Bài tập về Số phức

Bài tập 3. 
*
0
1
,| | .M z C z a
z
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0. 
Lời giải. 
2 2
2 2 2
2 2
1 1 1 1
| | ( )( ) | |
| | | |
z z
z z z z
z z z z
a
z
4 2 2
2
| | ( ) 2 | | 1
.
| |
z z z z
z
Do đó 
4 2 2 2| | ( 2) 1 ( ) 0| | .z az z z 
2 4 2 2 4 2
2 2 4 2 4| | [ ; ]
2 2
a a a a a a
z 
2 24 4
| | [ ; ]
2 2
a a a a
z . 
2 24 4
max | | ,min | |
2 2
a a a a
z z . 
,z M z z . 
2
1 1 1 1
1
1
| | 1, .z z z z
z
Tương tự, 
2
2
1
,z
z
đặt số trên là A, 
1 2 1 21 2
1 21 2
1 2
1 1
1 1 11 1
z z z zz z
A A
z zz z
z z
. 
Vậy A là số thực. 
Bài tập 2. Chứng minh nếu 1 2 1 2| | | 1,| 1z zz z thì 
1 2
1 21
z z
z z
là số thực. 
Lời giải. Sử dụng tính chất (4), 
Bài tập 1. Chứng minh 
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| || | 2(| | | | )z z z z z z . 
Lời giải. Sử dụng tính chất (4), 
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ( )(| ) )(| ( )z z z z z z z z z z z z 
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2| | | | | | || z z z z z z z z z zz z 
2 2
1 2| | | )2(| z z . 
 BÀI TẬP SỐ PHỨC
Bài tập 5. Chứng minh 
27 7|1 | |1 | 3
62
z z z , ∀ z, |z|=1. 
Lời giải. Đặt 
|1 | [0;2]t z . 
2
2 2(1 )(1 ) 2 2 ( ) ( ) .
2
t
z z Rt e z Re z 
Khi đó 2 2|| 7 2 .1 | |z tz Xét hàm số 
2, ( ) | 7 2 |.:[0;2] R f tf t t 
Được 
27 7 7 7) | 7 2 | ( ) 3(
2 2 6
.
6
t t ff 
2 2 2 2 2 2 2(
1
) 4 1,(1 ) ,
2
1 b a b aa b 
2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 0,2( ) 4 1 0.a b a b a b a 
Cộng các bất đẳng thức được 
2 2 2 2( ) (2 1) 0.a b a Mâu thuẫn 
Bài tập 4. Chứng minh mọi số phức z, 
|
1
2
1|z , hoặc 2 1 1.| |z 
Lời giải. Phản chứng 
|
1
2
1|z và 2 1 1.| |z 
Đặt z=a+bi⇒ 2 2 2 2 .a bz abi 
Bài tập 7. Cho x,y,z là các số phức phân biệt sao cho 
(0;1(1 ) , ).y tx t z t 
Chứng minh rằng 
| | | | | | | | | | | |
.
| | | | | |
z y z x y x
z y z x y x
Lời giải. Từ hệ thức (1 )y tx t z , 
( ).z y t z x 
Bất đẳng thức 
| | | | | | | |
.
| | | |
z y z x
z y z x
trở thành 
(|| | | | | | |),z zy t x 
hay 
(1 ) | || | | .| t z t xy 
Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho 
(1 )y t z tx , ta có kết quả. 
Bất đẳng thức thứ hai , được chứng minh tương tự, bởi 
(1 )y tx t z 
tương đương với 
(1 )( ).y x t z x 
2 2 2 2( 1)( 1) x y yx , ∀ y∈ R. 
Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số 
2 2 2 21 1, ( ) ( 1) 2 2 1 2( ) ,
2 2
: R f y y y y y yf R 
Do đó điểm cự tiểu là 
1 1 1
.
2 2 2
zx i 
Bài tập 6. Xét 
{ , 1 , }C z x i xH z x R . 
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức ,| | | |, .H z wz w H 
Lời giải. Đặt 
1 , .y yi y R 
Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho 
Bài tập 9. Cho p, q là hai số phức , q≠ 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc 
hai 2 0pxx q có Môđun bằng nhau, thì 
p
q
 là một số thực 
 Lời giải. gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình và 1 2| .| | |r x x Khi đó 
2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
1 22 2 2 2
1 2 2 1
( ) 2
2 2 2 ( )
p x x x x x x x x
Re x x
q x x x x r r r
Là số thực. Hơn nữa 
2
1 2 1 2) |Re( | ,x x x x r do đó 
2
2
0
p
q
. 
Vậy 
p
q
là một số thực. 
2 2| 63 16 65|r . 
Phương trình 
2 63 16y i 
Có nghiệm 
1,2
65 63 65 63
( ) (1 8 )
2 2
y i i . Kéo theo 
1,2 4 4 (1 8 ).i iz 
Do đó 1 25 12 , 3 4iz z i 
Ta có thể dùng cách khác để giải phương trình bậc hai trên. 
2(4 4 ) (63 16 ) 63 16i i i 
Tìm hai căn bậc hai của 63 16i , tức là tìm 2, 63 16z x yi z i 
2 2
2 2
163
2 63 16 .
88
xx y
x y xyi i
yxy 
Δ’ có hai căn bậc hai là 1-8i, -1+8i. 
Phương trình có hai nghiệm 
1
2
4(1 ) (1 8 ) 5 12 ,
4(1 ) (1 8 ) 3 4
i i i
i i i
z
z
Bài tập 8. Giải phương trình hệ số phức 
2 8(1 ) 63 16 0.z i z i 
Lời giải. 
2(4 4 ) (63 16 ) 63 16i i i 
 Lời giải. 
a) gọi 1 2,z z là các nghiệm phương trình với |z1|=1. Từ 2
1
1
.
c
a
z
z
 kéo theo 
2
1
1
| | | . 1
|
| .
|
c
a z
z Bởi vì 
1 2 ,| | | |,
b
z a
a
z b ta có 21 2 1.| |zz Hệ thức tương 
đương với 
1 2 1 2)( ) 1( z z zz , tức là 1 2
1 2
1 1
( )( ) 1.z z
z z
2
1 2 1 2( ) ,z z z z hay 
2)(
b c
a a
 ⇒ 2b ac . 
b) Theo câu a) 2 2,acb c ab . Nhân các hệ thức được 
2 2 2 2 .c a bc a cb b Do đó 
2 2 2 .b c ab bc caa 
Hệ thức tương đương với 
2 2 2( ) (( ) ) 0,b c c aa b 
Tức là 
2 2 2( ) 2( )( ) ( ) 2( )( ).( ) b c a b b c c a a b ba cb 
Kéo theo 2 ( )( )( ) a ba bc c . Lấy giá trị tuyệt đối, được 2 , 
ở đây | |, | |, | |b c c a a b . Tương tự được 2 2, . Cộng 
các hệ thức, được 
2 2 2 
Tức là 2 2 2) ( ) (( ) 0 . Do đó α=β=γ. 
Bài tập 10. Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a|=|b|=|c|. 
a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình 2 0bz caz có Môđun bằng 1 thì 
b
2
=ac. 
b) Nếu mỗi phương trình 
2 20, 0az bz c bz cz a có một nghiệm có Môđun bằng 1 thì 
|a-b|=|b-c|=|c-a|. 
Bài tập 12. Tìm các số phức z sao cho 
| 1| |1,|
z
z
z
z
z
. 
Lời giải. Đặt cos sin , [0,2 ).x i xz x 
2 2
2
| |
|
| |
| cos2 sin 2 cos2 sin 2 |
2 | c
1
|
|
os2
z z z z
z z z
x i x x i x
x
Do đó 
1
cos2
2
x hoặc 
1
cos2
2
x . 
Nếu 
1
cos2
2
x thì 
21 3 4
5 7 11
, , ,
6 6 6 6
x x x x 
Nếu 
1
cos2
2
x thì 
5 6 7 8
2 4 5
, , ,
3 3 3 3
x x x x 
Do đó có 8 nghiệm 
cos sin ,8.1,2,3,k k kx i xz k 
a) Nếu (0, ) (0, )
2 2
a
a , P nằm góc phần tư thứ nhất . Do đó 
sin
arctan arctan(tan ) ,
1 cos 2 2
2cos (cos sin )
2 2 2
a a a
a
a a a
z i
. 
b) Nếu ( ,2 ) ( , )
2 2
a
a , P nằm góc phần tư thứ tư . Do đó 
rctan(tan ) 2 2 ,
2 2 2
2cos [cos( ) sin( )]
2 2 2
a a a
a
a a a
z i
c) Nếu a , thì z=0. 
Bài tập 11. Viết số phức sau dưới dạng cực 
cos sin , (0,2 )1z aa i a . 
Lời giải. 
2 2 2(1 cos ) sin 2(1 cos ) 4c| | os 2 | cos |
2 2
a a
z a a a . 
Bài tập 15. Tìm số cặp thứ tự (a,b) các số thực sao cho 2002( )a b ii a b . 
Lời giải. Đặt z=a+bi⇒ 2 2,| |z a bi z a b . Hệ thức đã cho trở thành 2002z z . 
2002 2002 2001| | | | | | || | | (| | 1) 0.z z z z zz 
Do đó |z|=0, tức là (a,b)=(0,0) hoặc |z|=1. Trong trường hợp |z|=1, ta có 
2002 2003 2. | | 1z z z zz z . 
Do phương trình 2003 1z có 2003 nghiệm phân biệt⇒ có 2004 cặp thứ tự theo yêu cầu. 
Bài tập 14. Tính 
10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i i
z
i
. 
Lời giải. 
10
10 5 5
10 10
10
10
7 7
2 (cos sin ) (cos sin )
4 4 6 6
4 4
(cos sin )
35 35 5 5
(cos sin )(cos sin )
6 6
40 40
(cos sin )
55 55
cos sin
cos5 sin5 1
40
.2
2
3 3
2
2 2
2
3 3
40
cos s
3
3
n
3
3
i
i i
i
i i
i
i
z
i
i
. 
Bài tập 13. Chứng minh 
5 3
5 3
sin5 16sin 20sin 5sin ;
cos5 16cos 20cos 5cos
t t t t
t t t t
. 
Lời giải. Dùng công thức Moivre và khai triển nhị thức 5cos sin )( t i t , 
5 4 2 3 2
3 2 3 4 4 5 5
cos5 sin5 cos 5 cos sin 10 cos sin
10 cos sin 5 cos sin sin
t i t t i t t i t t
i t t i t t i t
. 
Do đó 
5 2 2 2
2 2 2
3
3 5
cos5 sin5 cos 10cos (1 cos ) 5cos (1 cos )
[sin (1 sin ) sin 10(1 sin )sin sin ]
t i t t t t t t
i t t t t t t
Đồng nhất hai vế cho điều phải chứng minh.