Bất đẳng thức Bunhiacopxki - GV: Phạm Văn Minh

Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
°Đối vói hai cặp số:
 (ax+by)2 (a2+ b2)(x2+y2), với mọi số thực a,b,x,y.
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
°Đối với hai bộ ba số:
 (ax+by+cz)2 (x2+a2+b2 )( x2+ x2+1) (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) với mọi số thực a,b,c,x,y,z
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
° Đối với hai bộ n số: với các số a1,a2,...an và b1,b2,...bn tuỳ ý, ta có:
 (a1b1+a2b2+...+anbn)2 (a12+a22+...+an2)( b12+b22+...+bn2)
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
BÀI TOÁN:
 ví dụ 1:
 cho x,y thoả 3x+4y=10. Chứng minh: 4 x2+y2 .
 Hướng dẫn:
 102= (3x+4y)2 (32+42)(x2+y2)=25(x2+y2)
 x2+y2 
ví dụ 2
 cho x2+y2=1 chứng minh: /x+2y/ 
ví dụ 3:
 cho a> c >0,b >c >0 ,Chứng minh:
 + 2
Hướng dẫn:
 Ta có: =
 =
nên ta có:
 (+)2 (a+c+a-c)(b+c+b-c)=4ab.
Bài tập:
Bài 1:
 Cho a+b+c+d=4. Chứng minh : a2+b2+c2+d2 4.
Hướng dẫn:
 sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho bộ số 1,1,1,1,a,b,c,d ta có:
 (12+12+12+12)(a2+ b2+ c2+ d2) (a+b+c+d)2 =16
Bài 2:
 Cho a2+b2+c2+d2=1 .Chứng minh:
 (x2+ax+b)2+( x2+cx+d)2(2x2+1)2 , với mọi số thực x.
Hướng dẫn:
 (x2+ax+b)2≤(x2+a2+b2 )( x2+ x2+1)
 ( x2+cx+d)2≤(x2+c2+d2 )( x2+ x2+1). Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên 
ta có:
 (x2+ax+b)2+( x2+cx+d)2(2x2 +1)(2x2+ a2+b2+c2+d2) => (đpcm).
Bài 3: Chứng minh rằng:
 1/ 2(a2+b2) (a+b)2 
 2/ 3(a2+b2+c2 ) (a+b+c)2 
Hướng dẫn:
 . câu hai tương tự.
Bài 4: Với mọi số thực a,b,c khác 0.Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Bài 5:
 Cho a+b+c= 6. Chứng minh rằng: a2+b2+c2 12.
Hướng dẫn:
Bài 6:
 Cho a2+b2+c2 =1 .Chứng minh: a+3b+5c 
Hướng dẫn:
Bài 7:
 Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
Bài 8: Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Bài 9:
 Cho a,b,c ≥ a+b+c =3.Cmr 
Hướng dẫn:
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Bài 10:
 Cho a2+b2=1 .Chứng minh: 
Hướng dẫn:
Áp dụng BĐT BCS 2 lần:
 =>(đpcm).