Bộ đề thi thử Đại học, cao đẳng môn Toán - Đề số 14

Trần Sĩ Tùng 
Trường THPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH 
PHÚ YÊN 
Đề số 14 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN – Khối A 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 
x
y
x
2
2
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn 
nhất. 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: 
x
x x
x x
24 cos 2tan 2 .tan 2
4 4 tan cot
p pæ ö æ ö
- + =ç ÷ ç ÷ -è ø è ø
 2) Giải hệ phương trình: 
y
xx y
x
x y
y
2 2
2 2
3 2 1
1
4 22
ì
+ =ïï + -í
ï + + =
ïî
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 
xI dx
x
8
3
ln
1
=
+
ò 
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600. Mặt 
phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích hình chóp 
S.ABMN theo a. 
Câu V (1 điểm): Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : a b c0 1; 0 1; 0 1< £ < £ < £ . Chứng minh rằng: 
 ( )a b c
abc a b c
1 1 1 11 3
æ ö
+ + + ³ + + +ç ÷
è ø
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có ( )A 3;6- , trực tâm ( )H 2;1 , trọng tâm G 4 7;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
. 
Xác định toạ độ các đỉnh B và C. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S x y z x y z2 2 2: 2 4 8 4 0+ + - + - - = và mặt phẳng 
( ) x y z: 2 2 3 0a - + - = . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng ( )a . Viết phương trình mặt cầu (S¢) 
đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng ( )a . 
Câu VII.a (1 điểm): Một đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, 7 nam, trong đó có danh thủ nam là Vũ Mạnh Cường và danh 
thủ nữ là Ngô Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói trên. Đội tuyển quốc 
gia bao gồm 3 nữ và 4 nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển quốc gia sao cho trong đội tuyển có mặt chỉ một 
trong hai danh thủ trên. 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, cạnh BC 
song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các 
đỉnh A, B, C. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với ( ) ( ) ( )A B C3; 1; 2 , 1;5;1 , 2;3;3- - , trong 
đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D. 
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: 
x y y x
x xy x
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
+ - +ì + =ï
í
+ + = +ïî
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a 2¹ - thuộc đồ thị (C) có phương trình: 
( )
( ) ( ) ( )ay x a x a y a d
aa
2 2
2
4 2 4 2 2 0
22
= - + Û - + + =
++
 Tâm đối xứng ( )I 2;2- . Ta có ( )
( ) ( )
a a a
d I d
aa a
4 2
8 2 8 2 8 2
, 2 2
2 2 216 2 2.4. 2
+ + +
= £ = =
++ + +
 ( )d I d, lớn nhất Û ( ) aa a
2 02 4
4
é =+ = Û ê = -ë
 Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến y x= và y x 8= + . 
Câu II: 1) Điều kiện ( )x x
x x x
cos 2 0; cos 2 0 *4 4
sin 2 0; tan cot 0
p pì æ ö æ ö
- ¹ + ¹ï ç ÷ ç ÷í è ø è ø
ï ¹ - ¹î
 Để ý rằng: x x x x x xtan 2 . tan 2 tan 2 .tan 2 cot 2 .tan 2 1
4 4 4 4 4 4
p p p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
- + = - - + = - + + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
 Khi đó PT trở thành: 
x
x x x
x x
2
24 cos 21 cot tan 4 cos 2
tan cot
- = Û - =
-
 ( )x x
x xx x
2 2
2 2
1 tan 1 2 44 tan 2 1 0
tan tan 21 tan 2 1 tan 2
-
Û = Û = Û - =
+ +
 ( )x x m x k ktan 2 1 2
4 8 2
p p p
pÛ = Û = + Û = + ÎZ : Không thoả điều kiện (*). 
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
 2) Điều kiện: x y x y2 20, 0, 1 0¹ ¹ + - ¹ 
 Đặt 
x
u x y v
y
2 2 1;= + - = . Hệ PT trở thành: u v u v
u v u v
3 2 3 21 1 (1)
1 4 22 21 4 (2)
ì ìï ï+ = + =Ûí í
ï ï+ + = = -î î
 Thay (2) vào (1) ta được: 
v
v v
vv v
2
33 2 1 2 13 21 0 7
21 4
2
é =
ê+ = Û - + = Û
=ê-
ë
 · Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT: 
x y x xx yx y yx y
y
2 2
2 21 9 3 310
1 13 3
ì + - = ìï ì ì= = -+ =Û Û Úí í í í= = -= = î îîïî
 · Nếu v
7
2
= thì u = 7, ta có Hệ PT: 
y yx y x y
x
x y
y x x
2 2 2 2 2 24 41 7 8 53 537 7
2 22 14 142
53 53
ì ì
ì ì = = -+ - = ï ï+ =ï ï ï ïÛ Û Úí í í í= =ï ï ï ï= = -îî ï ïî î
 So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT. 
Câu III: Đặt 
u x dx
dudx xdv
v xx
ln
2 11
ì ì=
=ï ïÞí í=ï ï = ++ îî
( ) xI x x dx J
x
88
3
3
12 1.ln 2 6 ln8 4 ln3 2+Þ = + - = - -ò 
 · Tính 
xJ dx
x
8
3
1+
= ò . Đặt 
t tt x J tdt dt dt
t tt t
3 3 32
2 2
2 2 2
1 11 .2 2 2
1 11 1
æ ö
= + Þ = = = + -ç ÷- +- - è ø
ò ò ò 
t
t
t
8
3
12 ln 2 ln3 ln 2
1
æ ö-
= + = + -ç ÷+è ø
Trần Sĩ Tùng 
 Từ đó I 20 ln 2 6 ln3 4= - - . 
Câu IV: Kẻ SO ^ (ABCD) thì O là giao điểm của AC và BD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng 
tâm D SAC . 
 Góc giữa mặt bên (SCD) và đáy (ABCD) là ¶SJI 060= Þ DSIJ đều cạnh a Þ G cũng là trọng tâm DSIJ. 
 IG cắt SJ tại K là trung điểm của SJ; M, N là trung điểm của SC, SD. 
 ABMN
a a
IK S AB MN IK
23 1 3 3; ( )
2 2 8
= = + = ; 
a
SK ABMN SK( );
2
^ = 
 Suy ra: ABMN
a
V S SK
31 3.
3 16
= = . 
Câu V: Vì a b0 1,0 1< £ < £ nên ( )( )a b ab a b1 1 0 1 0- - ³ Þ - - + ³ a b ab1Þ ³ + -
ab a b
1 1 1 1 (1)Þ ³ + - 
 Tương tự : 
bc b c ca c a
1 1 1 1 1 11 (2), 1 (3)³ + - ³ + - 
 Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta được: 
ab bc ca a b c
1 1 1 1 1 12 3 (4)
æ ö
+ + ³ + + -ç ÷
è ø
 Sử dụng BĐT (4) và BĐT Cô–si ta có: 
 ( )a b c a b c a b c
abc ab bc ca a b c
1 1 1 1 1 1 11 2 3
æ ö æ ö
+ + + = + + + + + ³ + + + + + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 ( )a b c
a b c a b c
1 1 1 1 1 12 3
æ ö
³ + + + + + + + -ç ÷
è ø
 Cũng theo BĐT Cô–si ta có : ( )a b c
a b c
1 1 1 9
æ ö
+ + + + ³ç ÷
è ø
 Do đó: ( )a b c
abc a b c a b c
1 1 1 1 1 1 11 6 3 3
æ ö
+ + + ³ + + + - = + + +ç ÷
è ø
 (đpcm) 
 Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1. 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) Gọi I là trung điểm của BC. Ta có AG AI I
2 7 1;
3 2 2
æ ö
= Þ ç ÷
è ø
uuur uur
 Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x y– – 3 0= 
 Vì I
7 1;
2 2
æ ö
ç ÷
è ø
 là trung điểm của BC nên giả sử ( )B BB x y; thì ( )B BC x y7 ;1- - và B Bx y 3 0- - = 
 H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB^ ; ( ) ( )B B B BCH x y AB x y5 ; , 3; 6= - + = + -
uuur uuur
 ( ) ( ) ( )
B B B B
B B B B B
x y x x
CH AB
x x y y y
3 1 6. 0
5 3 6 0 2 3
ì - = ì ì= =ï= Û Û Úí í í- + + - = = - =ï î îî
uuur uuur
 Vậy ( ) ( )B C1; 2 , 6;3- hoặc ( ) ( )B C6;3 , 1; 2- 
 2) ( ) ( ) ( )S x y z 222( ) : 1 2 4 25- + + + - = có tâm ( )I 1; 2;4- và R = 5. 
 Khoảng cách từ I đến (a) là: ( )d I R, ( ) 3a = < Þ (a) và mặt cầu (S) cắt nhau. 
 Gọi J là điểm đối xứng của I qua (a). Phương trình đường thẳng IJ : 
x t
y t
z t
1 2
2
4 2
ì = +
ï = - -í
ï = +î
 Toạ độ giao điểm H của IJ và (a) thoả ( )
x t t
y t x H
z t y
x y z z
1 2 1
2 1 1; 1;2
4 2 1
2 2 3 0 2
ì ì= + = -
ï ïï ï= - - = -Û Þ - -í í= + = -ï ï
- + - = =ï ïî î
Trần Sĩ Tùng 
 Vì H là trung điểm của IJ nên ( )J 3;0;0- . 
 Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = 5 nên có phương trình: ( )S x y z2 2 2( ) : 3 25¢ + + + = 
Câu VII.a: Có 2 trường hợp xảy ra: 
 · Trường hợp 1: Đội tuyển có Vũ Mạnh Cường, không có Ngô Thu Thuỷ 
 Số cách chọn 3 nam còn lại là C36 . 
 Số cách chọn 3 nữ không có Ngô Thu Thuỷ là C39 . 
 Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là C C3 36 9. 1680= (cách) 
 · Trường hợp 2: Đội tuyển có Ngô Thu Thuỷ, không có Vũ Mạnh Cường 
 Số cách chọn 4 nam không có Vũ Mạnh Cường là C46 
 Số cách chọn 2 nữ còn lại là C29 
 Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là C C4 26 9. 540= (cách) 
 Vậy số cách chọn đội tuyển bóng bàn Quốc gia là: 1680 + 540 = 2220 (cách) 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y x= . 
 Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ : 
xx y A
y x
y
2
2 24 2 0 3 ;
2 3 3
3
ì
= -ï æ öì - - = Û Þ - -í í ç ÷=î è øï = -
î
 Vì M là trung điểm của AC nên C
8 8;
3 3
æ ö
ç ÷
è ø
 Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: 
x
y 2
4
= + 
 ( )
x y xBH BC B Bx yy
3 0 4: 4;1
12
4
ì + + =ï ì = -Ç = Û Þ -í í == + îïî
 2) Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3. 
 Gọi D là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao 
điểm của D và (S). 
 Đường thẳng D có vectơ chỉ phương ( )AB 2;6;3= -
uuur
 nên có phương trình: 
x t
y t
z t
2 2
3 6
3 3
ì = -
ï = +í
ï = +î
 Phương trình mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )S x y z2 2 2: 3 1 2 9- + + + + = 
 Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: 
( ) ( ) ( )
x t
ty t
t tz t t
x y z
2
2 2 2
2 2
13 6
49 82 33 0 333 3
493 1 2 9
ì = -
éï = -= +ï êÞ + + = Ûí = + = -êï ë- + + + + =ïî
 · Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7 
 · Với t D
33 164 51 48; ;
49 49 49 49
æ ö
= - Þ -ç ÷
è ø
 (nhận) 
Câu VII.b: 
x y y x 
x xy x 
3 1 2 3
2
2 2 3.2 (1)
3 1 1 (2)
+ - +ì + =ï
í
+ + = +ïî
 Ta có: ( ) ( )
xx x
x x y x y xx xy x 2
11 0 12 3 1 0 0 1 33 1 1
ì ³ -ì + ³ ì ³ -Û Û Ûí í í+ - = = Ú = -+ + = + îî î
Trần Sĩ Tùng 
 · Với x = 0 thay vào (1) ta được: y y y y y y2 2
8 82 2 3.2 8 2 12.2 2 log
11 11
-+ = Û + = Û = Û = 
 · Với x
y x
1
1 3
ì ³ -
í = -î
 thay y x1 – 3= vào (1) ta được : x x3 1 3 12 2 3.2 (3)+ - -+ = 
 Đặt xt 3 12 += , vì x 1³ - nên t
1
4
³ - . Khi đó: (3) : t loaïit t t
t t thoaû
21 3 2 2 ( )6 6 1 0
3 2 2 ( )
é = -+ = Û - + = Û ê
= +ë
 Suy ra: ( )x x3 1 2
12 3 2 2 log 3 2 2 1
3
+ é ù= + Û = + -ë û ; ( )y x 21 3 2 log 3 2 2= - = - + 
 Vậy Hệ PT đã cho có 2 nghiệm 
x
y 2
0
8log
11
ì =ï
í =ïî
 và 
( )
( )
x
y
2
2
1 log 3 2 2 1
3
2 log 3 2 2
ì é ù= + -ï ë ûí
ï = - +î
=====================