I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=(2m-1)x-m2/x-1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x.
Trần Sĩ Tùng Trung tâm BDVH & LTĐH QUANG MINH Đề số 9 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số m x my x 2(2 1) 1 - - = - . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x= . Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: x x x22 3 cos2 sin 2 4cos 3- + = 2) Giải hệ phương trình: xyx y x y x y x y 2 2 2 2 1 ì + + =ï +í ï + = -î Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x dx x x 2 3 0 sin (sin cos ) p + ò Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, A¢M ^ (ABC), A¢M = a 3 2 (M là trung điểm cạnh BC). Tính thể tích khối đa diện ABA¢B¢C. Câu V (1 điểm): Cho các số thực x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x y y x y y x2 2 2 24 4 4 4 4+ - + + + + + + - II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): x y 2 2 1 100 25 + = . Tìm các điểm M Î (E) sao cho ·F MF 01 2 120= (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z 3 0+ = + = . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA MB MC2 3+ + uuur uuur uuur nhỏ nhất. Câu VII.a (1 điểm): Gọi a1, a2, , a11 là các hệ số trong khai triển sau: x x x a x a x a10 11 10 91 2 11( 1) ( 2) ...+ + = + + + + . Tìm hệ số a5. 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 3) ( 4) 35- + - = và điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x y z1 3 1 1 1 - - = = . Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều. Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: y x y x x y x y xy 2010 3 3 2 2 2log 2 ì æ ö = -ç ÷ïï è ø í +ï = + ïî ============================ Trần Sĩ Tùng Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) TXĐ: D = R \ {1}. Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y x= thì: m x m x x m x 2 2 2 (2 1) (*) 1 ( 1) 1 (**) ( 1) ì - - =ï ï - í -ï = ï -î Từ (**) ta có m x2 2( 1) ( 1)- = - Û x m x m2 é = ê = -ë · Với x = m, thay vào (*) ta được: m0 0= (thoả với mọi m). Vì x ¹ 1 nên m ¹ 1. · Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: m m m m m2(2 1)(2 ) (2 )(2 1)- - - = - - - Û m 24( 1) 0- = Û m 1= m = 1 Þ x = 1 (loại) Vậy với m ¹ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y x= . Câu II: 1) PT Û x x x3 1cos2 sin2 cos6 2 2 - + = Û x x5cos 2 cos6 6 pæ ö - =ç ÷ è ø Û x k x l 5 48 4 5 24 2 p p p p é = +ê ê ê = - +êë 2) xyx y x y x y x y 2 2 2 2 1 (1) (2) ì + + =ï +í ï + = -î . Điều kiện: x y 0+ > . (1) Û x y xy x y 2 1( ) 1 2 1 0 æ ö + - - - =ç ÷+è ø Û x y x y x y2 2( 1)( ) 0+ - + + + = Û x y 1 0+ - = (vì x y 0+ > nên x y x y2 2 0+ + + > ) Thay x y1= - vào (2) ta được: x x21 (1 )= - - Û x x2 2 0+ - = Û x y x y 1 ( 0) 2 ( 3) é = = ê = - =ë Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3). Câu III: Đặt t x 2 p = - Þ dt = –dx. Ta có I = t dt t t 2 3 0 cos (sin cos ) p + ò = x dx x x 2 3 0 cos (sin cos ) p + ò Þ 2I = x dx x x 2 3 0 sin (sin cos ) p + ò + x dx x x 2 3 0 cos (sin cos ) p + ò = dx x x 2 2 0 1 (sin cos ) p + ò = dx x 2 20 1 1 2 cos 4 p pæ ö-ç ÷è ø ò = x 2 0 1 tan 2 4 p pæ ö -ç ÷ è ø = 1 . Vậy: I = 1 2 . Câu IV: Vì ABB¢A¢ là hình bình hành nên ta có: C ABB C AB AV V. ' . ' '= . Mà C ABB ABC a a aV A M S 2 3 . ' 1 1 3 3. . . 3 3 2 4 8 ¢= = = Vậy, C ABB A C ABB a aV V 3 3 . ' ' . '2 2 8 4 = = = . Câu V: Ta có: P = x y x y x2 2 2 2(2 ) ( 2) 4+ - + + + + - Xét a x y b x y( ;2 ), ( , 2)= - = + rr . Ta có: a b a b+ ³ + r rr r Þ x y x y x x2 2 2 2 2 2(2 ) ( 2) 4 16 2 4+ - + + + ³ + = + Suy ra: P ³ x x22 4 4+ + - . Dấu "=" xảy ra Û a b, rr cùng hướng hay y = 0. Mặt khác, áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( )x x2 22 3 (3 1)(4 )+ £ + + Þ x x22 4 2 3+ ³ + Dấu "=" xảy ra Û x 2 3 = . Trần Sĩ Tùng Do đó: P ³ x x2 3 4+ + - ³ 2 3 4 2 3 4+ = + . Dấu "=" xảy ra Û x y2 , 0 3 = = . Vậy MinP = 2 3 4+ khi x y 2 , 0 3 = = . II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Ta có: a b10, 5= = Þ c 5 3= . Gọi M(x; y) Î (E). Ta có: MF x MF x1 2 3 310 , 10 2 2 = - = + . Ta có: ·F F MF MF MF MF F MF2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 . .cos= + - Û ( ) x x x x 2 2 2 3 3 3 3 110 3 10 10 2 10 10 2 2 2 2 2 æ ö æ ö æ öæ öæ ö = - + + - - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è ø è øè øè ø Û x = 0 (y= ± 5) Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5). 2) Gọi I là điểm thoả: IA IB IC2 3 0+ + = uur uur uur r Þ I 23 13 25; ; 6 6 6 æ ö ç ÷ è ø Ta có: T = ( ) ( ) ( )MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI MI2 3 2 3 6 6+ + = + + + + + = = uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur uuur Do đó: T nhỏ nhất Û MI uuur nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên (P). Ta tìm được: M 13 2 16; ; 9 9 9 æ ö -ç ÷ è ø . Câu VII.a: Ta có: x C x C x C x C10 0 10 1 9 9 1010 10 10 10( 1) ...+ = + + + + Þ ( )x x C C x10 5 4 610 10( 1) ( 2) ... 2 ...+ + = + + + Þ a C C5 45 10 102 672= + = . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3; 4). · Ta có: AB AC IB IC ì = í =î Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của ·BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 045 . · Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 045 . Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC. Vì IA (2;1)= uur ¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ Þ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u a(1; )=r là VTCP của d. Ta có: ( ) a aIA u a a2 2 2 2 2 2cos , 21 2 1 5 1 + + = = = + + + uur r Û a a22 2 5 1+ = + Û a a 3 1 3 é = ê = -ê ë · Với a = 3, thì u (1;3)=r Þ Phương trình đường thẳng d: x t y t 5 5 3 ì = + í = +î . Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 9 13 7 3 13 9 13 7 3 13; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö+ + - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø · Với a = 1 3 - , thì u 11; 3 æ ö = -ç ÷ è ø r Þ Phương trình đường thẳng d: x t y t 5 15 3 ì = +ï í = -ïî . Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 7 3 13 11 13 7 3 13 11 13; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö+ - - + ç ÷ ç ÷ è ø è ø · Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö+ - + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø và 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ; 2 2 2 2 æ ö æ ö- + - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø 2) Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = d M d( , ) 2= . Trần Sĩ Tùng Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = MH2 2 6 33 = Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: x y z x y z2 2 2 2 3 1 1 1 8( 2) ( 1) ( 2) 3 ì - - = =ïï í ï - + - + - = ïî . Giải hệ này ta tìm được: A B2 2 2 2 2 22 ; ;3 , 2 ; ;3 3 3 3 3 3 3 æ ö æ ö + + - - -ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Câu VII.b: y x y x x y x y xy 2010 3 3 2 2 2log 2 (1) (2) ì æ ö = -ç ÷ïï è ø í +ï = + ïî Điều kiện: xy 0> . Từ (2) ta có: x y xy x y3 3 2 2( ) 0+ = + > Þ x y0, 0> > . (1) Û x yy x 22 2010 -= Û x yx y 2.2010 2 .2010= . Xét hàm số: f(t) = tt.2010 (t > 0). Ta có: f ¢(t) = t t2010 1 0 ln2010 æ ö + >ç ÷ è ø Þ f(t) đồng biến khi t > 0 Þ f(x) = f(2y) Û x = 2y Thay x = 2y vào (2) ta được: y y 95 0 2 æ ö - =ç ÷ è ø Û y loaïi y x 0 ( ) 9 9 10 5 é = ê æ öê = =ç ÷ è øë Vậy nghiệm của hệ là: 9 9; 5 10 æ ö ç ÷ è ø . =====================
Tài liệu đính kèm: