Bất đẳng thức liên quan đến mũ và logarit (phần 2)

Sử dụng đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit 
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : 
a) 
b) 
Giải :
a) Xét hàm số f(x)= ex-x-1 , x thuộc R
f’(x) =ex-1 , f’(x)=0ó ex-1=0 ó x=0 
x ex f’(x) f(x)>f(0)=0
x0=> ex1=> f’(x) 0=>f(x) f(0)=0
Với mọi x thuộc R , ta có ex-x-10 => đpcm
b) Xét hàm số f(x)=ln(x+1)-x , x>0
f(x)<f(0)=0 
, (đpcm)
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : 
a) 
b) 
Giải : 
a) Xét hàm số 
o. 0 f(x)>f(1)=0 => => => 
o. x>1 => f(x) => 
=> (đpcm)
b) Xét hàm số =lnx-ln(x-1)-4x 
Hàm số nghịch biến trên (1,+oo) 
f(a)>f(b) , Va,b , 1<a<b
, Va,b , 1<a<b
, Va,b , 1<a<b
, Va,b , 1<a<b (đpcm) 
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : 
a) ab<ba , a,b 0<a<b<1 
b) 
Giải :
a) Xét hàm số f(x)= , x thuộc (0,1) 
f’(x) = > 0 , x thuộc (0,1) => hàm số đồng biến trên khoảng (0,1) 
f(a)<f(b) , a,b 0<a<b<1
a,b 0<a<b<1
a,b 0<a<b<1
a,b 0<a<b<1
Đpcm
b) Xét hàm số 
Xét g(x)=xlnx, x>1 
 g’(x)=1+lnx>0 , x>1=> g(4x) f’(x)0
f(a) f(b), 
 (đpcm)
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng 
a) 
b) 
Giải :
a) Xét hàm số : 
f(x)>f(0)=0
đpcm
 b) Xét hàm số f(x)= 
f’(x)= 
f’(x)=0 ó x=5
o. 1 f’(x)>0
o. x>5=> f’(x)<0 
=> f(x) f(5)=2ln2-2 đpcm
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng :
a) 
b) 
Giải : 
a) Xét hàm số f(x)= 
 f’(x) =
f’(x)=0ó x=0
o. x f’(x)<0 
o. x>0=> f’(x)>0
=> f(x) f(0)=0
=> đpcm
b) Xét hàm số , f(0)= 
 =
 Đặt ,
=> g(x) nghịch biến (0,+oo) , 
=> g(x)>0 , x>0
=> f’(x)>0, x>0
=> f(c)>f(0) , c>0
=> đpcm