Bất đẳng thức Cô-Si - Gv: Phạm Văn Minh

Bất đẳng thức côsi:
Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm a,b:
 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a=b.
Bất đẳng thức côsi cho ba số không âm a,b,c:
 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a= b= c.
Bất đẳng thức côsi cho n số thực không âm: a1,a2,...,an :
 .
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a1= a2=...= an .
BÀI TẬP:
Bài 1: (THTT số 339)
 a) Cho a>c, b>c, c >0, chứng minh:
 b) Cho a>0,b>0. Chứng minh:
Hướng dẫn:
 a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai cặp số: và.
 b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương .
Bài 2:
 Chứng minh bất đẳng thức: (THTT số 336)
 .Trong đó a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2+b2=1.
Hướng dẫn:
 .
 Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương =>(đpcm).
Bài 3:(TS 2005):
 Cho x,y,z là các số dương thoả mãn: . 
 Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn:
 - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai cặp số: x,x,y,z và .
 -Tương tự đối với .
Bài tập tương tự:
 - Cho 4 số thực dương: a1,a2,a3,a4 thoả mãn . Chứng minh 
 - Cho 3 số thực dương: a1,a2,a3 thoả mãn . Chứng minh: 
Bài 4:
 Cho các số dương x,y,z thoả mãn: x.y.z=1. Chứng minh rằng:
 .Khi nào đẳng thức xảy ra?
Hướng dẫn:
 -Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dương 1,x3,y3 .Tương tự cho ba số:1,y3,z3 và 1,t3,x3.
 -Tiếp tục áp dụng BĐT cho ba số dương:.=> (Đpcm).
Bài 5:
 Chứng minh , ta có:
 ,Khi nào đẳng thức xảy ra?
Hướng dẫn:
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số: .Tương tự,chohaisố:, .Cộng vế với vế,=> (đpcm).
Bài 6:
 Chứng minh rằng:.Trong đó a,b,c là các số thực dương thoả mãn:a+b+c = 6.
Hướng dẫn:
 Đặt A bằng vế trái. Ta có:.Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai tổng trong dấu ngoặc, ta được:
Cũng theo BĐT CÔ-SI, ta có: Từ đó suy ra (đpcm).
Bài 7:
 Chứng minh bất đẳng thức: .Trong đó a,b,c là các số thực dương.
Hướng dẫn:
 Gọi vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là A.Ta có:
 =>(đpcm).
Bài 8:
 Cho tam giác ABC có: .Gọi ha,hb,hc lần lượt là chiều cao xuất phát từ đỉnh A,B,C của tam giác ABC.Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
 Ta có:.Hơn nữa:
 .Cộng vế với vế các bất đẳng thức 
 =>(đpcm).
Bài 9:
 Chứng minh rằng:
 Trong đó a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc = 1.
Hướng dẫn:
 Giả sử 
 Phần 2: Giải phương trình và hệ phương trình bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cô-si: 
Bài 1:
 Giải phương trình:.
Hướng dẫn:
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
.
 Vậy phương trình có một nghiệm x=1.
Bài2: 
 Giải phương trình:
Hướng dẫn:
 -Đặt điều kiện.
 Dấu”=” xảy ra khi nào? => x=0 là nghiệm duy nhất.
Bài 3:
 Giải hệ phương trình: .
Hướng dẫn:
 -Điều kiện?
 -Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:.Nhận xét phương trình thứ hai.
Bài 4:
 Giải hệ phương trình:
 .
Hướng dẫn:
 -Nhận xét hai vêù của phương trình thứ hai, .
 Ta lại có: .Kết hợp với phuơng trình thứ nhất suy ra:.do đó hệ có hai nghiệm (3,6)và (-3,-6).
Bài 5:
 Giải hệ phương trình:.
Hướng dẫn:
 -Đặt điều kiện?
Đẳng thức xảy ra khi nào? Kết hợp với phương trình (1),giải hệ .
đs: Hệ có nghiệm duy nhất (1,1,1).
Bài 6:
 Giải hệ phương trình . Trong đó x,y,z là các số dương.
Hướng dẫn:
 - Ta chứng minh: .
 Mặt khác:
 -Bất đẳng thức xảy ra khi nào? Kết hợp với phương trình một, giải hệ.
 Đs: Hệ có nghiệm duy nhất:.
Phần III: Ứng dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất:
Bài 1:
 Xác định số dương a để biểu thức:
 . Đạt giá trị nhỏ nhất?
Hướng dẫn:
 Áp dụng BĐT Cô-si cho 2008 số .
Bài 2:
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , biết rằng x >0 và a >0.
Hướng dẫn:
 -Phân tích: , áp dụng BĐT Cô-si cho 8 số: x7 và 7 số . 
 Đs: 
Bài 3:
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , với x là số thực.
Hướng dẫn:
 -Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: , từ đó suy ra (Đpcm).
Bài 4:
 Cho hai số dương a,b thoả mãn:, với x,y>0.Tìm x,y để : nhỏ nhất(tính theo a,b).
Hướng dẫn:
 Ta có: 
Bài 5:
Cho