Bất đẳng thức, min, max và chứng minh phương trình có nghiệm

Bất đẳng thức, min, max và Chứng minh
 phương trình có nghiệm
1. Với a, b, c là các số thực dương. CMR
	đ Xét dấu bằng hoặc dùng BĐT Bunhiacopxki(BNA)
2. Với a, b, c là các số dương. CMR 
	đ Chọn x, y, z sao cho 
3. CMR với các số dương a, b, c thì
	đ Căn cứ bậc tử 3, bậc mẫu 2 ta tìm x, y: 
4. Cho các số dương a, b, c. CMR 
 	đ Xét dấu bằng và áp dụng Côsi
5. Cho các số dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 27. CMR
a3 + b3 + c3 ³ 81
	 đ Từ gt và kluận gợi ý ta áp dụng BĐT Côsi cho 3 số a3, a3 và 
 hằng số k.
6. [CĐ ABD_08] 
 Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn x2 + y2 = 2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
P = 2(x3 + y3) -3xy
	đ Đặt x + y = t, Do S2 ³ 4P nên t ẻ [-2, 2]
 7*. Cho các số thực dương a và b thoả mãn ab + a + b = 3. CMR
	đ Sdụng gt theo nhiều hướng và BĐT 
8. Cho x, y là các số thực dương thay đổi thoả mãn x + y ³ 1. Tìm GTNN của
	đ CM 4(x3 + y3) ³ 1, minP = -3
9. Cho các số thực dương x, y, z, t. CMR 
	đ Dự đoán CT với a, b, c ẻ N*
10. Với a ạ 0, 2a + 3b+ 6c = 0.
 CMR PT ax2 + bx + c = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc [0, 2/3]
11. Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Tìm GTLN của biểu thức
	đ CM x3 + y3 + 1 ³ xy(x + y + z), maxP = 1
12. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3. Tìm min
	đ Côsi, bc Ê (b2 + c2)/2
13. Cho x, y, z ẻ [1,3]. CMR 
	đ Từ (x - 1)(x - 3) Ê 0 đ . AD Côsi có ĐPCM
14. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1. CMR 
	 đ gợi ý cho ta CM 
15. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức
	đ 1 – a = b + c và tách phân thức
16. CMR với mọi x, y ạ 0.
	đ Đặt ẩn phụ hoặc dùng Côsi, nhưng chú ý chỉ có ĐK x, y ạ 0
17.[ĐH_B07]
	Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức
	đ Có nhiều cách áp dụng Côsi, MinP = 9/2
18.[ĐH_D07]
	Cho a ³ b > 0. CMR 
	đ lấy loganêpe hai vế và dùng tính đơn điệu
19.[ĐH_A05]
	Cho x, y, z là các số dương thoả mãn . CMR 
	 đ AD BĐT để tách các pthức
20.[ĐH_B05] CMR với mọi x ẻ R ta có 
	đ Dùng BĐT Côsi quay vòng
21.[ĐH_D05]
	Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. CMR
22. Xác định m để PT sau có nghiệm
	đ Đặt t = , t ẻ [0, ]. ĐS m ẻ [-1, 1]
23.[ĐH_D04]
	CM phương trình sau có đúng một nghiệm x5 – x2 – 2x – 1 = 0
25.[ĐH_A03]
	Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x + y + z Ê 1. CMR
	đ Sử dụng BĐT vectơ và xét dấu bằng trong BĐT Côsi
26. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = 1. CMR
	đ áp dụng Côsi, chú ý dấu bằng xảy ra
27. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3/4. CMR
	Dấu bằng xảy ra khi nào.
	đ Dùng Côsi cho mỗi căn, chú ý dấu bằng xảy ra
28. Cho x, y, z thoả mãn x + y + z = 0. CMR
	Khi nào đẳng thức xảy ra.
29.[ĐH Y Dược_99] CMR với mọi abc ạ 0
	đ Dùng Côsi nhưng lưu ý tới điều kiện của a, b, c đ dùng 
30. CMR với mọi abc ạ 0.
	đ Dùng Bunhia hoặc Côsi quay vòng
31.[ĐH Y Dược TPHCM_98]
	Cho a, b ³ 1. CMR 
	đ Dùng Bunhia để loại bỏ dấu căn
32.[ĐHNT_95]
	Cho x, y ³ 0 và x3 + y3 = 2. CMR x2 + y2 Ê 2.
	đ Bunhia
33. Tìm min max của U = x + 3y, biết x2 + xy + 4y2 = 3
	đ Bunhia
34. CMR mọi nghiệm của BPT cũng là nghiệm của BPT
35.[ĐHBKHN_90]
	CMR với mọi x, y, z > 0, ta có 
36.[ĐHBKHN_94]
	Cho x + y = 1. CMR x4 + y4 ³ 1/8.
37. Tìm max của y = sinmx.cosnx với 0 Ê x Ê p/2, 2Ê m, n ẻ Z
	đ Bình phương,dùng Côsi để áp dụng được CT sin2x+cos2x =1
38.[ĐHBKHN_A00] CMR 	
	đ Biến đổi tương đương hoặc biến đổi và dùng Côsi
39.[ĐHXD_97]
	Cho sinx + siny + sinz = 0. Tìm min, max của P = sin2x + sin4y + sin6z
	đ Dùng PP so sánh. ĐS: minP = 0, maxP = 2
40.[ĐH Kiến Trúc HN_98] CMR với mọi x > 0.
	đ Dùng đạo hàm hai lần
41.[ĐHHH TPHCM_99]
	Cho x, y, z ³ 0, x + y + z Ê 3. CMR 
	đ Sdụng và Côsi
42.[ĐHGT TPHCM_99]
	Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất 
	đ x là nghiệm thì -x cũng là nghiệm. ĐS: a = 3
43.[HVCNBCVT_99]
	Tìm m để PT sau có nghiệm 
	đ PT m = f(x)g(x). CM được f đbiến, g đbiến đ f(x)g(x) đb/[0, 4]
44.[HVNHHN_98] Tìm min của hàm số 
	đ Côsi, miny = 2
45.[HVNH TPHCM_98] Tìm min max của hàm số 
	đ Dùng TGT, miny = 5/2, maxy = 7
46.[HVNHHN_A00]
	Cho a, b, c ẻ R và a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c ³ 2a + 2b + 2c 
	đ áp dụng Côsi cho ba số 8a, 1 và 1
47.[ĐHNTHN_95]
	Cho x, y > 0, x + y Ê 1. Tìm min 
	đ Tách, nhóm và dùng Côsi
48.[ĐHNTHN_96]
	Cho a, b, c > 0. CMR 
	đ Sdụng và Côsi
49.[ĐHNTHN_96]
	Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm max của biểu thức
	đ maxP = 3/4
50.[ĐHKTQDHN_96]
	Cho a, b ³ 0. CMR 3a3 + 17b3 ³ 18ab2
51.[ĐHTMHN_96]
	CMR tan6A + tan6B + tan6C ³ 81, với mọi tam giác ABC nhọn.
	đ Sdụng tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC và Côsi
52.[HVQHQT_96]
	Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1. CMR 
	đ Adụng Côsi ta cm cho 5 số , y, y, y, y
53.[HVQHQT_97]
	Cho x2 + y2 + z2 = 1. Tìm min, max của P = x + y + z + xy + yz + zx
	đ minP = -1, maxP = 1 + 
54.[HVQHQT_99]
	Cho x, y ³ 0, x + y = 1. Tìm min, max của 
	đ Đặt t = xy, t ẻ [0, 1/4]
55.[ĐHLHN_99]
	Tìm min, max của y = sin20x + cos20x.
	đ Bổ sung các hằng số để sdụng Côsi, chú ý dấu bằng và hđthức 
 sin2x + cos2x = 1. ĐS: maxy = 1, miny = 1/29.
56.[ĐH Nông Nghiệp HN_A00]
	Cho a, b, c > 0, abc = 1. Tìm min 
	đ Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c, minP = 3/2 
57.[ĐHQGHN_D99] CMR với mọi a, b, c > 0 ta có
	đ cm 
58.[ĐHLHN_95]
	Cho a, b, c, d > 0 thoả mãn . CMR abcd Ê 
	đ (Côsi) và các BĐT tương tự
59.[ĐHAN_G98]
	CMR với mọi x, y, z ẻ [0, 2], ta có 2(x + y +z) – (xy + yz +zx) Ê 4
	đTừ gt có (x - 2)(y - 2)(z - 2) Ê 0
60.[ĐHQGHN_B95]
	Cho a, b > 0. CMR 	
61. Cho a, b, c ³ 0 thoả mãn a2009 + b2009 + c2009 = 3. Tìm max của P = a4 + b4 + c4
	đ Dùng Côsi cho 2005 số 1 và 4 số a2009, maxP = 3
62. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. CMR
	đ xy + z = xy + z(x + y + z) = (x + z)(y + z) và Côsi
63. Tìm min, max của 
	đ Đặt t và xét hàm f(t) = 5t3 – 9t2 + 4, -10 Ê f (t)Ê 4, 0 Ê A Ê 10
64.[ĐHQGHN_D98]
	CMR với mọi x, y > 0 ta có 
65.[ĐH Duy Tân 99]
	Cho với x, y > 0. CMR 
	đ