Bộ đề luyện thi Đại học môn Toán có lời giải - Đề 17

________________________________________________________________________________
Câu I.
Cho hàm số
y = (x + a)
3
+ (x + b)
3
1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ỷỏng với a = 1, b = 2 - x3.
2) Trong trỷỳõng hợp tổng quát, các số a, b phải thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cỷồc đại và cỷồc tiểu?
3) Chỷỏng minh rằng với mọi a, b, phỷơng trình
(x + a)
3
+ (x + b)
3
- x
3
= 0
không thể có 3 nghiệm phân biệt.
Câu II.
Cho phỷỳng trình lỷỳồng giác
cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0.
1) Giải phỷỳng trình với m =
3
2
.
2) Tìm m để phỷơng trình có nghiệm x với x 
 (
π π
2
;
3
2
).
Câu III.
Tìm a để bất phỷơng trình sau đ ợc nghiệm đúng với mọi x :
a a a
x x. ( ).4 1 2 12+ − + −+  0.
Vu Ngoc Vinh - THPT A Nghia Hung
________________________________________________________________________________
Câu IV.
ABC là một tam giác tùy ý. Về phía ngoài của tam giác ấy, ngỷỳõi ta dỷồng các tam giác đều ABD, BCE, CAF. Chỷỏng
minh rằng các tâm các đỷỳng tròn ngoại tiếp các tam giác đều nói trên, là các đỉnh của một tam giác đều.
Câu Va. Cho elip (E) có phỷơng trình
x
9
+
y
4
2 2
= 1.
Xem các điểm A(-3, 0), M(-3, a), B(3, 0), N(3, b), trong đó a, b là hai số thay đổi.
1) Xác định các tọa độ của giao điểm I của các đỷỳõng thẳng AN và BM.
2) Chỷỏng tỏ rằng để đỷỳõng thẳng MN tiếp xúc với elip (E), điều kiện cần và đủ là a, b thỏa mãn điều kiện ab = 4.
3) Với a, b thay đổi nhỷng sao cho MN luôn tiếp xúc với (E), hãy tìm tập hợp điểm I.
Câu Vb.
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định ; gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta gọi (D) là một đỷờng thẳng bất kì,
cách đều A và B, tức là khoảng cách từ A đến (D) bằng khoảng cách từ B đến (D).
1) Chỷỏng tỏ rằng hình chiếu vuông góc M của I lên (D) nằm trên mặt phẳng trung trỷồc (P) của đoạn AB.
2) O là một điểm cố định không thuộc (P) và cũng không thuộc đỷờng thẳng AB. Chỷỏng minh rằng nếu đỷờng thẳng
(D) đi qua O, thì giao điểm của (D) với (P) nằm trên một đỷờng tròn cố định. Xác định tâm và bán kính đỷờng tròn
đó, biết OI = d, và khoảng cách từ O đến (P) là OH = h.
3) Tính thể tích tỷỏ diện OHMI theo d, h và x = OM. Tìm x để thể tích đó lớn nhất.
Vu Ngoc Vinh - THPT A Nghia Hung