 
a a a 2 2a 2a 2a 2AN ; ; ; AN a; MP ; ; 0 ; MP .
2 2 2 3 3 3
             
 
Ta có: 
2 2a 2a a 2a a 2 a aAN.MP . . .0 0 AN MP
2 3 2 3 2 3 3
            
 
 (đpcm) 
Diện tích tứ giác AMNP: 
21 1 2a 2 a 2S .AN.MP .a. .
2 2 3 3
   
Ví dụ 4. 
Cho hình chóp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; đáy ABCD là hình thang vuông có 
BC = 2a, 
aAD
2
 và đường cao AB = a. M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x (0 x a)  . Tính độ 
dài đường cao DE của BMD. Định x để DE đạt giá trị nhỏ nhất. 
Giải 
 Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), 
B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), 
aD 0; ; 0 , S(0; 0; a), M(0; 0; x)
2
 
  
. 
BM ( a; 0; x). 

Phương trình đường thẳng BM qua B với , vectơ chỉ phương: 
x a at
(BM) : y 0
z xt
 
 
 
aE BM E(a at; 0; xt) DE a at; ; xt
2
         

aDE BM DE.BM 0 (a at)( a) .0 xt.x 0
2
        
  
    

2
2 2 2
2 2
a(x a )t a t .
x a
Ta có: 
2 2
2 2 2 2
ax a a xDE ; ;
2x a x a
 
    

       
   
         
2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a x a a x a a x (x a a 4xDE 1
4 4 2(x a ) (x a ) (x a ) x a
a aDE min DE x 0 x 0 M A.
2 2
Ví dụ 5. 
 Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = 2a. Mặt phẳng () 
qua BC hợp với AC một góc 30o, cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM. 
Giải. 
 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, 
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a). 
Đặt: AM = h; (0 < h < 2a)  M(0; 0; h) 
M 
E 
A D 
a C 
y 
z 
S a 
B 
x 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
5 
5 
BM ( a; a;h), BC (0; a; 0),   
 
2[BM; BC] ( a.h; 0; a ) a(h; 0; a)    
 
 a.n   , với n (h; 0; a) 
n (h; 0; a)  là pháp vectơ của mặt phẳng (). 
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương 
1u (a; a; 0) a(1; 1; 0) a.u ,  
  với 1u (1; 1; 0)
 . 
() hợp với AC một góc 30o. 
   
   
 

     
o
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1.h 1.0 0.a 1sin30
21 1 0. h 0 a
h 1
22 h a
h 2 h a 2h h a
h a   M là trung điểm SA. 
 Ta có: 
MN ( ) (SAD)
MN // BC// AD.
BC// AD
   

BC (SAB) BC BM BCNM    là hình thang vuông tại B và M. 
ABM vuông cân đỉnh A  BM a 2. MN là đường trung bình của SAD aMN .
2
  Diện 
tích hình thang vuông BCNM: 
21 3a 2S .BM(MN BC)
2 4
   . 
Ví dụ 6. 
Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c đơi một vuơng gĩc. Điểm M cố định thuộc tam 
giác ABC cĩ khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để 
thể tích O.ABC nhỏ nhất. 
Giải 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: 
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). 
d[M, (OAB)] = 3  zM = 3. 
Tương tự  M(1; 2; 3). 
pt(ABC): x y z 1a b c   
1 2 3M (ABC) 1a b c    
 (1). 
O.ABC
1V abc6
 (2). 
3
1 2 3 1 2 3(1) 1 3 . .a b c a b c    
 1 abc 276 
. 
C 
y 
2a S 
N 
D 
y a 
x 
a 
B 
H A 
M 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
6 
6 
(2) min
1 2 3 1V 27 a b c 3     
3
6
9
a
b
c

 
 
Ví dụ 7. 
Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với đáy và ABC vuơng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, 
AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin gĩc 
phẳng nhị diện [H, SB, C] 
Giải. 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: 
 A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 
0). 
mp(P) qua H vuơng gĩc với SB tại I cắt đường thẳng SC 
tại K, dễ thấy 
[H, SB, C] =  IH, IK  (1). 
SB ( 1; 3; 4)  

, SC (0; 3; 4) 

 suy ra: 
ptts SB: 
x 1 t
y 3 3t
z 4t
     
, SC: 
x 0
y 3 3t
z 4t
    
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.    5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 379 281cos[H, SB, C] 12645  
Ví dụ 8. 
Cho hình chóp S. ABCD có SA  (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp 
trong đường tròn đường kính AD = 2a. 
 Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). 
Giải. 
Dựng / /BB AD, CC AD  và I là trung điểm AD 
/ / / /a 3 a 3aBB CC ; AB ; AC
2 2 2
     
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông 
   
   
   
a 3 a a 3 3agóc A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 ,
2 2 2 2
D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6).
a 3 a a 3 3aSB ; ; a 6 , SC ; ; a 6
2 2 2 2
   
         
 
2 2 2
2 a 3 a 3 a 3[SB; SC] a 6; 0; (2 2; 0; 1) .n,
2 2 2
 
    
   với n (2 2; 0; 1) 
Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ n : (SBC) : 2 2x ... M và CN. 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
10 
10 
Phần II. 2 . 
HÌNH CHĨP CĨ MỘT MẶT BÊN ( HOẶC MẶT CHÉO) VUƠNG GĨC VỚI ĐÁY 
* Lưu ý: Đường cao của hình chĩp là cạnh đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đĩ. 
Ví dụ . 
 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều và 
vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên cạnh BC. Chứng minh 
SH vuông góc (ABCD). Đặt x = CM với 0 x a (a 0)   . 
Tính khoảng cách từ S đến DM. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất. 
Giải. 
Ta có: 
(SAB) (ABCD), (SAB) (ABCD) AB
SH AB
  
 
 SH (ABCD)  
 Chọn hệ trục Hxyz, với Hx, Hy, Hz 
ađôi một vuông góc, H(0; 0; 0), A ; 0; 0 ,
2
a a aB ; 0; 0 , C ; a; 0 , D ; a; 0 ,
2 2 2
a 3 aS 0; 0; , M ; a x; 0 , 0 x a; a 0
2 2
   
               
            
 x 
2 2a a 3SD ; a; , DM (a; x; 0), DM a x
2 2
 
        
  
2
2ax 3 a 3 ax[SD; DM' ; ; a
2 2 2
 
     
 
2 2 4 2
2 2 23a x 2a a a[SD; DM] (x 2a) 4x 4ax 7a
4 4 4 2
       
 
Khoảng cách từ S đến đường thẳng DM: 
2 2
2 2
[SD; DM] a 4x 4ax 7ad(S; DM)
2 x aDM
  

 
 . 
Xét hàm số: 
2 2
2 2
4x 4ax 7af(x) ,
x a
 

 với 0 x a (a 0)   
2 2
/
2 2 2
2a(2x 3ax 2a )f (x)
(x a )
 

 / 2 2
af (x) 0 2x 3ax 2a 0 x hay x 2a.
2
         
z 
S a 3
2
A D 
C 
B 
a
2
 M x 
H 
y 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
11 
11 
Bảng biến thiên: 
x 
a
2
 0 a 2a 
f/(x) + 0 - - - 0 + 
f(x) 
7 
7
2
 Từ bảng biến thiên ta có: max f(x) 7 tại x = 0. 
Vậy: Maxd(S; DM) = 7
2
a , đạt được khi x = 0. 
BÀI TẬP 
Bài 1. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. SAD đều và vuơng gĩc với (ABCD). 
Gọi H là trung điểm của AD. 
1) Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 
2) Mặt phẳng ( ) qua H và vuơng gĩc với SC tại I. Chứng tỏ ( ) cắt các cạnh SB, SD. 
3) Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D]. 
Bài 2: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng 
SH (ABCD) với SH=a 
1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 
 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
Bài 3. Cho hình vuơng ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuơng gĩc với 
mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chĩp S.ABCD cĩ số đo bằng 600 . 
1) Tính SH và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). 
2) Gọi K là trung điểm cạnh AD. Chứng minh CK  SD và tính số đo nhị diện (A, SD, C) 
3) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( SCK). 
Bài 4. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và vuơng 
gĩc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AB. 
1) Tính gĩc giữa DB và mặt phẳng (SAD). 
2) Tính gĩc giữa DS và mặt phẳng (SCH). 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
12 
12 
Phần II. 3 . 
HÌNH CHĨP ĐỀU 
* Lưu ý: Chân đường cao của hình chĩp là tâm của đa giác đáy. 
Ví dụ 1. (ĐH. K A – 2002). 
Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo 
a diện tích AMN, biết (AMN) vuơng gĩc với (SBC). 
Giải 
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O 
là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm của BC, 
ta cĩ: 
3 a 3AI BC2 2 
a 3 a 3OA , OI3 6  
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuơng gĩc với OA. 
Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta 
được: 
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3A ; 0; 03
    
a 3I ; 0; 06
     
, a 3 aB ; ; 06 2
    
, 
a 3 aC ; ; 06 2
     
, a 3 a hM ; ; 12 4 2
    
và a 3 a hN ; ; 12 4 2
     
. 
2
(AMN)
ah 5a 3n AM, AN ; 0; 4 24
           
  , 
2
(SBC)
a 3n SB, SC ah; 0; 6
           
  
2 2
2
(AMN) (SBC) AMN
5a 1 a 10(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN12 2 16
          
   . 
Ví dụ 2. 
Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa ABC. I lµ trung ®iĨm cđa SO. 
1) MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC. 
2) H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cđa SAC. 
Giải. 
Chän hƯ trơc Oxyz sao cho O lµ gèc täa ®é 
 AOx, S Oz, BC//Oy 
Täa ®é c¸c ®iĨm: 3( ;0;0)
3
A ; 3 1( ; ;0)
6 2
 B ; 
3 1( ; ;0)
6 2
C ; 6(0;0 )
3
S ; 6(0;0; )
6
I 
Ta cĩ: (0;1;0)

BC ; 3 1 6( ; ; )
6 2 6
  

IC ; 
6 3, ( ;0; )
6 6
    
 
BC IC 
 z 
x 
y 
I 
O 
H 
A 
C 
S 
G 
N 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
13 
13 
 Phư¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (IBC) lµ: 6 3 6( 0) 0( 0) ( ) 0
6 6 6
      x y z 
Hay: 62 0
6
   z mà ta lại cĩ: 3 6( ;0; ) // (1;0; 2)
3 3
   
  
SASA SA u 
Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA: 3 ;
3
 x t 0; 2  y z t . 
+ Täa ®é ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ: 
3 (1)
3
0 (2)
2 (3)
62 0(4)
6

 



 

   
x t
y
y t
x z
Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã: 
3 6 3 6; 0; ( ;0; )
12 4 12 4
    x y z M ; 3 6( ;0; ) 4
12 12
    
  
SM SA SM 
 M n»m trªn ®o¹n SA vµ 1
4
SM
SA
( ) 1
( ) 4
 SBCM
SABC
V
V
. 
2. Do G lµ träng t©m cđa ASC  SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC  GI  (SNB)  GI vµ SB ®ång 
ph¼ng (1). Ta l¹i cã täa ®é: 
G 3 1 6( ; ; )
18 6 9
3 1 6( ; ; )
18 6 18
   

GI 3 1 6( ; ; )
18 6 18
   

GI . 0 (2)   
 
GI SB GI SB 
Tõ (1) vµ (2)   GI SB H 
Ví dụ 3. 
Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng dường cao SH. 
1) Chứng minh SA  BC. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC. 
2) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. 
Giải 
1) Gọi M là trung điểm BC 
a 3AM BC, AM
2
   . Gọi SH là đường cao của tứ diện đều, 
nên SH là trục đường tròn (ABC)  H là tâm đường tròn (ABC) 
2 a 3AH AM .
3 3
   
 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, 
     
     
     
a a 3 a a 3 a 3 a 6A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 , S 0; ; ,
2 2 2 2 3 3
   
   
   
a 3 a 3M 0; ; 0 , H 0; ; 0 .
2 3
a 3 a 6BC ( a; 0; 0), SA 0; ;
3 3
 
     
 
. Ta có: 
a 3 a 6SA.BC 0.( a) .0 .0 0 SA BC
3 3
      
   
. Vậy, SA BC. 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
14 
14 
. 
 Thể tích hình chóp: 
2 3
ABC
1 1 a 6 a 3 a 2V .SH.S . .
3 3 3 4 12
   . 
Diện tích toàn phần: 
2
2
tp ABC
a 3S 4.S 4. a . 3.
4
   
2) O là trung điểm SH  tọa độ 
a 3 a 6O 0; ;
3 6
 
  
a 3 a 6 a a 3 a 6 a a 3 a 6OA 0; ; , OB ; ; , OC ; ;
3 6 2 6 6 2 6 6
     
               
  
. Ta có: 
2 2a a 3 a 3 a 6 a 6 a aOA.OB 0. . . 0 OA OB.
2 3 6 6 6 6 6
       
 
 Chứng minh tương tự ta cũng có: OB OC, OC OA.  
Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. 
BÀI TẬP 
Bài 1. 
Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD. Gọi I là trung điểm của đường cao SO với O là tâm của ABCD. 
Biết khoảng cách từ I đến cạnh bên và mặt bên của hình chĩp theo thứ tự bằng p, q, Tính thể tích của 
hình chĩp. 
Bài 2. 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O cạnh a, SO vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N 
theo thứ tự là trung điểm của SA và BC. Biết rằng gĩc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . 
1) Tính MN và SO. 
z 
x 
y 
I 
O 
B 
A 
C 
S 
M 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
15 
15 
2) Tính gĩc giữa MN và mặt phẳng (SBD). 
Bài 3. 
Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cạnh bằng 2a. Gọi d1 , d2 , d3 , d4 theo thứ tự là khoảng cách từ 
điểm M bất kì thuộc đáy ABCD tới các mặt bên. 
CMR: Tổng d1 + d2 + d3 + d4 khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
Bài 4. 
Cho hình chĩp đều S.ABC, gọi O là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm SO. Chứng minh rằng 
IA, IB, Ic đơi một vuông góc với nhau. 
Bài 5. 
Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ đường cao SO = 1 và đáy Abc cĩ cạnh bằng 6a . Gọi M, N 
theo thứ tự là trung điểm AB, AC. Tính thể tích hình chĩp S.AMN và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 
chĩp. 
Bài 6. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( ) 
đi qua AB và vuơng gĩc với SC. 
1. Tìm điều kiện của h theo a để ( ) cắt cạnh SC tại K. 
2. Tính diện tích ABK . 
3. Tính h theo a để ( ) chia hình chĩp thành hai phần cĩ thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đĩ tâm 
mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 
 Chuyên đề phương pháp toạ độ trong khơng gian 
 vungocvinh59@yahoo.com 
16 
16 
Phần II. 4 . 
HÌNH CHĨP CĨ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU 
 ( Hay hình chĩp cĩ các cạnh bên tạo với đáy các gĩc bằng nhau) 
* Lưu ý: Chân đường cao của hình chĩp trùng với tâm của đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy. 
Ví dụ . 
Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt 
phẳng (ABC) bằng h. Tìm điều kiện của a và h để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. 
BÀI TẬP 
Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các 
 góc  ,, . Chứng minh rằng: 
 1) 2 2 2cos cos cos 2     
 2) 2222 ABCOCAOBCOAB SSSS   
Phần II. 5 . 
HÌNH CHĨP CĨ CÁC MẶT BÊN NGHIÊNG ĐỀU TRÊN ĐÁY 
* Lưu ý: Chân đường cao của hình chĩp trùng với tâm của đường trịn nội tiếp đa giác đáy. 
Ví dụ . 
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi ; ;   lần lượt là các góc 
giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB). 
Chứng minh rằng : 
 1) 2 2 2cos cos cos 1     
2) cos cos cos 3     
BÀI TẬP 
Cho hình cầu bán kính R nội tiếp trong hình chĩp. Đáy của hình chĩp là hình thoi cĩ gĩc nhọn  , các 
mặt bên của hình chĩp tạo với đáy gĩc  . Tính thể tích của hình chĩp. 
Phần II. 6 . 
 CÁC LOẠI HÌNH CHĨP KHÁC 
Ví dụ 1. 
Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình thoi ABCD cĩ tâm O, SO là đường cao của hình chĩp. M là trung 
điểm cạnh SC. SO = 2a , AC = 4, BD = 2. 
 1) Tính gĩc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. 
 2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích của khối chĩp S.ABMN. 
 3) Chứng minh rằng mọi điểm thuộc đường cao của hình chĩp cách đều bốn mặt bên của hình 
chĩp. 
BÀI TẬP. 
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các nửa đường thẳng At, Ct’ vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và 
nằm cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy các điểm M, N tương ứng. Đặt AM = m, 
CN = n, AB = a, BC = b. 
 1) Tìm điều kiện của a, b, m, n đẻ mặt phẳng (MBD) vuơng gĩc với mặt phẳng (NBD). 
 2) Trong trường hợp mặt phẳng (MBD) vuơng gĩc với mặt phẳng (NBD). Hãy tìm giá trị nhỏ 
nhất của tứ diện ACMN theo a, b, m, n.