Bài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đa trị

Nguyễn Văn Xá
Bài tập môn GIẢI TÍCH ĐA TRỊ
1. NHẮC LẠI MỘT SỐ KHÁI NIỆM
1) Một không gian metric X được gọi là không gian tách được (separable space) hay không gian khả li nếu có một tập đếm được trù mật trong X (tức là tồn tại tập đếm được A sao cho 
2) Một không gian tôpô X được gọi là không gian tách (separated space) hay không gian Hausdorff nếu hai điểm khác nhau bất kì trong X bao giờ cũng có thể tách được bởi hai lân cận rời nhau (tức là tồn tại hai lân cận lần lượt của sao cho 
3) Cho X vừa là không gian tôpô vừa là không gian tuyến tính. Nếu hai phép toán đại số trên X liên tục theo tôpô trên X thì ta nói cấu trúc đại số phù hợp với cấu trúc tôpô trên X, và gọi X là không gian tôpô tuyến tính.
4) Cho không gian vectơ thực X, tập gọi là tập lồi nếu ta luôn có 
5) Cho không gian tôpô X. Họ gồm tất cả các lân cận của điểm trong không gian tôpô X. Họ được gọi là cơ sở lân cận của điểm a nếu sao cho .
6) Cho không gian tôpô tuyến tính X. Nếu trong X có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập lồi thì ta nói X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương (và tôpô của nó được gọi là tôpô lồi địa phương).
7) Không gian X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff nếu X vừa là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương vừa là không gian Hausdorff với cùng tôpô đó.
8) Cho Y là không gian tuyến tính và Ta nói C là một nón trong Y có đỉnh tại gốc (hay đơn giản C là nón trong Y) nếu ta có (tức là Nón C được gọi là nón lồi nếu C đồng thời là tập lồi. Hơn nữa, khi Y là không gian tôpô tuyến tính, ta kí hiệu lần lượt là bao đóng tôpô, phần trong tôpô, và bao lồi của nón C; nón C được gọi là nón đóng nếu C đồng thời là tập đóng. Kí hiệu và thấy rằng nếu C là nón lồi thì là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C và nó được gọi là phần trong tuyến tính (phân biệt với phần trong tôpô (khi có tôpô) mà thường kí hiệu là intC) của nón C. Nón C được gọi là nón nhọn nếu Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn. Nón C được gọi là nón đúng nếu 
9) Với C là nón trong Y. Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần trên Y như sau: , nếu thì ta viết hay đơn giản là 
10) Ánh xạ đa trị: Cho hai tập hợp bất kì X, Y ( Kí hiệu là tập hợp tất cả các tập con của Y (mỗi phần tử của là một tập hợp !), nghĩa là Tất nhiên và Nếu và thì Ánh xạ đi từ X vào , biến mỗi phần tử thành một tập con của Y (không loại trừ khả năng với một số nào đó ta có là tập rỗng) được gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y. Nếu với mỗi mà tập luôn có đúng 1 phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y.
11) Điểm hữu hiệu lí tưởng: Cho và C là một nón trong X.
- Điểm được gọi là điểm hữu hiệu lí tưởng của tập A đối với nón C trong X nếu tức là Kí hiệu là tập tất cả các điểm hữu hiệu lí tưởng của A theo C trong X.
- Điểm được gọi là điểm hữu hiệu Pareto của tập A đối với nón C trong X nếu không tồn tại mà tức là Kí hiệu là tập tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A theo C trong X.
- Điểm được gọi là điểm hữu hiệu thật sự của tập A đối với nón C trong X nếu tồn tại nón sao cho và Kí hiệu là tập tất cả các điểm hữu hiệu thật sự của A theo C trong X.
- Điểm được gọi là điểm hữu hiệu yếu của tập A đối với nón C trong X nếu Kí hiệu là tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu của A theo C trong X, 
Nhận xét: 
2. BÀI TOÁN TỐI ƯU LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ
Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y, ánh xạ đa trị 
 Ta xét bài toán: Tìm sao cho (trong đó là lí tưởng, hoặc Pareto, hoặc thực sự, hoặc yếu). Chẳng hạn, nếu là lí tưởng thì ta có bài toán tìm sao cho Ta gọi những bài toán như thế là bài toán tối ưu đa trị. Điểm sao cho được gọi là nghiệm của bài toán, tập được gọi là giá trị tối ưu.
Ví dụ: Khi F đơn trị, là lí tưởng, thì ta có bài toán: Tìm sao cho hay