Bộ Toán ôn thi Đại học

Đấ̀ 1
I. Phần chung
Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số 
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2, Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Câu 2: ( 2 điểm) 1, Giải phương trình: 
2, Giải hệ phương trình: 
Câu 3: ( 2 điểm ) 1, Tính tích phân: .
2, Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng: 
Câu 4: ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: và đường thẳng ( d) có phương trình: 
1, Tìm toạ độ giao điểm A của ( d) và (P). Tính số đo góc tạo bởi ( d) và (P).
2, Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng và ( d) bằng 450.
II. Phần riêng ( Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) 
Câu 5A: ( 2 điểm ) ( Dành cho THPT không phân ban)
1, Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A( 2;5 ), B9 4; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: .
2, Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: 
Câu 5B: ( 2 điểm) ( Dành cho THPT phân ban)
1, Giải phương trình: .
2, Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. EBK.
ĐÁP ÁN Đấ̀ 1
I. Phần chung
Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số 
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2, Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Đk để ( Cm) có 3 điểm cực trị là m < 2. Các điểm cực trị của ( Cm) là 
Đáp số: 
Câu 2: ( 2 điểm) 1, Giải phương trình: 
Đưa phương trình về dạng: 
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng giải hai phương trình: 
 và 
Ta được các họ nghiệm của phương trình đã cho là: 
2, Giải hệ phương trình: 
ĐK 
Đưa phương trình thứ nhất của hệ về dạng: 
Đặt , tìm được t = 1, kết hợp với phương trình thứ hai của hệ,đối chiếu với điều kiện trên, tìm được nghiệm .
Câu 3: ( 2 điểm ) 1, Tính tích phân: .
Đưa I về dạng: . Dùng phương pháp đổi biến số, đặt 
Đáp số: I = 6.
2, Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng: 
Từ .
Vậy .
Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại, suy ra đpcm.
Câu 4: ( 2 điểm ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: và đường thẳng ( d) có phương trình: 
1, Tìm toạ độ giao điểm A của ( d) và (P). Tính số đo góc tạo bởi ( d) và (P).
Đáp số. 1) .
2, Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) sao cho góc tạo bởi hai đường thẳng và ( d) bằng 450.
Hai đường thẳng thoả mãn đề bài có phương trình: 
II. Phần riêng ( Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) 
Câu 5A: ( 2 điểm ) ( Dành cho THPT không phân ban)
1. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A( 2;5 ), B(4; 1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: .
Hai đường tròn thoả mãn đề bài có phương trình: 
2, Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: 
Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý và ta thấy: 
Từ . So sánh hệ số của trong khai triển nhị thức Newton của
 và ta suy ra: 
Từ (1) và (2) có đpcm.
Câu 5B: ( 2 điểm) ( Dành cho THPT phân ban)
1, Giải phương trình: .
Đk x > 0 và . Đưa phương trình về dạng .
Xét hai khả năng 0 1, đối chiếu với điều kiện ta tìm được hai nghiệm của phương trình là: 
 và x = 3.
2, Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao cũng bằng a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. EBK.
Đáp số: .
Đấ̀ 2
Cõu 1: Cho hàm số y = cú đồ thị là (C)
1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số trờn.
 2) Tỡm trờn (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, b sao cho AB ngắn nhất
Cõu 2: 
1/.Giải phương trỡnh: 
2/.Giải hệ phương trỡnh: 
Cõu 3: 
1) Tớnh tớch phõn I =
2) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:
	 (m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) 
Cõu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món abc = 1. Chứng minh rằng: 
Cõu 5: Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a. Tớnh theo a khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC). 
Phần riờng:
1.Theo chương trỡnh chuẩn:
Cõu 6a: Cho D ABC cú B(1;2), phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh (D ) 2x +y –1 =0; khoảng cỏch từ C đến (D ) bằng 2 lần khoảng cỏch từ B đến (D). Tỡm A, C biết C thuộc trục tung. 
Cõu 7a: Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng :
(d1) ; (d2) . Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng D nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) , (d2)
2.Theo chương trỡnh nõng cao:
 Cõu 6b: Cho D ABC cú diện tớch bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tõm G ẻ (d) 3x –y –8 =0. tỡm bỏn kinh đường trũn nội tiếp D ABC.
Cõu 7b: Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: 
(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0. 
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8.
ĐÁP ÁN Đấ̀ 2
Cõu 1: Cho hàm số y = cú đồ thị là (C)
1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số trờn.
 2) Tỡm trờn (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
 Gọi M(xo; )ẻ (C) .
	Phương trỡnh tiếp tuyến tại M: (D) y = 
	(D ) ầ TCĐ = A (2; )
	(D ) ầ TCN = B (2x0 –2; 2)
ị AB = 
ị AB min = Û 
Cõu 2: 
Giải phương trỡnh: 
 phương trỡnh Û 2(cosx–sinx)(sinx–cosx)=0 Û 
2).Giải hệ phương trỡnh: 
 (1) ị y ạ 0
	Hệ Û
	Đặt a = 2x; b = . Ta cú hệ: 
	đ Hệ đó cho cú 2 nghiệm 
Cõu 3: 
1) Tớnh tớch phõn I =
I =. 	Đặt 
ị I = 
2) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:
	 (m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) 
 Đk x ³ 0. đặt t = ; t ³ 0
trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0 Û (2) 
Xột hàm số f(t) = (t ³ 0) 
Lập bảng biến thiờn 
(1) cú nghiệm Û (2) cú nghiệm t ³ 0 Û 
Cõu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa món abc = 1. Chứng minh rằng: 
 ị 
	Tương tự, 
	Ta sẽ chứng minh: 
	Bđt(1) Û 4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) ³ 
	³ 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2)
	Ta cú: 	2a3b2 +2ab2 ³ 4a2b2; . (3)
	2(a3b2+b3a2+c3a2) ³ 2.3.=6 (do abc =1)(4)
	 a3+b3+c3 ³ 3abc =3 = 1 +2 a2b2c2	(5)
	a3 +a ³ 2a2; .	(6)
	Cụng cỏc vế của (3), (4), (5), (6), ta được (2). 
	Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Cõu 5: Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều 
cạnh a. Tớnh theo a khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC). 
Gọi M là trung điểm của BC và O là hỡnh chiếu của S lờn AM. Suy ra:
SM =AM =; và SO ^ mp(ABC)
ị d(S; BAC) = SO =	ị V(S.ABC) =
Mặt khỏc, V(S.ABC) =
 DSAC cõn tại C cú CS =CA =a; SA =ị dt(SAC) = 
Vậy d(B; SAC) = 
Phần riờng:
1.Theo chương trỡnh chuẩn:
Cõu 6a: Cho D ABC cú B(1;2), phõn giỏc trong gúc A cú phương trỡnh (D ) 2x +y –1 =0; khoảng cỏch từ C đến (D ) bằng 2 lần khoảng cỏch từ B đến (D). Tỡm A, C biết C thuộc trục tung. 
Gọi H, I lần lượt là hỡnh chiếu của B, C lờn (D).
M là đối xứng của B qua D ị M ẻ AC và M là trung điểm của AC.
(BH): x –2y + 3 =0 đ Hđ M 
BH = ịCI = ; Cẻ Oy ị C(0; y0) ị 
C(0; 7) ị A (D)đloại
(0; –5) ị A(D)đ nhận.
Cõu 7a: Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng :
(d1) ; (d2) . Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng D nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) , (d2)
(P) ầ (d1) = A(1;1;2); (P) ầ (d2) = B(3;3;2)đ (D)
2.Theo chương trỡnh nõng cao:
 Cõu 6b: Cho D ABC cú diện tớch bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tõm G ẻ (d) 3x –y –8 =0. tỡm bỏn kinh đường trũn nội tiếp D ABC.
C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ị d(C; AB) = 
ị 
Trọng tõm G ẻ (d) ị 3a –b =4 (3)
(1), (3) ị C(–2; 10) ị r = 
(2), (3) ị C(1; –1) ị 
Cõu 7b: Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: 
(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0. 
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8.
 (S) tõm I(-2;3;0), bỏn kớnh R= 
Gọi H là trung điểm của MN ị MH= 4 ị IH = d(I; d) = 
(d) qua A(0;1;-1), VTCP ị d(I; d) = 
Vậy : =3 Û m = –12( thỏa đk) 
Đấ̀ 3
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I. (2,0 điểm) Cho hàm số , với là tham số thực.
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với .
2. Xỏc định để hàm số đó cho đạt cực trị tại sao cho .
Cõu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trỡnh: .
2. Giải phương trỡnh: .
Cõu III. (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn .
Cõu IV. (1,0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều cú Tỡm biết rằng gúc giữa hai đường thẳng và bằng .
Cõu V. (1,0 điểm) Cho cỏc số thực khụng õm thoả món . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
.
B. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b).
a. Theo chương trỡnh Chuẩn:
Cõu VIa. (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giỏc cú , 
phương trỡnh cỏc đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh lần lượt là 
 và . Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc .
2. Trong khụng gian với hệ toạ độ cho hỡnh vuụng cú . Tỡm toạ độ đỉnh biết rằng đỉnh nằm trong mặt phẳng 
Cõu VIIa. (1,0 điểm) Cho tập . Từ cỏc chữ số của tập lập được bao nhiờu 
số tự nhiờn chẵn gồm 4 chữ số đụi một khỏc nhau?
b. Theo chương trỡnh Nõng cao:
Cõu VIb. 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xột elớp đi qua điểm và cú 
phương trỡnh một đường chuẩn là Viết phương trỡnh chớnh tắc của 
2. Trong khụng gian với hệ toạ độ cho cỏc điểm và mặt phẳng Tỡm toạ độ của điểm biết rằng cỏch đều cỏc điểm và mặt phẳng 
Cõu VIIb. (1,0 điểm) Khai triển và rỳt gọn biểu thức thu được đa thức . Tớnh hệ số biết rằng là số nguyờn dương thoả món
.
ĐÁP ÁN Đấ̀ 3
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I. (2,0 điểm) Cho hàm số , với là tham số thực.
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho ứng với .
Với ta có .
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên 
ã Chiều biến thiên: 
Ta có , .
Do đó:
 + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .
 + Hàm số nghịch biến trên khoảng
ã Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại và ; đạt cực tiểu tại và .
ã Giới hạn: .
ã Bảng biến thiên: 
ã Đồ thị: 
Đồ thị cắt trục tung tại điểm .
2.Xỏc định để hàm số đó cho đạt cực trị tại sao cho .
Ta có 
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại 
 phương trình có hai nghiệm pb là 
 Pt có hai nghiệm phân biệt là .
+) Theo định lý Viet ta có Khi đó
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là và 
Cõu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trỡnh: .
Điều kiện: 
Pt đã cho trở thành 
+) 
+) 
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là 
; 
2.Giải phương trỡnh: .
Điều kiện (*)
Với đk trên, pt đã cho 
Đối chiếu điều kiện (*), ta có nghiệm của pt là 
Cõu III. (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn .
Đặt . 
Khi thì t = 2, và khi x = 5 thì t = 4.
Suy ra 
Cõu IV. (1,0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều cú Tỡm biết rằng gúc giữa hai đường thẳng và bằng .
C
C’
B’
B
A’
m
D
1
1
- Kẻ 
 hoặc 
- Nếu 
 Vì lăng trụ đều nên 
áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta cóA
 và 
Kết hợp ta suy ra đều. 
Do đó 
- Nếu 
 áp dụng định lý cosin cho suy ra (loại).
Vậy 
* Chú ý: - Nếu H ... ểm)
1. Trong mặt phẳng , cho đường thẳng cú phương trỡnh: và hai điểm ; . Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc đường thẳng và đi qua hai điểm , .
Phương trỡnh đường trung trực của AB là .
Tọa độ tõm I của đường trũn là nghiệm của hệ:
.Phương trỡnh đường trũn là .
2. Trong khụng gian với hệ toạ độ , cho hai điểm , .
a. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm sao cho .
 sao cho 
Vậy quỹ tớch cỏc điểm M là mặt phẳng cú phương trỡnh .
b. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm cỏch đều hai mặt phẳng và .
.
.
 cỏch đều và 
Vậy tập hợp cỏc điểm N là hai mặt phẳng cú phương trỡnh và 
Cõu VII: (1,0 điểm)
Với là số tự nhiờn, chứng minh đẳng thức:
.
Khai triển ta cú:
Nhõn vào hai vế với , ta cú:
Lấy đạo hàm hai vế ta cú:
Thay , ta cú 
Đấ̀ 19
I. PHẦN CHUNG:
 Cõu 1( 3 điểm):
 1. Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 
 2. Chứng minh rằng với mọi giỏ trị thực của m, đường thẳng (d) 
y = - x + m luụn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phõn biệt A, B. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của đoạn AB.
 Cõu 2 (1.5 điểm):
	1. Giải hệ phương trỡnh sau: 
	2. Giải phương trỡnh: 	 
 Cõu 3 ( 2 điểm): Cho hỡnh tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AC = AD = 4; AB = 3; BC = 5. Tớnh khoảng cỏch từ A tới mặt phẳng (BCD).
Cõu 4( 1 điểm):
Tớnh tớch phõn: .
Cõu 5 ( 1 điểm): Cho cỏc số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng:
II. PHẦN RIấNG:
	1) Theo chương trỡnh chuẩn:
 Cõu 6 ( 1.5 điểm)
	1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 
	(d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 . Lập phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M(1;-1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 
 2. Giải bất phương trỡnh sau: 2C2x+1 + 3A2x < 30.
ĐÁP ÁN Đấ̀ 19
I. PHẦN CHUNG:
 Cõu 1( 3 điểm):
 1. Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 
 2. Chứng minh rằng với mọi giỏ trị thực của m, đường thẳng (d) y = - x + m luụn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phõn biệt A, B. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của đoạn AB.
Phương hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: = - x + m 
 luụn cú 2 nghiệm phõn biệt với mọi m
Ta cú A(x1; -x1 +m), B(x2; - x2 + m)
	AB = = 
Vậy gtnn của AB = khi và chỉ khi m = 2
 Cõu 2 (1.5 điểm):
	1. Giải hệ phương trỡnh sau: 
 điều kiện x>0, y>0. Khi đú hệ tương đương 
 Trừ vế theo vế hai phương trỡnh ta được: (x-y)(3xy+x+y) = 0 thay lại phương trỡnh Giải tỡm được nghiệm của hệ là: (1;1).
	2. Giải phương trỡnh: 	 
 Tập xỏc định: D = R. Đặt f(x) = 
Ta cú: 
Suy ra hàm số f(x) đồng biến trờn tập M=
Ta thấy f(-1)=0 ị x=-1 là một nghiệm của (1). Ta cú: 
Ta cú bảng biến thiờn của hàm số f(x):
x
-∞ -1 +∞ 
f’(x)
 ữỳ ữỳ ữỳ 
F(x)
 +∞
 0 3 
-∞ -3 
Từ bảng biến thiờn ta thấy f(x) = 0 Û x = -1. Vậy phương trỡnh đó cho cú duy nhất một nghiệm x = -1.
 Cỏch 2: Học sinh cú thể đặt khi đú ta được hệ giải hệ này và tỡm được nghiệm.
 Cõu 3 ( 2 điểm): Cho hỡnh tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AC = AD = 4; AB = 3; BC = 5. Tớnh khoảng cỏch từ A tới mặt phẳng (BCD).
D
A
B
M
C
H
Ta cú VABCD = 
Vậy AH.SDBC= (1)
Mà AM.BC = BA.CA từ (1) cú 
từ đú .
Cõu 4( 1 điểm): Tớnh tớch phõn: .
Ta cú = nờn 
I = = + = .
 Cõu 5 ( 1 điểm): Cho cỏc số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng:
Ta cú: (1)( vỡ x,y>0) 
Tương tự: (2), (3). Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra:
	.Đẳng thức xảy ra khi x = y = z 
II. PHẦN RIấNG:	
	1) Theo chương trỡnh chuẩn:
 Cõu 6 ( 1.5 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng 
(d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 . Lập phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M(1;-1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 
 A(a;-a-1), B(b;2b – 1)
	Từ điều kiện tỡm được A(1; - 2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
 2. Giải bất phương trỡnh sau: 2C2x+1 + 3A2x < 30.
 Điều kiện .
 Ta cú 2C2x+1 + 3A2x 0
 kết hợp với điều kiện ta được x = 2.
Đấ̀ 20
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Cõu I (2 điểm). Cho haứm số y = (1). 
1.	Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ cuỷa haứm soỏ (1)
2.	Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa ủoà thũ haứm soỏ (1), bieỏt tieỏp tuyeỏn ủoự caột truùc hoaứnh, truùc tung laàn lửụùt taùi hai ủieồm phaõn bieọt A, B vaứ tam giaực OAB caõn taùi goỏc toùa ủoọ O.
Caõu II (2,0 ủieồm)
1.	Giaỷi phửụng trỡnh .
2.	Giaỷi phửụng trỡnh : (x ẻ R)
Caõu III (1,0 ủieồm) Tớnh tớch phaõn 
Caõu IV (1,0 ủieồm). Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh thang vuoõng taùi A vaứ D; AB = AD = 2a; CD = a; goực giửừa hai maởt phaỳng (SBC) vaứ (ABCD) baống 600. Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa caùnh AD. Bieỏt hai maởt phaỳng (SBI) vaứ (SCI) cuứng vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (ABCD), tớnh theồ tớch khoỏi choựp S.ABCD theo a.
Caõu V (1,0 ủieồm). Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ thửùc dửụng x, y, z thoỷa maừn x(x+y+z) = 3yz, ta coự (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) Ê 5(y + z)3.
PHAÀN RIEÂNG (3,0 ủieồm): Thớ sinh chổ ủửụùc laứm moọt trong hai phaàn A hoaởc B
A.	Theo chửụng trỡnh Chuaồn
Caõu VI.a (2,0 ủieồm)
1.	Trong maởt phaỳng vụựi heọ toùa ủoọ Oxy cho hỡnh chửừ nhaọt ABCD coự ủieồm I (6, 2) laứ giao ủieồm cuỷa 2 ủửụứng cheựo AC vaứ BD. ẹieồm M (1; 5) thuoọc ủửụứng thaỳng AB vaứ trung ủieồm E cuỷa caùnh CD thuoọc ủửụứng thaỳng D : x + y – 5 = 0. Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng AB.
2.	Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz cho maởt phaỳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 vaứ maởt caàu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chửựng minh raống: maởt phaỳng (P) caột maởt caàu (S) theo moọt ủửụứng troứn. Xaực ủũnh toùa ủoọ taõm vaứ tớnh baựn kớnh cuỷa ủửụứng troứn ủoự.
Caõu VII.a (1,0 ủieồm). Goùi z1 vaứ z2 laứ 2 nghieọm phửực cuỷa phửụng trỡnh: z2+2z+10=0. Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực A = ẵz1ẵ2 + ẵz2ẵ2
B. Theo Chửụng trỡnh Naõng Cao
Caõu VI.b (2,0 ủieồm). 
1.	Trong maởt phaỳng vụựi heọ toùa ủoọ Oxy cho ủửụứng troứn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 vaứ ủửụứng thaỳng D : x + my – 2m + 3 = 0 vụựi m laứ tham soỏ thửùc. Goùi I laứ taõm cuỷa ủửụứng troứn (C). Tỡm m ủeồ D caột (C) taùi 2 ủieồm phaõn bieọt A vaứ B sao cho dieọn tớch DIAB lụựn nhaỏt.
2.	Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz cho maởt phaỳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 vaứ 2 ủửụứng thaỳng D1 : ; D2 : . Xaực ủũnh toùa ủoọ ủieồm M thuoọc ủửụứng thaỳng D1 sao cho khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn ủửụứng thaỳng D2 vaứ khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn maởt phaỳng (P) baống nhau.
Caõu VII.b (1,0 ủieồm)
	Gổai heọ phửụng trỡnh : (x, y ẻ R)
ĐÁP ÁN Đấ̀ 20
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Cõu I (2 điểm). Cho haứm số y = (1). x
y
-2
0
2/3
1.	Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ cuỷa haứm soỏ (1)
Suy ra hàm số giảm trờn từng khoảng xỏc định 
và khụng cú cực trị.
	TCĐ: 
+∞
+∞
-∞
y
y/
x
-∞
-
-
2. Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa ủoà thũ haứm soỏ (1), bieỏt tieỏp tuyeỏn ủoự caột truùc hoaứnh, truùc tung laàn lửụùt taùi hai ủieồm phaõn bieọt A, B vaứ tam giaực OAB caõn taùi goỏc toùa ủoọ O.
Tam giaực OAB caõn taùi O neõn tieỏp tuyeỏn song song vụựi moọt trong hai ủửụứng thaỳng y = x hoaởc y = -x. Nghúa laứ:
	f’(x0) = ±1 ị ị 
	D1 : y – 1 = -1(x + 1) Û y = -x (loaùi)
	D2 : y – 0 = -1(x + 2) Û y = -x – 2 (nhaọn)
Caõu II (2,0 ủieồm)
1.	Giaỷi phửụng trỡnh .
ĐK: , sinx ≠ 1	
 (loaùi) , k ẻ Z (nhaọn)
2.Giaỷi phửụng trỡnh : (x ẻ R)
, ủieàu kieọn :
	ẹaởt t = Û t3 = 3x – 2 Û x = vaứ 6 – 5x = 
	Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh : 
	Û Û Û t = -2. Vaọy x = -2 
Caõu III (1,0 ủieồm) Tớnh tớch phaõn 
	Đổi cận: x= 0 ị t = 0; x = ị t = 1
A
B
D
C
I
J
E
H
N
Caõu IV (1,0 ủieồm). Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh thang vuoõng taùi A vaứ D; AB = AD = 2a; CD = a; goực giửừa hai maởt phaỳng (SBC) vaứ (ABCD) baống 600. Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa caùnh AD. Bieỏt hai maởt phaỳng (SBI) vaứ (SCI) cuứng vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (ABCD), tớnh theồ tớch khoỏi choựp S.ABCD theo a.
Tửứ giaỷ thieỏt baứi toaựn ta suy ra SI thaỳng goực vụựi maởt phaỳng ABCD, goùi J laứ trung ủieồm cuỷa BC; E laứ hỡnh chieỏu cuỷa I xuoỏng BC.
 SCIJ , CJ=
ị SCIJ , 
Caõu V (1,0 ủieồm). Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ thửùc dửụng x, y, z thoỷa maừn x(x+y+z) = 3yz, ta coự (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) Ê 5(y + z)3.
x(x+y+z) = 3yz 	
Đặt .	
Ta cú
Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về
	ẹuựng do t ³ 2.
PHAÀN RIEÂNG (3,0 ủieồm): Thớ sinh chổ ủửụùc laứm moọt trong hai phaàn A hoaởc B
A.	Theo chửụng trỡnh Chuaồn
Caõu VI.a (2,0 ủieồm)
1.	Trong maởt phaỳng vụựi heọ toùa ủoọ Oxy cho hỡnh chửừ nhaọt ABCD coự ủieồm I (6, 2) laứ giao ủieồm cuỷa 2 ủửụứng cheựo AC vaứ BD. ẹieồm M (1; 5) thuoọc ủửụứng thaỳng AB vaứ trung ủieồm E cuỷa caùnh CD thuoọc ủửụứng thaỳng D : x + y – 5 = 0. Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng AB.
I (6; 2); M (1; 5)
	D : x + y – 5 = 0, E ẻ D ị E(m; 5 – m); Goùi N laứ trung ủieồm cuỷa AB
	I trung ủieồm NE ị ị N (12 – m; m – 1)
	 = (11 – m; m – 6);	 = (m – 6; 5 – m – 2) = (m – 6; 3 – m)
	 Û (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0
	Û m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 Û m = 6 hay m = 7
	+ m = 6 ị = (5; 0) ị pt AB laứ y = 5
	+ m = 7 ị = (4; 1) ị pt AB laứ x – 1 – 4(y – 5) = 0 ị x – 4y + 19 = 0
2.Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz cho maởt phaỳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 vaứ maởt caàu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chửựng minh raống: maởt phaỳng (P) caột maởt caàu (S) theo moọt ủửụứng troứn. Xaực ủũnh toùa ủoọ taõm vaứ tớnh baựn kớnh cuỷa ủửụứng troứn ủoự.
I (1; 2; 3); R = 
	d (I; (P)) = < R = 5. Vaọy (P) caột (S) theo ủửụứng troứn (C)
	Phửụng trỡnh d qua I, vuoõng goực vụựi (P) : 
	Goùi J laứ taõm, r laứ baựn kớnh ủửụứng troứn (C). J ẻ d ị J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)
	J ẻ (P) ị 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 ị t = 1
	Vaọy taõm ủửụứng troứn laứ J (3; 0; 2) 
	Baựn kớnh ủửụứng troứn r = 
Caõu VII.a (1,0 ủieồm). Goùi z1 vaứ z2 laứ 2 nghieọm phửực cuỷa phửụng trỡnh: z2+2z+10=0. Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực A = ẵz1ẵ2 + ẵz2ẵ2
D’ = -9 = 9i2 do ủoự phửụng trỡnh Û z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i
	ị A = ẵz1ẵ2 + ẵz2ẵ2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20
B. Theo Chửụng trỡnh Naõng Cao
Caõu VI.b (2,0 ủieồm). 
1.	Trong maởt phaỳng vụựi heọ toùa ủoọ Oxy cho ủửụứng troứn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 vaứ ủửụứng thaỳng D : x + my – 2m + 3 = 0 vụựi m laứ tham soỏ thửùc. Goùi I laứ taõm cuỷa ủửụứng troứn (C). Tỡm m ủeồ D caột (C) taùi 2 ủieồm phaõn bieọt A vaứ B sao cho dieọn tớch DIAB lụựn nhaỏt.
(C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 coự taõm laứ I (-2; -2); R = 
	Giaỷ sửỷ D caột (C) taùi hai ủieồm phaõn bieọt A, B. Keỷ ủửụứng cao IH cuỷa DABC, ta coự 
	SDABC = = sin
	Do ủoự SDABC lụựn nhaỏt khi vaứ chổ khi sin = 1 Û DAIB vuoõng taùi I
	Û IH = (thoỷa IH < R) Û 
	Û 1 – 8m + 16m2 = m2 + 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 
2.Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz cho maởt phaỳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 vaứ 2 ủửụứng thaỳng D1 : ; D2 : . Xaực ủũnh toùa ủoọ ủieồm M thuoọc ủửụứng thaỳng D1 sao cho khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn ủửụứng thaỳng D2 vaứ khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn maởt phaỳng (P) baống nhau.
M (-1 + t; t; -9 + 6t) ẻD1;	D2 qua A (1; 3; -1) coự veựctụ chổ phửụng = (2; 1; -2)
	 = (t – 2; t – 3; 6t – 8) ị = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t)
	Ta coự : d (M, D2) = d (M, (P)) Û 
	Û 35t2 - 88t + 53 = 0 Û t = 1 hay t = 
	Vaọy M (0; 1; -3) hay M 
Caõu VII.b (1,0 ủieồm)
	Gổai heọ phửụng trỡnh : (x, y ẻ R)
ẹieàu kieọn x, y > 0
	Û Û Û Û hay