Bài tập về hình học không gian bài tập ôn tập chương I

Bài tập về hình học không gian
Bài tập ôn tập chương I
 Vấn đề 1: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó, là giao tuyến của hai mặt phẳng.
áp dụng:
Bài 1: Cho một điểm S ở ngoài mặt phẳng () và 4 điểm A, B, C, D nằm trong (); AB và CD không song song. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
HD: AB CD = {I} ; (SAB) (SCD) = SI
Bài 2: Cho hai đoạn thẳng AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng, M là một điểm trên AB, và N là một điểm trên CD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB).
HD: (MCD) ((NAB) = MN
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC, K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt phẳng (ACD) và (ABD).
HD: JK CD = {H} (IJK) (ACD) = IH
IH AD = {E} (IJK) (ABD) = KE
Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b. M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC.
 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
HD: a. (IBC) (JDA) = IJ
b. BI MD = {P}; CI DN ={Q}; (DMN) (IBC) = PQ
Bài 5: Cho tứ diện ABCD và D, E, F là trung điểm của AB, BC, SA.
a. Tìm giao tuyến d1 của 2 mặt phẳng (SDC) và (SAE).
b. Tìm giao tuyến d2 của 2 mặt phẳng (SDC) và (BFC).
c. d1 và d2 có cắt nhau không ?
HD: a, (SDC) (SAE) = SG = d1
b, BF SD = {K} (SDC) (BFC) = CK = d2
c, d1 d2 ={ I}
Bài 6: Chứng minh rằng có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng cho trước đôi một chéo nhau.
Bài 7: Cho 2 đường thẳng d1 và d2 không nằm trong một mặt phẳng. Lấy điểm A trên d1 và điểm B trên d2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A,d2) và (B, d1).
HD: (A, d2) (B, d1) = AB
Bài 8: Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a. Chứng minh IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau.
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD).
c. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
HD: Dùng phương pháp phản chứng.
Giả sử IB và JA không chéo nhau, thì IB và JA nằm trong cùng 1 mp, 
 nằm trong 1 mp trái với giả thiết.
Vậy IB và JA chéo nhau.
Câu b,c tương tự bài tập 3.
Bài 9: Gọi là mặt phẳng xác định bởi 2 đường thẳng a, b cắt nhau tại O, và c là một đường thẳng cắt mp() tại I khác O.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và ().
b. Gọi M là một điểm trên c và không trùng với I. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao tuyến này luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c.
HD: a, (O,c) () = OI
b, (M, a) (M, b) = OM, OM (O, c).
Bài 10: Cho 2 đường thẳng a, b chéo nhau và một điểm M không thuộc 2 đường thẳng đó. Hãy dựng một đường thẳng đi qua M và cắt cả 2 đường thẳng a, b.
Vấn đề 2: Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Phương pháp: 
+ Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Lúc đó chúng nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng.
+ Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.
áp dụng:
Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF không nằm trong cùng một mặt phẳng, AB cắt DE tại M; BC cắt EF tại N; AC cắt DF tại L. Chứng minh: M, N, L thẳng hàng.
HD: Cần chứng minh 
M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (ABC) và (DEF).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD; E,F,G là 3 điểm lần lượt trên AB, AC, AD. Gọi M, N , L là giao điểm lần lượt của BC và EF; CD và FG; BD và EG. Chứng minh: M, N, L thẳng hàng.
HD: Cần chứng minh 
M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (BCD) và (EFG).
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui.
Bài 4: Cho 2 mặt phẳng () và () cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy 2 điểm A, B thuộc mp(), nhưng không thuộc d và một điểm O không thuộc () và (). Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt () tại A’, B’. Giả sử đường thẳng AB cắt d tại C.
a. Chứng minh 3 điểm O, A, B không thẳng hàng.
b. Chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng, và từ đó suy ra 3 đường thẳng AB, A’B’ và d đồng qui.
Bài 5: Chứng minh rằng nếu 3 đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng và vắt nhau từng đôi một thi chúng đồng qui.
Bài 6: Cho tam giác ABC nằm ngoài mặt phẳng (); cho biết 3 cạnh của tam giác kéo dài cắt () tại I, J, K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi A’ và B’ là trọng tâm của hai tam giác BCD và ACD, I là trung điểm của CD.
a. Chứng minh rằng 2 đường thẳng AA’ và BB’ giao nhau tại G.
Suy ra 4 đường thẳng nối từ mỗi đỉnh của tứ diện đến trọng tâm của mặt đối đồng qui.
b. Chứng minh rằng A’B’ song song với AB và tính .
Bài 8: Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng không thuộc đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD), ta vẽ một đường thẳng qua I cắt 2 đoạn thẳng CB và CD lần lượt tại M và N.
a. Chứng minh 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc mặt phẳng.
b. Gọi O1 là giao điểm của 2 đường thẳng BN và DM, O2 là giao điểm của hai đường thẳng BL và DK và J là giao điểm của 2 đường thẳng LM và KN. Trong 5 điểm A, C, J, O1, O2 có ba bộ ba điểm nào thẳng hàng không ?
c. Giả sử 2 đường KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H thuộc đường thẳng AC.
HD: a, K, L, M, N (IMK)
b, (ABN) (ADM) = AJO1 
(BCL) (CDK) = CJO2
c, (ABC) (ADC) = ACH
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng A’C’, B’D’ và SI đồng qui.
HD: A’C’ B’D’ = {K}
K A’C’ (SAC), K B’D’ (SBD)
mà (SAC) (SBD) = SI K SI
A’C’ , B’D’ và SI đồng qui
Vấn đề 3: Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Phương pháp: Cho đường thẳng d và mp(). Giả sử d cắt (). Muốn tìm giao điểm của d và (), ta chọn mặt phẳng phụ chứa d, cắt () theo giao tuyến (d) dễ nhìn thấy. Trong mp phụ () , d cắt () tại I. Đí là giao điểm của d và mp().
áp dụng:
Bài 1: Cho tứ diện OABC. Trên các cạnh OA, OB, OC, ta lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng B’C’ với mp(OAM).
b. Đường thẳng OM với mp(A’B’C’).
HD: a, có AM BC = {K}, B’C’ OK = {H}
H là giao điểm của B’C’ với (OAM)
b, OM A’H = {E} E là giao điểm của OM với (A’B’C’).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC, K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mp(MNK).
HD: NK CD = {I}
IM AD = {J}
AD (MNK) = {J}
Bài 3: Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn thẳng BD, ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD.
Tìm giao điểm của:
a. Đường thẳng CD với mp(MNP).
b. Đường thẳng AD với mp(MNP).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, dáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
a. Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh: IA = 2IM.
b. Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD.
c. Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD).
Vấn đề 4: Cách tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động
Phương pháp:
+ Gọi 2 đường thẳng di động d và d’, d d’ = {M}. Muốn tìm tập hợp M ta làm như sau:
Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d’, M di động trên giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó.
+ Giới hạn (nếu có).
+ Phần đảo.
 áp dụng:
Bài 1: Cho một mặt phẳng (P) và 2 đường thẳng d1 và d2 đồng qui tại O. Hai điểm A và B cố định ở ngoài mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) lưu động qua AB cắt d1 tại M và d2 tại M. Tìm quỹ tích giao điểm I của Am và BN.
 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là tứ giác, AB và CD không song song, M là một điểm di động trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt SC tại N. 
Tìm tập hợp giao điểm của Am và DN.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P)lưu động qua AB cắt SC và SD lần lượt tại E và F. Tìm tập hợp giao điểm M của AE và BF.
Bài 4: Cho 2 đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại O và một đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng với d1 và d2. M là một điểm trên . Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (M,d1) và (M,d2). Tìm quỹ tích của giao tuyến khi M lưu động trên .
 Vấn đề 5: Cách xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng
Phương pháp: Cho hình chóp S.A1,A2, A3,,An và mp(). Nếu () cắt một mặt nào đó của hình chóp (mặt bên hay mặt đáy) thì () sẽ cắt mặt này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của () với mặt đó.
Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau, tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện. Như vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (), ta tìm các đoạn giao tuyến (nếu có). Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần tìm.
Vận dụng:
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ giác ABCD với mp(HKM).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BC trong tam giác BCD, ta lấy điểm M sao cho 2 đường thẳng KM và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện ABCDE với mp(HKM).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD, ta lấy một điểm M.
a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b .Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM).
Bài 4: Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh CB và CD là một điểm bất kỳ trên cạnh SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MHK).
Bài 5: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a, kéo dài BD một đoạn EF = a. Gọi M là trung điểm của AB.
a. Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF).
b. Tính diện tích thiết diện.