Bài toán 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỷ - Số mũ thực

BÀI TOÁN 1 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ - SỐ MŨ THỰC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT GV : Nguyễn Văn Bình
Lũy thừa với số mũ nguyên 
 Cho và . Khi đó
 (n thừa số a) 
Chú ý : và không có nghĩa
Căn bậc n
khái niệm
Cho số thực b và số nguyên dương . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu .
Với n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là .
Với n chẵn : 
Nếu thì không tồn tại căn bậc n của b.
Nếu thì có một căn bậc n của b là số 0.
Nếu thì có hai căn bậc n của b trái dấu với nhau, kí hiệu giá trị dương là còn giá trị âm là .
Tính chất của căn bậc n
khi n lẻ
khi n chẵn
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
 Cho số thực a dương và số hữu tỷ . 
 Lũy thừa của a với số mũ r là số xác định bởi : 
Lũy thừa với số mũ vô tỷ
Cho a là một số dương và là một số vô tỷ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỷ có giới hạn là và dãy số tương ứng có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số . Khi đó 
 với .
Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b là các số thực dương và là các số thực tùy ý. Khi đó ta có
Nếu thì .
Nếu thì .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và tính chất lũy thừa với số mũ thực
Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau (không sử dụng máy tính)
 Đáp : A = 161
 Đáp : B = 10
Bài 2 : Đơn giản các biểu thức sau : 
Bài 3 : Tính tổng Đáp : A = 2
 Đáp : B = 3
Dạng 2 : Áp dụng tính chất về bất đẳng thức của lũy thừa
Bài 4: So sánh các số sau : 
a. và b. và c. và d. và e. và 
Bài 5 : Tìm GTLN và GTNN của 
 Đáp: a. b. 
BÀI TOÁN 2 LÔGARIT
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Định nghĩa
Cho hai số dương a, b với . Số thỏa mãn được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là .
 Vậy 
Chú ý : 
Không có lôgarit của số âm và số 0
Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1
Tính chất
Cho a, b, c > 0 và . Khi đó : 
 ; 
 ; 
 (với x, y >0)
 (với x, y >0)
Công thức đổi cơ số : 
 hay 
 hay 
Đăc biệt : ; ; ; 
 Mở rộng : 
So sánh hai lôgarit cùng cơ số
Cho a, b, c > 0 và . Khi đó : 
 Nếu thì 
 Nếu thì 
 Nếu hoặc thì 
 Nếu hoặc thì 
Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên 
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. 
Lôgarit cơ số 10 của x được kí hiệu là hay đơn giản là .
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e với 
Lôgarit cơ số e của x được kí hiệu là .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Áp dụng định nghĩa và các quy tắc tính lôgarit
Bài 1 : Tính giá trị của các biểu thức sau : 
 Đáp : 19
 Đáp : - 2
 Đáp : 
 Đáp : 3
 Đáp : 
 Đáp : 0
 Đáp : 0
 Đáp : - 
Bài 2 : Tìm biết và
 Đáp : a. b. 
Bài 3 : Tìm x biết : 
Bài 4 : So sánh các số sau : 
 và và 
 và và 
Dạng 2 : Áp dụng công thức đổi cơ số
Bài 5 : 
Chứng minh với .
 với 
Cho và ;. Chứng minh 
Cho với x, y, z > 0. Chứng minh .
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A có . Chứng minh 
Bài 7 : a) Cho . Hãy tính theo a và b giá trị của 
b) Cho . Hãy tính theo a, b, c giá trị của 
BÀI TOÁN 3 : HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
Định nghĩa : Cho số 
Hàm số dạng được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Hàm số dạng được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
Giới hạn : 
Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
Đạo hàm của hs mũ : 
 Đặc biệt : 
 Đặc biệt : 
Đạo hàm của hàm số lôgarit :
 Đặc biệt : 
 Đặc biệt : 
Ví dụ : 
khảo sát sự biến thiên và vẽ đths mũ và lôgarit.
.
x
x
x
1.
O
y
x
0
x
0
x
O
y
1 
0
0
.
Hàm số mũ () Hàm số lôgarit 
TXĐ : D = ..... TXĐ : D = ..... 
Nếu : ta có lna .............. y’ .................... Nếu : ta có lna ........ y’ ........................
 hs ................................................................... hs .............................................................
Nếu : ta có lna ........ y’ ......................... Nếu : ta có lna .........y’....................
 hs ......................................................... hs .........................................................
Đồ thị : Đồ thị :
NX : Đồ thị hs () luôn đi qua điểm NX : Đồ thị hs () luôn đi qua điểm A(O;1) và B(1;a) và nhận trục Ox làm TCN. Điểm A(1;0) và B(a;1) và nhận trục Oy làm TCĐ.
BÀI TẬP : 
Bài 1 : Tính các giới hạn sau 
Bài 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng e.
Bài 4 : 1. Cho . Chứng minh rằng .
Cho . Chứng minh rằng 
Cho . Chứng minh rằng 
Cho . Chứng minh rằng 
Cho a,b là 2 số thực thỏa . Chứng minh . (Cao Đẳng A- 2009)
Gợi ý: Bpt . Chứng minh hàm số đồng biến trên khoảng .
Chứng minh .
BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Phương trình mũ
1
O
x
y
Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng : (1) trong đó .
Cách giải : 
 Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
 Và (cùng phương với Ox)
Số nghiệm của phương trình (1) cũng là số giao điểm của (C) và (d).
 Dựa vào đồ thị ta thấy : 
Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
Các phương pháp giải phương trình mũ
Phương pháp đưa về cùng cơ số. 
Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp lôgarit hóa. 
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 
Phương pháp đối lập.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : (1) 
Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1) 
Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì 
Bài 1 : Giải các phương trình sau
 	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
	(ĐH Quốc Gia HN-2000)	ĐS : 
	(ĐH D-2006)	ĐS : 
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt với a và thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
 Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 2
	ĐS : 0
	ĐS : 1; -1
	ĐS : 1
	ĐS : 
	ĐS : 3; 11
	ĐS : 2
	ĐS : 3; 
	ĐS : 0
	ĐS : 2
	ĐS : 1; -1
	ĐS : 0; 1/2
	ĐS : 
	ĐS : 100
	ĐS : 1; -4
Bài 2 : Giải các phương trình sau
 	(ĐH A-2006)	ĐS : 1
 	(ĐH D-2003)	ĐS : -1; 2
	(ĐH B-2007)	ĐS : 1; -1	
	(ĐH Hàng Hải-1999)	ĐS : 4
 	(ĐH Thủy Lợi-2000)	ĐS : -1; 2
 	(ĐHSP Hải Phòng-2000)	ĐS : 0
	(ĐH Quốc Gia HN-1998)	ĐS : 0
	(HV Quan Hệ Quốc Tế-1999)	ĐS : 
 	(ĐH Luật HN-1998)	ĐS : 
	(ĐH Y HN-2000)	ĐS : 1
Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau : 
Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia giữa các hàm số mũ.
 Giải các phương trình sau
	1. 	ĐS : 	ĐS : 
	3. 	ĐS : 	ĐS : 
	5. 	ĐS : 	ĐS : 
	7. 	ĐS : 	ĐS : 
	9. 	ĐS : 9 	ĐS : 
Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
 Đưa phương trình đã cho về dạng (*)
Bước 1 : Chỉ ra là một nghiệm của phương trình (*)
Bước 2 : Chứng minh là hàm đồng biến, là hàm nghịch biến hoặc là hàm đồng biến, là hàm hằng hoặc là hàm nghịch biến, là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng , rồi chứng minh là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra .
Ví dụ 1: Giải phương trình 
 Cách 1 : 
Ta thấy là một nghiệm của phương trình (*)
Đặt : 
 Ta có :
 Suy ra là hàm đồng biến trên R.
 Mà là hàm hằng
 Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 
 Cách 2 : 
Ta thấy là một nghiệm của phương trình (*)
Nếu , ta có 
 (vô lý)
Nếu , ta có 
 (vô lý).
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là .
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 Ta có : 
 (*)
Ta thấy là một nghiệm của phương trình (*)
Đặt : 
 Ta có : 
Suyra là hàm nghịch biến trên R
 Mà là hàm hằng
 Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 
Ví dụ 3: Giải pt (1)
 Đặt .
Phương trình (1) 
 (*)
Ta thấy là một nghiệm của phương trình (*)
Đặt : 
Ta có : 
Suyra là hàm đồng biến trên R
Suyra là hàm nghịch biến trên R
 Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là .
Vậy pt (1) có 2 nghiệm là .
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 3
	ĐS : 2
	ĐS : 2
	ĐS :
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 1
	ĐS : 2; 4
	ĐS : 0
	ĐS : 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(Học Viện Công Nghệ BCVT-1998)	ĐS : 1
	(ĐH Thủy lợi-2001)	ĐS : 1
	(ĐH Bách khoa TPHCM-1995)	ĐS : 1
	(Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997)	ĐS : 
	(ĐH Sư Phạm HN-2001)	ĐS : 
Dạng 5 : Phương pháp đối lập
Đưa phương trình đã cho về dạng rồi đánh giá hai vế của phương trình
 Nếu thì 
 Giải các phương trình sau
	ĐS : 0
	ĐS : 
	ĐS : 1
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 0; 1
	ĐS : 1
	ĐS : 
	ĐS : 0; 1
BÀI TOÁN 5 : PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Phương trình lôgarit
1
O
x
y
Phương trình lôgarit cơ bản là phương trình có dạng : (1) trong đó .
Cách giải : Ta có 
Các phương pháp giải phương trình mũ
Phương pháp đưa về cùng cơ số. 
Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp mũ hóa. 
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 
Phương pháp đối lập.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng 
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 3
	ĐS : 729
	ĐS : 1
	ĐS : 2
	ĐS : 1
	ĐS : 48
	ĐS : 1
	ĐS : 3
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH D-2007)	ĐS : 
	(ĐH Huế-1999)	ĐS : 2
	(ĐH Quốc Gia HN-1998)	ĐS : 0;-5
	(ĐH Thủy Lợi-1998)	ĐS : 1; 4
	(ĐH Đông Đô-1999)	ĐS : 1; 6
	(ĐH Y Hà Nội-1999)	ĐS : 3
	(ĐH Bách Khoa HN-2000)	ĐS : 
	(ĐH Y Thái Bình-1998)	ĐS : 
	(HV BCVT-2000)	ĐS : 
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 
	ĐS : 2; 16
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
	ĐS : 2
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 2
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH Công Đoàn-2000)	ĐS : 2
	(Cao Đẳng -2008)	ĐS : 1; 3
	(ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS : 
	(ĐH Y HN-2000)
	(HV CNBCVT-1999)	ĐS : 1; 4
	(ĐH Sư Phạm HN-1998)	ĐS : 
	(ĐH Sư Phạm TPHCM-2001)	ĐS : 
	(ĐH Khối A-2008) ĐS : 
	(ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001)	ĐS : 
	(ĐH Quốc Gia HN-2000)	ĐS : 0;1
 (ĐHSP Vinh-2001) ĐS : 1;
Dạng 3 : Phương pháp mũ hóa
Đưa phương trình đã cho về một trong các dạng sau
 đặt suy ra. Khử x trong hpt để thu được phương trình theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 
	ĐS : 1
	ĐS : 4096
	ĐS : 
	ĐS : 9
	(ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991)	ĐS : 16
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH Huế-2000)	ĐS : 0; 3
	(ĐH Quốc Gia HN-2000)	ĐS : 5
 	(ĐH Thái Nguyên-2000)	ĐS : 49
	(ĐH Y HN-1998)	ĐS : 256
	(ĐH Y Dược TPHCM-1986)	ĐS : 
Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)
 Đưa phương trình đã cho về dạng (*)
Bước 1 : Chỉ ra là một nghiệm của phương trình (*)
Bước 2 : Chứng minh là hàm đồng biến, là hàm nghịch biến hoặc là hàm đồng biến, là hàm hằng hoặc là hàm nghịch biến, là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng , rồi chứng minh là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D). Từ đó suy ra .
Bài 1 : Giải các phương trình sau
	ĐS : 4
	ĐS : 5
	ĐS : 2; 4
	ĐS : 3
	ĐS : 0; 1
Bài 2 : Giải các phương trình sau
	(ĐH Đông Đô-1997)	ĐS : 
	(ĐH Ngoại Thương-2001)	ĐS : 
Dạng 5 : Phương pháp đối lập
Đưa phương trình đã cho về dạng rồi đánh giá hai vế của phương trình
 Nếu thì ta có 
 Giải các phương trình sau
	ĐS : 1
	ĐS : 1
	ĐS : 1
	ĐS : 2
BÀI TOÁN 5 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
 Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau : 
 	(ĐH A-2009)	ĐS : (2;2), (-2;-2)
 	(ĐH D-2002)	ĐS : (0;1), (2;4) 
 	(ĐH A-2004)	ĐS : (3;4)
 	(ĐH B-2005)	ĐS : (1;1), (2;2)
 	ĐS : 	 	ĐS : (5;2) 
 	ĐS : (3;3) ĐS : (2;1) 
 ĐS : (16;3), (1/64;-2) ĐS : (1;1), (9;3) 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau : 
	ĐS : (-2;7)
 ĐS : 
 	ĐS : (1;3), (3;1)
 	ĐS : (-1;-1), (1;0) 
 ĐS : (0;0) 
 ĐS : (1;1) 
BÀI TOÁN 6 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
PHƯƠNG PHÁP 
Áp dụng các phương pháp như khi giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất : 
Nếu thì 
Nếu thì 
Tổng quát : 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau : 
	(ĐH Quốc Gia HN-1996)	ĐS : 
	(Học Viện Quân Y-1995)	ĐS :
	(ĐH Bách Khoa HN-1997)	ĐS : 
	(ĐH Sư Phạm TPHCM-1976)	ĐS : 
Dạng 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau : 
	(Dự Bị D-2005)	ĐS : 
	(ĐH Văn Hóa HN-1996)	ĐS : 
	(HV CNBCVT-1998)	ĐS : 
	(HV Hành Chính QG-2001)	ĐS : 
	(ĐH Phương Đông-2000)	ĐS : 
Dạng 3 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
BÀI TOÁN 7 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
PHƯƠNG PHÁP
Nếu thì 
Nếu thì 
Tổng quát : 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 Giải các bất phương trình sau : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	ĐS : 
	(ĐH A-2007)	ĐS : 
	(ĐH B-2008)	 ĐS : 
 	(ĐH Văn Hóa HN-1998)	ĐS : 
	(ĐH GTVT-2000)	ĐS : 
	(ĐH B-2002)	ĐS : 
	(ĐH Văn Lang-1997)	ĐS :
	(ĐH Y Hà Nội-1997) 	ĐS : 
	(ĐH Kiến Trúc HN-1997) 	 ĐS : 
	 (ĐH Dược HN-1997) ĐS :