Bộ đề luyện thi Đại học môn Toán có lời giải - Đề 34

Câu I. (P) là parabol có phỷơng trình y = x2 - 1.
1) O là gốc tọa độ. Xác định điểm M trên (P) sao cho đoạn OM là ngắn nhất.
2) Chứng tỏ rằng nếu đoạn OM là ngắn nhất, thì đỷờng thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P).
Câu II.
1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx + 3sin2x.
2) Cho đỷờng tròn bán kính R = 1. Trên tiếp tuyến tại một điểm A của đỷờng tròn, lấy điểm T với AT = 1. Đỷờng
thẳng (d) quay quanh T cắt đỷờng tròn tại B và C. Xác định góc nhọn α giữa đỷờng thẳng (d) và tiếp tuyến AT, sao
cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Câu III.
1) Giải và biện luận theo a, b phỷơng trình a|x + 2| + a|x - 1| = b.
2) Giải hệ
x 2 = y + 1
y 2 = z + 1
z 2 = x + 1.

Câu IVa.
Đặt I(x) =
1
x
dt
t(t + 1)
∫
(x >1).
Tìm lim
x→∞
I(x).
Câu Va. Cho hai đỷờng thẳng (D1) và (D 2) có phỷơng trình tham số (D1) :
x t
y t
= −
= −


2
3
(D2):
x t
y t
= +
= +


3 1
6 3
'
'
1) Xác định giao điểm của (D1) và (D 2).
2) Tính côsin góc nhọn tạo bởi (D1) và (D 2).
Câu IVb.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a, AB = BC = CD = a. Cạnh SA = h của hình chóp
vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với SD cắt SB, SC, SD, tại B’, C’, D’.
1) Chứng minh rằng AB’C’D’ là một tứ giác nội tiếp.
2) Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’.
3) Tính diện tích tứ giác AB’C’D’.