Bài tập Ứng dụng định lý Lagrăng

øng dông ®Þnh lý Lagr¨ng
Cho m > 0 vµ Chøng minh r»ng ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm thuéc (0 ; 1)
HD: XÐt hµm sè 
Chøng minh r»ng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = 0 lu«n cã nghiÖm "a,b,c,d Î R.
HD: XÐt hµm sè 
 ¸p dông §L Lagr¨ng.
Gi¶i PT: 2000x + 2002x = 2.2001
HD: XÐt hµm sè f(t) = (t + 1)x - tx Theo §L Lagr¨ng $ aÎ (2000; 2001) sao cho f’(a) = 0.
Cho a - b + c = 0. Chøng minh r»ng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = 0 cã Ýt nhÊt 4 nghiÖm thuéc [0; p].
HD: ¸p dông “Cho F(x) cã ®¹o hµm f(x) trªn (a;b) . Chøng minh nÕu F(x) = 0 cã hai nghiÖm th× f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc (a; b).”
CM: Gäi a, b lµ hai nghiÖm cña PT F(x) = 0. Ta cã F(a) =F(b) = 0.
 Theo §L Lagr¨ng $ x0 Î (a; b) sao cho f(x0) = F’(x0) = 
Gi¶i: XÐt hµm sè:
C/M: F(x) = 0 cã Ýt nhÊt 6 nghiÖm thuéc [0; p].Ta c/m F’(x) = 0 cã Ýt nhÊt 5 nghiÖm thuéc [0; p]. Ta c/m F’(x) = 0 cã Ýt nhÊt 4 nghiÖm thuéc [0; p].
Cho a,b,c ¹ 0 tho¶ m·n . Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè y = a.x4 + bx2 + c lu«n c¾t trôc hoµnh Ýt nhÊt t¹i mét ®iÓm cã hoµnh ®é thuéc (0 ; 1).
CMR: "a,b,c tuú ý. PT sau lu«n cã nghiÖm trong (0; 2p). a.Cos3x + b.Cos2x + c.Cosx + Sinx = 0. 
CMR: "a,b,c,d kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng. PT sau lu«n cã nghiÖm a.Cos4x + b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = 0.
Cho f(x) = Sinx.(2x-1 - 1)(x - 2). Chøng minh r»ng PT: f’’(x) = 0 lu«n cã nghiÖm.
GPT: (1 + Cosx)(2 + 4Cosx) = 3.4Cosx
Cho ®a thøc P(x) cã n nghiÖm ph©n biÖt x1;x2; . . . xn . CMR
 a, 
 b, 
Cho hµm sè f(x) = (x2 - 4)(x + 1)(x - 3). CMR ph­¬ng tr×nh f’(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
Cho hµm sè f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Víi a<b<c<d<e. Chøng minh PT f’’(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
Cho m>0; n> 0 vµ f(x) = 2 + xm(x - 1)m. CMR PT f’(x) = 0 cã nghiÖm x Î (0; 1)
Cho 2b + 3c = 0. CMR ph­¬ng tr×nh: aCos2x + b.Cosx + c = 0 lu«n cã nghiÖm thuéc (0; ).
Cho tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0). BiÕt r»ng f(x) = x v« nghiÖm. 
CMR: a.[f(x)]2 + b.[f(x)] + c = 0 v« nghiÖm.
Cho 0 < b < a. CMR 
Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn R vµ f’’(x) ³ 0 "x Î R Chøng minh r»ng "a,b Î R(a < b) th× 
Chøng minh r»ng: ln(1 + x) 0
CMR: "0 < b < a < .
Cho a < b < c . CMR: 
HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => $x1; x2 sao cho a?
Cho n ; CMR: 
HD: §Æt f(x) = lnx
CMR
a) |sin a - sin b| £ |a - b|" a,b Î R
b) sin x 0
c) ex > x + 1 " x > 0
d) tg x > x " x Î( 0; p/2)
e) 
f) 
Cho f(x) liªn tôc trªn [a ; b] vµ f’(x) = 0 "x Î(a; b) . CMR: f(x) º 0.
Cho f(x) kh¶ vi trªn [a ; b] vµ f’(x) = 0 cã ®óng 1 nghiÖm x0 Î[a; b]. CMR: f(x)= 0 kh«ng thÓ cã qu¸ hai nghiÖm ph©n biÖt.
Cho x> 1 vµ a> 1. CMR: xa - 1> a(x - 1)
Cho 0 1.CMR: n.an-1(b - a) < bn - an < n. bn-1(b - a)
Cho x, y, z ³ 0 tho¶ m·n x + y + z > 0 T×m GTLN, GTNN cña 
HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Gi¶ sö x + y + z = 1
GTLN: 
GTNN: 
C
C
C
C
C
C
Sö dông ®¹o hµm chøng minh bÊt ®¼ng thøc
CMR: 
HD: ChuyÓn vÕ ®Æt f(x) tÝnh f’(x); f’’(x)
CMR: 
HD: §Æt f(x) = 
CMR: 
HD: §Æt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
 Cho a, b > 0. CMR:
CMR: 
CMR: " x> y> 0
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: nhän
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
Cho 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: 
CMR: x.Sin x + Cos x > 1; "xÎ(0; p/2)
CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); "0 < a < b < p/2
CMR: 
CMR: NÕu x ³ 0 vµ a > 0 th× . Tõ ®ã c/m 
C
C
C
C222222