Bộ đề luyện thi Đại học môn Toán có lời giải - Đề 23

________________________________________________________________________________
Câu I. Cho hàm số f(x) = x c xn n+ −( ) trong đó c > 0, và n là một số nguyên dỷơng lớn hơn 1.
1) Khảo sát sỷồ biến thiên của hàm số đó.
2) Tỷõ kết quả ấy, chỷỏng minh bất đẳng thỷỏc
a + b
2
a + b
2
n n n


 ≥
với a, b là hai số tùy ý thỏa mãn điều kiện a + b 
 0, còn n là số nguyên dỷơng bất kì.
Câu II.
1) Giải phỷơng trình x x+ − −34 33 3
2) Chỷỏng minh rằng từ bốn số cho trỷỳỏc luôn luôn có thể chọn ra đỷợc hai số x, y sao cho 0 
x - y
1 + xy
 1.
Câu III. Giải hệ phỷơng trình
sin . cos
.
x x
tgx tgy
=
=



1
4
3
Câu IV.
Chỷỏng minh rằng nếu các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện 2A + 3B = π, thì các cạnh tỷơng ỷỏng của nó thỏa mãn :
a + b 
5
4
c.
Câu Va.
Trong không gian với hệ tọa độ trỷồc chuẩn, cho hình hộp chỷọ nhật ABCD.A’B’C’D’, với A’(0, 0, 0), B’(a, 0, 0),
D’(0, b, 0), A(0, 0, c), trong đó a, b, c > 0. Gọi P, Q, R, S lần lỷỳồt là trung điểm các cạnh AB, B’C’, C’D’, DD’.
1) Viết phỷơng trình tham số của hai đỷờng thẳng PR, QS.
2) Xác định a, b, c để hai đỷờng thẳng PR, QS vuông góc với nhau.
3) Chỷỏng tỏ rằng hai đỷờng thẳng PR, QS cắt nhau.
4) Tính diện tích tỷỏ giác PQRS.
Câu Vb.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chỷọ nhật, và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng qua A, vuông
góc với SC, cắt SB, SC, SD theo thỷỏ tỷồ tại B’, C’, D’.
1) Chỷỏng minh rằng tỷỏ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện vuông.
2) Cho S di chuyển trên đỷờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A. Chỷỏng tỏ rằng mặt phẳng (AB’C’D’)
luôn đi qua một đỷờng thẳng cố định và 7 điểm A, B, B’, C, C’, D, D’ cùng nằm trên một mặt cầu cố định.
3) Gọi x là góc nhọn tạo bởi cạnh SC và mặt bên (SAB). Biết rằng ABCD là hình vuông, hãy tính tỉ số giữa thể tích
của hai hình chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.