Bài tập về nhà: Thể tích khối chóp

GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15 
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012 
Bài tập về nhà: Thể tích khối chóp. 
I. TÍNH TRỰC TIẾP. 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy, các cạnh SB = SC = 1 và các góc 
   0ASB BSC CSA 60   . Tính thể tích của hình chóp S.ABC. ĐS. 1
8
V  
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, 2AB a . Gọi I là trung 
điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn 2IA IH 
 
. Góc 
giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 060 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung 
điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH). ĐS. 
3 15
6
aV  , 
2
ad  
Bài 3. Trong mp(P) cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của 
A qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại điểm D, lấy điểm S sao cho 
6
2
aSD  . Gọi H là 
hình chiếu của I trên SA, tính theo a thể tích khối chóp H.ABC. ĐS. 
3 2
24
aV  
Bài 4. Cho khối chóp S.ABC có BC = 2a,  0 090 , 30BAC ACB  . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với 
mp(ABC), tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
 ĐS. 
3 3
12
aV  
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, ( )SA ABC và SA = 3a. Gọi M, N 
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a.
 ĐS. 
319 3
400
aV  
Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
SB, SC. Cho biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 
3 5
24
aV  
Bài 7. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cạnh huyền bằng 3a . G là 
trọng tâm tam giác ABC ,  SG ABC , 14
2
aSB  . Tính thể tích hình chóp .S ABC và khoảng 
cách từ B đến mặt phẳng  SAC . ĐS. 3 3 653 ,
13
aV a d  
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 4, BC = 2, 4 3SA  ,   030SAB SAC  . Tính thể tích 
khối chóp S.ABC. ĐS. 4V  
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và 
đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là 060 . 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 32V a 
GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15 
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012 
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và 
đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là 060 . 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 32V a 
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB = a, 3BC a , SA vuông góc với đáy. 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Góc giữa hai mp(SAC) và (SBC) là 
060 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS. 
3 6
12
aV  
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có mp(SAC) vuông góc với mp(ABC), SA = AB = a, AC = 2a và 
  090ASC ABC  . Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa hai mp(SAB) và (SBC). 
 ĐS. 
3 3,
4 105
aV cos   
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt bên SBC vuông góc với 
mặt đáy. Hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy góc 045 . Gọi M là trung điểm của SA. Cho biết chiều 
cao của hình chóp là a. Tính thể tích khối chóp S.ABC và số đo góc giữa hai đường thẳng AB cà CM. 
 ĐS. 
32 3,
3 19
aV cos  
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA =a, 2AD a và 
( )SA ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng 
minh ( ) ( )SAC SMB . Tính thể tích khối tứ diện ANIB. ĐS. 
3 2
12
aV  
Bài 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, 
đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, 3BC a , điểm I thuộc đoạn thẳng SC sao cho SI = 2CI và 
thỏa mãn AI SC . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS. 
3 15
3
aV  
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, 3BC a . Tam giác SAC 
đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi (P) là mp đi qua trọng tâm G của tam giác SAC và song 
song với cạnh SA, mặt phẳng (P) cắt cạnh SC tại M và cắt AC tại E. Tính theo a thể tích khối chóp 
M.BCDE. ĐS. 
34
9
aV  
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, 2AD a , góc giữa hai 
mp(SAC) và (ABCD) bằng 060 . Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB là tam giác cân tại 
đỉnh S và thuộc mp vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS. 
3
3
aV  
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, mặt bên SAB 
vuông góc với đáy, tam giác SAB cân đỉnh S và có trọng tâm G. Biết khoảng cách từ G đến mp(SCD) 
là 2 3
3
a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. ĐS. 
34 3
3
aV  
GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15 
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012 
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều, tam giác 
SCD vuông cân tại S. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SA. Chứng minh rằng 
( ) ( )SIJ ABCD . Tính thể tích khối chóp K.IBCD. ĐS. 
3 3
32
aV  
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 
SA=a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng 
(AMN). Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI. ĐS. 
3
36
aV  
Bài 21. Cho hình vuông ABCD tâm I .Các nửa đường thẳng Ax, Cy cùng vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD) và ở cùng phía đối với mặt phẳng đó. Trên Ax, Cy lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 
m, CN = n, m,n 0 góc tạo bởi hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng 300.Tính thể tích của khối 
chóp B.AMNC. Tìm điều kiện của m theo n để góc MIN vuông. ĐS. 2 ( )V m m n  
Bài 22. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a. Gọi G là trọng tâm của tam giác 
SAC và khoảng cách từ G đến mp(SCD) bằng 3
6
a . Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) và thể tích 
khối chóp S.ABCD, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. ĐS. 3
4
ad  ,
3 3
6
aV  
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm 
trong mp vuông góc với đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a. Tính thể tích 
khối chóp S.ABCD theo a. ĐS. 
37 7
18
aV  
Bài 24. Cho hình thang ABCD nằm trong mp(P), có   090BAD CDA  , AB = AD = a, CD = 2a. Gọi 
H là hình chiếu vuông góc của D trên AC. Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại H, lấy điểm S 
sao cho góc tạo bởi SC và (P) là 060 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS. 
32 15
5
aV  
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với BC là đáy nhỏ, H 
là trung điểm của AB. Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mp vuông góc 
với đáy, 5SC a và khoảng cách từ D tới mp(SHC) bằng 2 2a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
theo a. ĐS. 
3 3(1 10)
3
aV  
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB = 2CD = 4a, 
10BC a . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SO vuông góc với mp(ABCD) và mặt bên SAB 
là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC. 
 ĐS. 3 26 2,
5
V a cos  
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a, 
3SA a , hai mặt bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm của tam giác 
DBC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mp(SBC) theo a. 
 ĐS. 
3 2 ,
2 3
a aV d  
GV. ATr Pro 01677. 10. 19. 15 
Trường THPT Nghèn 2011 - 2012 
Bài 28. Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA = 3
4
, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Chứng minh 
rằng tam giác SAC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABCD. ĐS. 39
16
V  
II. SỬ DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH. 
Bài 1(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A với AB AC a  . Biết 
SA vuông góc với mặt đáy và 3SA a . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên các đoạn SB và SC sao 
cho SM = SN = b. Tính thể tích của khối chóp S.AMN theo a và b. Tìm mối liên hệ giữa a và b để góc 
giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) bằng 060 . ĐS. 
2 3
24
abV  , đk: 2b a 
Bài 2(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Cạnh SA 
vuông góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt đáy góc 060 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 
3
3
aAM  , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. ĐS. 
310 3
27
aV  
Bài 3(Tỉ số). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, cạnh SA 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 045 . Gọi G là trọng 
tâm của tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính thể tích khối chóp 
S.PQCD theo a. ĐS. 
310 5
27
aV  
Bài 4(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABCD . Đáy ABCD là hình thang, AD và BC cùng vuông góc với AB, 
AB AD a, BC 2a   ; mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 
đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SC, CD. Tính thể tích khối chóp ADMN theo a.
 ĐS. 
3 3
48
aV 