Bài tập về khảo sát hàm số và các dạng toán có liên quan đến hàm số

Bài tập về khảo sát hàm số
và các dạng toán có liên quan đến hàm số
Bài 1.Từ đồ thị hàm số y= f(x)= suy ra đồ thị hàm số y= g(x)=.
HD: -Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= f(x)
 -Chứng minh hàm số y= g(x) là hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy.
 -Vẽ đồ thị hàm số y=g(x) như sau:
 + với x0 thì g(x) = f(x) .
 + với x<0 ta lấy đối xứng qua trục 0y.
Bài 2. Từ đồ thị hàm số y=f(x)= suy ra đồ thị hàm số y=g(x)=.
 HD: -Vẽ đồ thị hàm số y=f(x).
 -Ta có: g(x)=
 ( Khi f(x) ứng với phần nằm trên trục hoành, khi f(x) ứng với phần nằm bên dưới trục hoành).
Bài 3. Từ đồ thị hàm số y=f(x)= suy ra đồ thị hàm số y=g(x)=.
HD: Ta có g(x)=
Bài 4. 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=.
Tìm m để phương trình 2x2-4x-3+2m=0 có hai nghiệm phân biệt.
HD : - Biến đổi phương trình về dạng =m
 -Vẽ đồ thị hàm số y= từ đồ thị hàm số y=.
 - Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y= và đường thẳng y=m.
Bài 5. Cho hàm số y = - x3 +3x (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàn số (1)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (1) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = - 9x
ĐS: y = -9x 16
Bài 6. Cho hàm số y= (1) (m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0.
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiêủ. Với giá trị nào của m thì khoảng các giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10.
HD: - Tính y’ suy ra điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu.
 - Dùng ĐL Viet tìm quan hệ về toạ độ của các điểm cực trị và cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị chúng bằng 10. Từ đó suy ra m.
Bài 7. (ĐH-CĐ khối A năm 2004) Cho hàm số y= (1)
Khảo sát hàm số (1).
Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
HD: - Lập phương trình hoành độ giao điểm là : =m.
Tìm điều kiện của m để có hai hoành độ giao điểm.
Dùng ĐL Viet để tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo m, từ đó suy ra m.
Bài 8. 
Khảo sát sự biến thiên của hàm số y=x+1+ (C)
Tìm những điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
HD: - Đặt toạ độ điểm thuộc (C) là M(a;) với a>1..Lập phương trình tiếp tuyến tại M. 
Xác định toạ độ giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận.
Tính chu vi tam giác , từ đó suy ra giá trị của a để chu vi tam giác nhỏ nhất.
Bài 9. Cho hàm số y=mx3-3mx2+(2m+1)x+3-m
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=4.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định. 
HD: - Tính y’, từ đó suy ra điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu.
 -Toạ độ cực trị thoả mãn hệ:. Từ hệ ta phân tích y theo y’ suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
-Tìm điểm cố định mà đường thẳng đi qua.
Bài 10. Tìm m để đường thẳng y=mx-1 (d) cắt đồ thị y= (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
HD: - Lập phương trình hoành độ giao điểm.
- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn -1.(hàm số có tiệm cận đứng x=-1 nên một nhánh đồ thị có x>-1, nhánh kia có x<-1). 
Bài 11. Cho hàm số y= (C)
Chứng minh rằng nếu tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M cắt hai đường tiệm cận của đường cong tại hai điểm A và B thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Gọi I là tâm đối xứng của đường cong (C) . Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích không đổi khi điểm M di động trên đường cong (C) . Có nhận xét gì về tích IA.IB ?
Tìm trên đường cong (C) các cặp điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng y= x-1.
HD:- Do M thuộc (C) nên có toạ độ dạng M(a; a+2+)..Lập phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M, xác định toạ độ giao điểm với các tiệm cận .Từ đó kiểm tra điều kiện M là trung điểm của AB.
 -Tính diện tích của tam giác từ công thức S=ha . Từ công thức S= absinC suy ra tích IA.IB
 - Gọi cặp điểm đối xứng là M1 và M2Khi đó phương trình đường thẳng qua M1M2 có dạng y= -x +m Lập phương trình hoành độ giao điểm. Sử dụng ĐL Viet tìm toạ độ trung điểm của hai giao điểm.Thay toạ độ trung điểm vào đường thẳng y = x-1 tìm m. Thử lại kết quả với m tìm được. 
Bài 12. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = 
1. Chứng minh rằng có một điểm I cố định là tâm đối xứng của đồ thị (Cm) với mọi m.
2. Tìm giá trị m sao cho đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = m
HD:1. - Xác định các đường tiệm cận 
 - Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận 
 2. - Lập hệ phương trình hoành độ tiếp điểm
 - Tìm điều kiện của m để hệ phương trình hoành độ tiếp điểm có nghiệm 
ĐS: 1. I(2; 1)
 2. m = 3
Bài 13. Cho hàm số y = 4x3 - mx2 - 3x
1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0
 b) Phương trình có bao nhiêu nghiệm.
2. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số luôn thuộc một đường cong cố định khi m thay đổi.
HD: 1.b) - Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = 
 và đồ thị hàm số y = 
 - Đồ thị hàm số y = suy ra từ đồ thị (C) .
 - Đồ thị là nửa đường tròn đơn vị
ĐS: 1b). 2
 2. y = -2x3 - x
Bài 14. Cho hàm số y = x3 - 3kx2 + (k - 1) x + 2 (Ck)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi k = 1
2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : x2 - 2x - 2 = 
HD: 1. Khi k = 1 vẽ đồ thị (C1) : y = x3 - 3x2 + 2
 2. - Phương trình x2 - 2x - 2 = 
 - Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
 y =f(x) = và đường thẳng y = m
 - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) từ đồ thị (C1)
Bài 15. Cho hàm số y = 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
2. Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại A, B sao cho AB = .
HD: 2. - Lập phương trình hoành độ giao điểm
 - Tìm điều kiện để có hai giao điểm
 - Xác dịnh toạ độ hai giao điểm A, B (Sử dụng ĐL Viet)
 - Từ AB = suy ra m
ĐS: m = 1 
Bài 16. (ĐH- CĐ Khối A- 2008) Cho hàm số y = (1) , m là tham số
1. Khảo sát và vẽ dồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của hàm số (1) bằng 450.
HD: 2. - Biến đổi hàm số về y = mx - 2+ 
 - Tìm điều kiện để hàm số có hai đường tiệm cận 
 - Tìm giới hạn suy ra tiệm cận
 - Dùng công thức tính cosin góc giữa hai đường tiệm cận suy ra m.
ĐS: m = 
Bài 17. (ĐH-CĐ Khối B-2003) Cho hàm số y = x3 -3x2 +m (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.
HD: 2. - Hàm số (1) có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ tồn tại x0 0 sao cho
 y(-x0) = -y(x0) 
 - Từ y(- x0) = - y(x0) suy ra 3x02 = m
ĐS: m> 0.
Bài 18. Cho hàm số y = (1)
1. Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Gọi I là giao điểm haiđường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
HD: 2. - Tìm toạ độ I
 - Đặt toạ độ M( x0; y0) suy ra hệ số góc tiếp tuyến tại M là k = y'(x0).
 - Tìm hệ số góc của đường thẳng IM là k' = 
 - Từ điều kiện k. k' = - 1 suy ra toạ độ M
ĐS: M( 0; 1), M(2; 3).
Bài 19. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình = 
ĐS: 2. * 0<m ≠1 hoặc -1 ≠ m< 0 : Pt có 2 nghiệm
 * m = 0 : Pt vô nghiệm
 * m = ± 1: Pt có một nghiệm
Bài 20. Cho hàm số y = (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
2. Tìm tất cả những điểm thuộc đồ thị trên có toạ độ là những số nguyên.
ĐS: 2. (0; 3). (-2; -7),(1; 2), ( -3;- 6), (3; 3), (- 5; -7).
Bài 21. Cho hàm số y = (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m \= -1
2. Tìm m để đườnh thẳng (d): y = -x - 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng D:y = x
HD: 2. - Lập pt hoành độ giao điểm của (d) và (1).
 - Tìm đk để có hai nghiệm . Dùng ĐL Viet tìm liên hệ giữa toạ độ các giao điểm.
 - Để hai giao điểm đối xứng nhau qua D thì trung điểm của hai giao điểm nằm trên 
ĐS: 2. m = 1