Bất đẳng thức Karamata và ứng dụng

Bất đẳng thức Karamata và ứng dụng
 Lê Hồ Quý
(GV. Trường THPT Duy Tân – Kon Tum)
A. MỞ ĐẦU
Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của giải tích và đại số. Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũng đòi hỏi giải quyết các vấn đề về ước lượng, cực trị và tối ưu,  Các học sinh và sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này.
Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, 
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng.
Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. Có nhiều ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số hướng ứng dụng theo các dạng toán cũng như phương pháp giải điển hình. Với đề tài “ Bất đẳng thức Karamata và ứng dụng”, tập tiểu luận này xin tóm tắt các kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm, khả vi và bất đẳng thức Karamata, từ đó đi sâu nghiên cứu một số bài tập liên quan đến bất đẳng thức Karamata.
Bài viết này gồm phần Mở đầu, Nội dung và được chia làm ba chương đề cập các vấn đề sau đây
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi, lõm, khả vi.
Chương 2 trình bày bất đẳng thức Karamata và các hệ quả của nó.
Chương 3 trình bày một số ứng dụng của bất đẳng thức Karamata.
B. NỘI DUNG
Chương 1 
Hàm lồi, lõm, khả vi
Ta ký hiệu là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợp sau: , , và 
1.1. Định nghĩa. Hàm số được gọi là lồi trên tập nếu với mọi và với mọi cặp số dương có tổng ta đều có 
	(1)
Nếu dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi và chỉ khi thì ta nói hàm số là hàm lồi thực sự (chặt) trên 	
	Hàm số được gọi là lõm trên tập nếu với mọi và với mọi cặp số dương có tổng ta đều có 
	(2)
Nếu dấu đẳng thức trong (2) xảy ra khi và chỉ khi thì ta nói hàm số là hàm lõm thực sự (chặt) trên 
1.2. Định lí1. Nếu khả vi bậc hai trên thì lồi (lõm) trên khi và chỉ khi trên 
1.3. Biểu diễn hàm lồi và lõm
Nếu lồi khả vi trên thì với mọi cặp ta đều có
	 	(3)
Dễ nhận thấy rằng (3) xảy ra đẳng thức khi Vậy ta có thể viết (3) dưới dạng
Nếu lõm khả vi trên thì với mọi cặp ta đều có
	 	(4)
Dễ nhận thấy rằng (4) xảy ra đẳng thức khi Vậy ta có thể viết (4) dưới dạng
1Định lí 1 được phát biểu theo các tài liệu nước ngoài, còn ở Việt nam khái niệm hàm lồi, lõm được phát biểu ngược lại. 
Chương 2 
Bất đẳng thức Karamata
2.1. Định lí Karamata
Trong mục này ta đặc biệt quan tâm đến dạng bất đẳng thức sau (thường được gọi là Bất đẳng thức Karamata) có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Định lí 2.1 (Bất đẳng thức Karamata). Cho hai dãy số thỏa mãn các điều kiện
và 
	(5)
Khi đó, ứng với mọi hàm lồi thực sự trên , ta đều có
	(6)
Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi chiều dấu bất đẳng thức.	
Chứng minh. Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi
	(7)
Không mất tính tổng quát, ta giả thiết bộ số cũng là một bộ số giảm, tức là
Khi đó, để chứng minh (7), ta chỉ cần chứng minh rằng
	(8)
Sử dụng biến đổi Abel
	(9)
với 
Vì rằng nên Mặt khác, do và ta thu được ngay (8).
2.2. Các hệ quả
Hệ quả 2.2 (Bất đẳng thức Jensen). Với mọi hàm lồi trên và với mọi ta luôn có bất đẳng thức 
Chứng minh. Do tính chất đối xứng, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 
Khi đó, ta có
trong đó 
Theo bất đẳng thức Karamata, ta có 
Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức T. Popoviciu). Với mọi hàm lồi trên và với mọi ta đều có bất đẳng thức
Chứng minh. Ta coi Khi đó sẽ xảy ra một trong hai khả năng:
hoặc
Ta chỉ cần xét trường hợp là đủ.
Khi đó dễ dàng kiểm tra
	 	(10)
	(11)
và
Ta thu được dãy (10) gần đều hơn (11). Theo bất đẳng thức Karamata, ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức Vasile Cirtoaje). Với mọi hàm lồi trên và ta luôn có bất đẳng thức sau
trong đó với mọi 
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta coi và Khi đó tồn tại số tự nhiên sao cho m và
trong đó Ta cũng có
Dễ thấy rằng điều cần chứng minh được suy ra từ hai bất đẳng thức sau
	(12)
	(13)
Để chứng minh (12), ta áp dụng bất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi
trong đó
Vậy ta chỉ còn chứng minh rằng
Vì
và 
ta thấy ngay xa đều hơn Vậy bất đẳng thức (12) được suy ngay từ bất đẳng thức Karamata.
	Bất đẳng thức (13) được chứng minh tương tự bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen quen biết
ứng dụng cho
trong đó
Bất đẳng thức cuối cùng này suy được ngay từ bất đẳng thưc Karamata, vì rằng 
và và xa đều hơn 
Chương 3
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Karamata 
Ở phần tiếp theo, chúng tôi xin trình bày một số áp dụng của bất đẳng thức Karamata và các hệ quả của nó.
«Thí dụ 1. Cho số thực dương thỏa mãn các điều kiện 
Chứng minh rằng
Giải. Đặt Với các điều kiện đã cho, ta có
Xét hàm số với Ta có nên hàm số lồi trên khoảng Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có
	 hay 
«Thí dụ 2 (Đề thi kết thúc học phần cao học, chuyên đề bất đẳng thức, ĐH Đà Nẵng). Cho
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Giải. Từ giả thiết, ta có
Xét hàm số ta có nên hàm số lồi thực sự trên Do đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có
hay 
	Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy
	 đạt được khi 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy2 cho hai bộ số và , ta có
hay 
	 Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy
	 đạt được khi 
«Thí dụ 3. Cho là tam giác nhọn. Chứng minh rằng
Giải. Không mất tính tổng quát, ta coi Khi đó 
Vì và nên 
2Với mọi bộ số , ta luôn có bất đẳng thức sau
	(14)
	Dấu đẳng thức trong (14) xảy ra khi và chỉ hai bộ số và tỉ lệ với nhau, , tức tồn tại cặp số thức không đồng thời bằng 0, sao cho
Theo tài tiệu nước ngoài, bất đẳng thức (14) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy. Tại Việt Nam và một số nước Đông Âu, bất đẳng thức này được mang tên là “Bất đẳng thức Bunhia-covski”, “Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski” hoặc “Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz”. Các bất đẳng thức giữa các trị trung bình cộng và nhân thì được gọi là bất đẳng thức Cauchy.	
Xét hàm số với Ta có nên hàm số lõm trên đoạn Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có
hay
«Thí dụ 4. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC không nhọn, ta luôn có
Giải. Không mất tính tổng quát, ta coi Khi đó
hay 
Xét hàm số với Ta có với nên hàm số lồi trên khoảng Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata, ta được
Để ý rằng nên 
Vậy
«Thí dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, ta luôn có bất đẳng thức
Giải. Không mất tính tổng quát, ta coi tức là dãy số là dãy giảm. 
Khi đó, ta có 
Xét hàm số với Ta có nên hàm số lồi trên khoảng Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh.
«Thí dụ 6 (IMO 2000). Cho các số dương thỏa mãn điều kiện 
 Chứng minh rằng
Giải. Vì nên ta đặt với 
Ta viết bất đẳng thức đã cho theo 
Để ý rằng do đó trong ba số không thể có trường hợp hai số cùng âm. Nếu trong ba số trên có một hoặc ba số âm, hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Trường hợp cả ba số đó đều dương, bằng cách lấy lôgarit hai vế với cơ số e, ta được
Không mất tính tổng quát, ta coi Khi đó, ta có 
Xét hàm số với Ta có nên hàm số lõm trên khoảng Khi đó theo bất đẳng thức Karamata, ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay 
«Thí dụ 7. Cho là các số thực không âm. Chứng minh rằng 
Giải. Giả sử Giữa các số thì là số lớn nhất, là số nhỏ nhất. Ta có
hoặc 
Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata cho hàm số (đây là hàm lõm trên ) 
«Thí dụ 8 (Áo 2000). Cho và số nguyên Chứng minh 
Đẳng thức xảy ra khi nào ? 
Giải. Ta xét các trường hợp
· Trường hợp 1. Khi hàm số lồi trên khoảng Vậy theo bất đẳng thức Jensen, ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc hoặc 
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi hoặc 
· Trường hợp 2. Khi ta đặt Khi đó, ta có
	Bất đẳng thức cuối được suy ra ngay từ bất đẳng thức Jensen ứng với hàm số (đây là hàm lồi trên khoảng (0, + ¥)) với và Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay tức là xảy ra khi và chỉ khi hay Đến đây bất đẳng thức hoàn toàn được chứng minh.
«Thí dụ 9. Chứng minh rằng nếu là các số dương thỏa mãn điều kiện thì ta có
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Vasile Cirtoaje đối với hàm lồi với ta nhận được
trong đó với mọi Theo điều kiện bất đẳng thức ở trên trở thành 
	 (*)
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
nghĩa là
Từ bất đẳng thức này, với ta có
	Nhân bất đẳng thức này với bất đẳng thắc (*), ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Cuối cùng là một số bài tập dành cho bạn đọc
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC nhọn, ta luôn có
Bài 2. Chứng minh rằng nếu là các số thực dương thì 
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số thuộc khoảng ta luôn có bất đẳng thức
Bài 4 (APMO 1996). Cho là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 5 (IMO 1999). Cho là một số nguyên dương cố định, . Hãy tìm hằng số bé nhất sao cho
với mọi số thực không âm 
Bài 6 (Iran 2008). Cho và Chứng minh rằng 
Bài 7. Giả sử là các số dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng nếu thì ta có
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức: Định lí và áp dụng, NXB Giáo dục.
[2] Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G., 1999, Bất đẳng thức, NXB ĐHQGHN.
[3] Z. Kadelburg., D. Đukié., M. Lukié., I. Matié., 2005, Inequalities of Karamata, Schur 
 and Muirhead, and some appilications, The teaching of mathematics, Vol. VIII.
[4] Phạm Kim Hùng, 2006, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức.
[5] Ngô Thế Phiệt, 2007, Một số phương pháp mới trong chứng minh bất đẳng thức, NXB 
 Giáo dục.
[6] Nguyễn Cửu Huy, 2009, Bất đẳng thức, NXB Giáo dục.