Bất đẳng thức và cực trị (Chuyên đề luyện thi đại học)

www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 1 
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 
(Chuyên đề LTĐH 2011) 
 Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương 
pháp đánh giá. 
I.Sử dụng một số BĐT cơ bản: 
 Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: 
1 2; ;... ( 2)na a a n ³ ta luôn có: 
1 2
1 2
...
... ( )n n n
a a a
a a a I
n
+ + +
³ ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
1 2 ... na a a= = = . 
 BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì 1 2 1 2( ; ;... ),( ; ;... )n na a a b b b ta luôn có: 
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ( ... )( ... )( )n n n na b a b a b a a a b b b II+ + + £ + + + + + + ; dấu bằng 
xảy ra khi và chỉ 
Khi: 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
= = = . BĐT: 2 2 2 ( )a b c ab bc ca III+ + ³ + + ; dấu bằng xảy ra 
khi .a b c= = 
BĐT: 
2
1 2 1 2
1 1 1
... ( )
...n n
n
IV
a a a a a a
+ + + ³
+ + +
; trong đó 1 2, ,... na a a là các số 
dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau. 
Bài 1: Cho 0a b> > . Chứng minh: 
2 2
1 4 1
/ 3; / 3; / 2 2.
( ) ( )( 1) ( )
a a b a c a
b a b a b b b a b
+ ³ + ³ + ³
- - + -
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: 31 1( ) 3 .( ). 3
( ) ( )
b a b b a b
b a b b a b
+ - + ³ - =
- -
(đpcm). 
Dấu bằng xảy ra khi 1; 2.b a= = 
Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: 1 1 .a b b a ab- + - £ 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 2 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( 1) 11 ( 1).1 .
2 2
b ab
a b a b a
- +
- = - £ = ; tương tự ta 
cũng có: 
1
2
ab
b a - £ . Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra 
khi a = b = 2. 
Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh: 
8/ 27ab bc ca abc+ + - £ . 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2(1 )(1 )(1 )
3 3
a b c
a b c
- + - + -
- - - £ = 
1 8/ 27a b c ab bc ca abc ab bc ca abcÛ - - - + + + - = + + - £ (đpcm). Dấu 
bằng xảy ra khi 
a = b = c =1/3. 
Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh: 
3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab+ + ³ + + . 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( )43 3 3 3 3 3 264 6 6a b c a b c a bc+ + ³ = ; tương tự ta 
cũng có: 
3 3 3 2 3 3 3 24 6 ;4 6b c a b ca c a b c ab+ + ³ + + ³ cộng các vế của các BĐT này lại 
rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: 6 2 3( ) / 432x y z xy z+ + ³ . 
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức 9 3 6( ) /P x y x y= + trong đó x,y là các số dương. 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
3 6 9 9 9
9
3 6 3 6 6
( ) 9 3
3. 6. 9.
3 6 3 6 3 6 2
x y x y x y
x y P
x y
+æ ö æ ö+ = + ³ Û = ³ =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 Vậy GTNN của P bằng 9 63 / 2 khi y = 2x. 
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6 6 6 3a b c+ + = . Hãy tìm GTLN của 
biểu thức 2 2 2S a b c= + + 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
6 2 6 2 6 21 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S+ + ³ + + ³ + + ³ Þ ³ Û ³ 
 Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1. 
Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 3;0 4x y£ £ £ £ . Tìm GTLN 
của biểu thức: 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 3 
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y= - - + . 
 Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
3
(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )
2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6
3
x y x y
x y x y
- + - + +
- - + £ = 
36 6 36A AÛ £ Û £ . Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2. 
Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: 
( )( )( )P xyz x y y z z x= + + + . 
Bài 8: a,b,c là các số dương. Chứng minh: 
*( , )
m n m n m n
n n n
m m m
a b c
a b c m n N
b c a
+ + +
+ + ³ + + Î 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( ) ( ) ( )
nm n m n
n n m nm n
m m
a a
n mb m n b m n a
b b
+ +
+
æ ö
+ ³ + = +ç ÷
è ø
. 
Tương tự 
ta cũng có: ( ) ; ( )
m n m n
n n n n
m m
b c
n mc m n b n ma m n c
c a
+ +
+ ³ + + ³ + . Cộng các BĐT 
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
 Chú ý: Nếu 1m n= = thì ta được BĐT: 
2 2 2
.
a b c
a b c
b c a
+ + ³ + + 
Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: 
3 3 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ³
+ + +
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
3 3
3
3
3
( ) 2 4 ( ) 2 4 2
a b c a a b c a a
b c a b c a
+ +
+ + ³ =
+ +
. 
Tương tự ta cũng có: 
3 33 3
;
( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2
b c a b b c a b c c
c a b a b c
+ +
+ + ³ + + ³
+ +
. Cộng các vế của các BĐT 
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 6x y z+ + ³ . Tìm GTNN 
của biểu thức: 
3 3 3x y z
S
y z x z y x
= + +
+ + +
. 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 4 
Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6a b c+ + = . Tìm GTNN 
của biểu thức: 
3 3 3
1 1 1
(1 )(1 )(1 )P
a b c
= + + + . 
Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: 0x y z+ + = . Chứng minh: 
3 4 3 4 3 4 6x y zS = + + + + + ³ 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4 / 43 4 1 1 1 4 4 4 2.2x x x x+ = + + + ³ = . Tương tự 
ta cũng có: 
3/ 4 / 4 / 4 / 4 / 4 ( ) / 43 4 2.2 ; 3 4 2.2 2(2 2 2 ) 2.3 2 6y y z z x y z x y zS + ++ ³ + ³ Þ ³ + + ³ =
 (đpcm) 
 Dấu bằng xảy ra khi 0x y z= = = . 
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
1 1
x y
S
y x
= +
- -
. 
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 
2 2
2 2 2
x y
S x y xy xy
y x
+ + ³ + + + ³ 
2 2
2333. 3. 3( ) 2 2
x y
xy xy x y S S
y x
+ = + Þ ³ Û ³ . Vậy 2MinS = khi x = 
y = 1/2. 
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 3a b c+ + ³ . Tìm GTNN của 
biểu thức: 
a b c
S
b c a
= + + . 
Bài 15: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 1.a b c+ + = Chứng minh: 
3
ab bc ca
S
c a b
= + + ³ . 
Bài 16: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT: 
3
2
xy yz zx
xy z yz x zx y
+ + £
+ + +
. 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 5 
Giải: Do ( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z+ = + + + = + + nên theo BĐT (I) ta có: 
1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
æ ö
= £ +ç ÷+ + + + +è ø
. Tương tự ta cũng có: 
1
2
yz y z
yz x x y x z
æ ö
£ +ç ÷+ + +è ø
 ; 
1
2
xz x z
xz y x y y z
æ ö
£ +ç ÷+ + +è ø
 Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
1/3x y z= = = . 
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: 6x y+ ³ . Tìm GTNN của 
biểu thức: 
6 8
3 2P x y
x y
= + + + . 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
3 6 8 3 3 3 6 8 3
2. . 2. . .6
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
P
x y x y
= + + + + + ³ + + 
6 4 9 19= + + = . Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4. 
Bài 18: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 1xy xz+ = . Tìm 
GTNN của biểu thức: 
3 4 5yz xz xy
S
x y z
= + + . 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
2 3 2 4 6
yz xz yz xy xy xz
S z y x
x y x z z y
æ ö æ öæ ö= + + + + + ³ + + =ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø
2( ) 4( ) 4 8 4x z x y xz xy+ + + ³ + = . Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3. 
Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: 
4;3 6x y x y+ £ + £ . 
Tìm GTLN của biểu thức: 39. 4P x y= + . 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 2 23.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3)
3 3
P x y x y= + £ + + + 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 6 
2 3 3 9 2 3
( ) (3 ) 6 2 3 4 6 6 2 3 4. 6. 6 2 3
2 6
a x y b x y a b
- -
= + + + + + £ + + + = + + +
9 4 3= + . ( Do 
3 3& 2/ 3 (2 3 3) / 2 & (9 2 3) / 6a b a b a b+ = + = Þ = - = - ). 
 Vậy 9 4 3MaxP = + khi 1& 3x y= = . 
Bài 20: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT: 
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4a b c a b c a b c a b c
æ ö+ + £ + +ç ÷+ + + + + + è ø
. 
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 
1 1 1 1 1
2 ( ) ( ) 4a b c a b a c a b a c
æ ö= £ +ç ÷+ + + + + + +è ø
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
4 4 4 16a b a c a b c
é ùæ ö æ ö æ ö£ + + + = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øë û
. Tương tự ta cũng có: 
1
2a b c+ +
1 1 2 1
16 a b c
æ ö£ + +ç ÷
è ø
; 
1
2a b c+ +
1 1 1 2
16 a b c
æ ö£ + +ç ÷
è ø
.Cộng các vế của các 
BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
.a b c= = 
Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau: 
2 2 2 2
1 1 2 3
/ 6; / 14.a b
ab a b ab a b
+ ³ + ³
+ +
 Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2ab a b ab ab a b
+ = + + ³
+ +
 2 2 2
2 4
2 4 6
( ) 2a b ab a b
+ = + =
+ + +
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1/ 2.a b= = 
1/ 2.a b= = 
Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 3/ 2.a b c+ + £ 
Chứng minh: 
1/ 1/ 1/ 15/ 2.a b c a b c+ + + + + ³ 
Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh: 2 2 2x y z x y z+ + ³ + + . 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 7 
Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có: 
2
2 2 2 ( ) ( ).
3
x y z
x y z x y z
+ +
+ + ³ = + + 
3( ).
3
x y z
x y z xyz x y z
+ +
³ + + = + + (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
1x y z= = = . 
Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT: 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ³ + + với a,b,c là các số 
dương. 
Bài 24: Cho 0; 0a c b c> > > > . Chứng minh: ( ) ( )c b c c a c ab- + - £ . 
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ( ; ) & ( ; )c a c b c c- - ta được: 
2( ( ) ( )) ( )( )c b c c a c c a c b c c ab- + - £ + - - + = từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu 
bằng xảy ra khi 
( )ab c a b= + 
Bài 25: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: ;a x a b x y> + > + . 
Chứng minh: 
2 2 2( )x a x a
x y a b x y a b
-
+ ³
+ + - - +
 . 
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số 
; & ( ; )
x a x
x y a b x y
x y a b x y
æ ö-
+ + - -ç ÷ç ÷+ + - -è ø
 ta 
được: 
2 2
2( ) ( ) ( )
x a x
x y a b x y x a x
x y a b x y
æ ö-
+ + + + - - ³ + -ç ÷+ + - -è ø
 từ đó suy ra 
BĐT ccm. Dấu 
bằng xảy ra khi bx = ay. 
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 2 1a b c d+ + + = ; x là số thực 
bất kì. Chứng minh: 
2 2 2 2 2 2( ) ( ) (2 1)x ax b x cx d x+ + + + + £ + 
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có: 
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 )( );x ax b x x x a b+ + £ + + + + 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 8 
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 1 )( )x cx d x x x c d+ + £ + + + + Þ
2 2 2 2( ) ( )x ax b x cx d+ + + + + £ 
2 2 2 2 2 2 2 2 2(2 1)( ) (2 1)x x a b x c d x+ + + + + + = + (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
b=d=1&x=a=c. 
Bài 27: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh: 
3x y z
py qz pz qx px qy p q
+ + ³
+ + + +
. 
Giải: Theo BĐT (III) ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )( )x py qz y pz qx z px qy p q xy yz zx+ + + + + = + + + £ 
2( )( ) /3p q x y z+ + + (*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số 
; ;
x y z
py qz pz qx px qy
æ ö
ç ÷
+ + +è ø
 và 
( ( ); ( ); ( ))x py qz y pz qx z px qy+ + + ta được: 
[ ] 2( ) ( ) ( ) ( )x y z x py qz y pz qx z px qy x y z
py qz pz qx px qy
æ ö
+ + + + + + + ³ + +ç ÷+ + +è ø
Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi; 
py qz pz qx px qy+ = + = + . 
 Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau: 
 1/ 
3
2
a b c
b c a c b a
+ + ³
+ + +
 với a,b,c là các số dương bất kì. 
 2/ 2
a b c d
b c d c d a a b
+ + + ³
+ + + +
 với a,b,c,d là các số dương bất kì. 
 3/ 
2 2 2
2
a b c a b c
b c a c b a
+ +
+ + ³
+ + +
 với a,b,c là các số dương bất kì. 
 4/ 
2 2 2a b c
a b c
b c a a c b b a c
+ + ³ + +
+ - + - + -
 với a,b,c là độ dài ba cạnh của một 
tam giác. 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 9 
 5/ 3
a b c
b c a a c b b a c
+ + ³
+ - + - + -
 với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam 
giác. 
Bài 28: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 1x y u y+ = + = . Chứng 
minh: 
( ) ( ) 2u x y v x y- + + £ 
Giải: Theo BĐT (II) : 
[ ]2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2u x y v x y u v x y x y x yé ù- + + £ + - + + = + =ë û 
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi ( ) ( ).u x y v x y+ = - 
Bài 29: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 1.a b c+ + ³ Chứng minh: 
3 3 3 1
2
a b c
b c a c b a
+ + ³
+ + +
Giải: Theo BĐT (II) ta có: 
[ ]
3 3 3
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b a c c b a
b c a c b a
æ ö
+ + + + + + + ³ç ÷+ + +è ø
2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a b c a b c ab bc ca+ + ³ + + ³ + + . Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng 
minh. Dấu bằng xảy ra khi 3 /3a b c= = = . 
Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: ( 1) ( 1) ( 1) 4 /3.x x y y z z- + - + - £ 
Chứng minh: 
1 4x y z- £ + + £ . 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: 2 2 2( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) 25/12x y z- + - + - £ . Áp 
dụng BĐT (II) ta được: 
[ ]2 2 2 21.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 3 ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) 25/x y z x y zé ù- + - + - £ - + - + - £ë û
3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/ 2 5/ 2 1 4x y z x y z x y zÞ + + - £ Û - £ + + - £ Û - £ + + £
 (đpcm). 
Dấu bằng xảy ra khi 4/3x y z= = = . 
Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: 2 2 16 8 6a b a b+ + = + . Chứng minh: 
/10 4 3 40; / 7 24a a b b b a£ + £ £ 
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: 2 2( 4) ( 3) 9a b- + - = . Áp dụng BĐT (II) ta được: 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 10
[ ]2 2 2 2 24( 4) 3( 3) ( 4) ( 3) (4 3 ) 9.25 4 3 25 15a b a b a bé ù- + - £ - + - + = Û + - £ë û
15 4 3 25 15 10 4 3 40a b a bÛ - £ + - £ Û £ + £ (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = 
24/5,b = 24/3 
hoặc a = 16/5, b = 6/5. 
Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 4 2 0.x y z x z+ + - + £ Tìm GTNN 
và GTLN của biểu thức: 
2 3 2 .S x y z= + - 
Bài 33: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: 3.a b c+ + = Tìm GTNN 
của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2S a ab b c cb b a ac c= + + + + + + + + . 
Giải: Theo BĐT (II) ta có: 
2 22 2
2 2 2 24 3 1( ). 1 ( )
3 2 2 2 23
b b b b
a ab b a a a b
é ù é ùæ ö æ öæ ö æ öê ú+ + = + + + ³ + + = +ê úç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ê úè ø è øè øê úè ø ë ûë û
2 2 3( ) / 2a ab b a bÞ + + ³ + . Tương tự ta cũng có: 
2 2 3( ) / 2c cb b c b+ + ³ + ; 
2 2 3( ) / 2 3( ) 3c ca a c a S a b c+ + ³ + Þ ³ + + = . Vậy MinS = 3 khi 
3 /3a b c= = = . 
II.Sử dụng phương pháp đánh giá: 
Bài 34: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các BĐT sau: 
3 3 3 3 3 3
2 2 2
1 1 1 1
/ ;
1 1 1
/ .
2
a
a b abc c b abc a c abc abc
a b c
b
a bc b ac c ab abc
+ + £
+ + + + + +
+ +
+ + £
+ + +
Giải:a/Ta có: 
3 3 2 2( )( ) ( ) ( ) 0a b abc a b a ab b abc a b ab abc ab a b c+ + = + - + + ³ + + = + + >
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 11
3 3
1 1
( ) ( )
c
a b abc ab a b c abc a b c
Þ £ =
+ + + + + +
. Tương tự ta cũng có các 
BĐT: 
3 3 3 3
1 1
;
( ) ( )
a b
c b abc abc a b c c a abc abc a b c
£ £
+ + + + + + + +
. Cộng các vế của 
các BĐT này lại 
rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .a b c= = 
 b/ Theo BĐT (I) ta có: 
2
2
1 1
2 0
2 42
bc b c
a bc a bc
a bc abc abca bc
+
+ ³ > Þ £ = £
+
. 
Tương tự ta cũng có: 
2 2
1 1
;
4 4
a c b a
b ac abc c ab abc
+ +
£ £
+ +
. Cộng các vế của các BĐT 
này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .a b c= = 
Bài 35: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 3.x y z+ + £ Tìm GTNN 
của biểu thức: 
1 1 1
.
1 1 1
P
xy zy zx
= + +
+ + +
Bài 36: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2. Chứng minh: 
1.
2 2 2
ab cb ac
S
c a b
= + + £
- - -
Bài 37: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/ 1/ 1/ 3.a b c+ + = Tìm GTLN 
của biểu thức: 
3 3 3 3 3 3 .
ab cb ac
S
a b c b a c
= + +
+ + +
Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích bằng 8. Tìm GTNN của biểu thức: 
2 2 2
2 2 2log 1 log 1 log 1.S x y z= + + + + + 
Giải: Ta có: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(log 1) (log 1) (log 1) 1
( log 1 log 1 log 1)
2 2 2 2
x x x
S x y z
+ + +
³ + + = + + + + +
2
1 6
3 log 3 2.
2 2
xyz³ + = = Vậy 3 2MinS = khi 2.x y z= = = 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 12
 Bài 39: Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
4 4 4 .S x y z xyz= + + - 
Giải: Theo BĐT (II) ta có: 
2
4 4 4 2 2 2 2 21 1 1 1( ) ( )
3 3 3 27
x y z x y z x y zé ù+ + ³ + + ³ + + =ê úë û
. Áp dụng 
BĐT (I) ta được: 
4 4 4
4 4 4
4
3 1 1 1/ 27 3
.4
4 4 3 4.27 4 4 3
xyzx y z
S x y z xyz
+ + æ ö= + + + + - - ³ +ç ÷
è ø
1
0.
4.27
xyz xyz xyz- - = - ³ Vậy 0MinS = khi 1/3.x y z= = = 
Bài 40: Cho 3 số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN của biểuthức: 
2 2 2
2 2 2
.
2 2 2
x y z
S
x yz y yx z yx
= + +
+ + +
Bài 41: Cho 3 số dương x,y,z bất kì. Chứng 
minh:
4 6 4 6 4 6 4 4 4
2 2 2 1 1 1
.
x y z
S
y z z x x y x y z
= + + £ + +
+ + +
III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị bằng phương pháp đổi biến: 
Bài 42: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: .ab bc ca abc+ + = Chứng 
minh BĐT: 
2 2 2 2 2 22 2 2
3
b a c b a c
S
ab cb ac
+ + +
= + + ³ . 
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: 1x y z+ + = và BĐT trở 
thành: 
2 2 2 2 2 22 2 2 3S x y y z z x= + + + + + ³ . Theo BĐT (II) ta có: 
2 2 2( 2 ) /3 ( 2 ) /3 ( 2 ) /3 3( ) / 3 3S x y y z z x x y z³ + + + + + = + + = 
(đpcm). 
Dấu bằng xảy ra khi 1/3x y z= = = hay 3.a b c= = = 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 13
Bài 43: Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT: 
3 3 3
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2
S
x y z y x z z y x
= + + ³
+ + +
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: 1abc = và BĐT trở thành: 
2 2 2 3
2
a b c
S
b c a c b a
= + + ³
+ + +
.Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có 
ngay:
2( ) 3
2( ) 2 2
a b c a b c
S
a b c
+ + + +
³ = ³
+ +
Dấu bằng xảy ra khi 1a b c= = = hay 1.x y z= = = 
Bài 44: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/ 1/ 1/ 1.x y z+ + = Chứng 
minh BĐT: 
x yz y xz z yx xyz x y z+ + + + + ³ + + + . 
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: 1a b c+ + = và BĐT trở 
thành: 
1a bc b ac c ab ab bc ca+ + + + + ³ + + + . Ta có: 
2 2( ) 2 ( )a bc a a b c bc a a bc bc a bc a bc+ = + + + ³ + + = + = + . 
Tương tự ta cũng có: ;b ac b ac c ab c ab+ ³ + + ³ + . Cộng các BĐT này 
lại ta sẽ được BĐT ccm. 
Dấu bằng xảy ra khi 1/3a b c= = = hay 3.x y z= = = 
Bài 45: Cho hai số thực x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 22x y x y y x+ = + . 
Tìm GTNN và 
GTLN của biểu thức: 2 / 1/ .S x y= + 
Giải: Đặt 1/ & 1/u x v y= = thì điều kiện trở thành: 
2 2 2 22 ( 1/ 2) ( 1) 5/ 4u v u v u v+ = + Û - + - = . Theo BĐT (II) ta có: 
[ ]22 2 2 2 2( 2) 2( 1/ 2) 1 (2 1 ) ( 1/ 2) ( 1) 25/ 4 5/ 2 2 5/ 2S u v u v Sé ù- = - + - £ + - + - £ Þ - £ - £ë û
0,5 4,5SÞ- £ £ . Vậy MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2. MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3. 
Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: 20 & 12.y x x y£ + = + Tìm 
GTNN và GTLN 
của biểu thức: 2 17.A xy x y= + + + 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: 2 12 0 4 3y x x x= + - £ Þ - £ £ ; 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 14
đồng thời 3 2( ) 3 9 7A f x x x x= = + - - 
 Từ BBT của hàm số ta suy ra: 
( ) ( 3) (3) 20MaxA Maxf x f f= = - = =
 [ ]4;3- 
( ) (1) 12MinA Minf x f= = = - 
 [ ]4;3- 
 Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: 2 2 1x y+ = . Tìm GTNN của 
biểu thức: 
( 1)(1 1/ ) ( 1)(1 1/ )S x y y x= + + + + + 
Bài 48: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 2 2 1x y+ = . Tìm GTNN và 
GTLN 
của biểu thức: 
2
2
4 2 1
2 2 3
x xy
T
xy y
+ -
=
- +
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: 
2 2
2 2
3 2
3 2
x xy y
T
x xy y
+ -
=
+ +
. Nếu 20 1 1.y x T= Þ = Þ = 
Nếu 0y ¹ đặt 
2
2
2
3 2 1
/ (3 3) 2( 1) 1 0(*)
3 2 1
t t
t x y T T t T t T
t t
+ -
= Þ = Û - + - + + =
+ +
. (*) không có 
nghiệm khi T=1 
Với 1,(*)T ¹ có ' ( 1)( 2 4) 0T TD = - - - ³ khi 2 1T- £ < . Kết hợp với trên ta có: 
MinT=-2 khi 10 /10; 3 10 /10x y= ± = m . MaxT=1 khi 1x = ± và y = 0. 
Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: 5/ 4x y+ = . Tìm GTNN của 
biểu thức: 
4 / 1/ 4 .S x y= + 
Bài 50: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu 
thức: 
2008 20081 1S x y= + + + . 
x -4 -3 1 3 
f’(x) + 0 - 0 + 
f(x) 
 20 20 
13 -12 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 15
Giải: Ta có: 
2007 2007
2008 2008
2008 2008
1004 1004(1 )
( ) 1 1 (1 ) . '( )
1 1 (1 )
x x
S f x x x f x
x x
-
= = + + + - = -
+ + -
2007 2008 2007 2008 4014 2008'( ) 0 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 )f x x x x x x xé ù= Û + - = - + Û + - =ë û
4014 2008 4014 4014 2008 2008 2006 2006(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 0x x x x x x x xé ù é ù- + Û - - + - - - =ë û ë û
2008 2008
1 2(2 1) ( ) (1 ) (2 1) ( ) 0 2 1 0 1/ 2x P x x x x P x x xÛ - + - - = Û - = Û = . 
( Vì x và 1 x- không đồng thời bằng 0 nên 1 2( ) 0; ( ) 0P x P x> > ) 
 Do 
2008 2008(0) (1) 1 2; (1/ 2) 2 1 1/ 2 1 2; 2 1 1/ 2f f f MaxS MinS= = + = + Þ = + = +