Bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Tính đơn điệu của hàm số
1/ y = 
6/ y = x + 
2/ y = 
7/ y = 2x - 1 - 
3/ y = 
8/ y = 1 + 
4/ y = x + 1 - 
9/ y = 
5/ y = 
10/ y = 
Bài 7 : Các hàm số khác 
1/ y = 
6/ y = 9x7 - 7x6 + 
2/ y = 
7/ y = 
3/ y = 
8/ y = 
4/ y = x3 - 
9/ y = 
Bài toán 3 : Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập D nào đó .
2. Bài tập áp dụng 
1/ Với giá trị nào của m để hàm số y = x + 2 + đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 
2/ Với giá trị nào của m để hàm số y = 
a/ Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 
b/ Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó .
3/ Với giá trị nào của m để hàm số y = 
a/ Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 
b/ Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó .
4/ Tìm a để hàm số y = luôn luôn đồng biến . 
5/ Tìm m để hàm số y = -(m2+5m)x3 + 6mx2 + 6x - 5 đơn điệu trên R . Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ? 
6/ Tìm a để hàm số y = nghịch biến trên R ? 
7/ Tìm a để hàm số y = x3 + ax2 + 3x - 5a + 2 đồng biến trên R ? 
8/ Cho hàm số y = 3ax - x3 + 2a + 1 . Với giá trị nào của a thì hàm số 
a/ Nghịch biến trên R 
b/ Nghịch biến trên nửa khoảng [2;+ Ơ) . 
10/ Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 đồng biến trên tập xác định ? 
11/ Tìm a để hàm số y = ax - x3 nghịch biến trên R . 
12/ Tìm m để hàm số y = x3 + ax2 + 4x + 3 đồng biến trên R . 
13/ Với giá trị nào của m để hàm số y = 2ax - sin2x đồng biến trên R . 
14/ Tìm b để hàm số y = sinx - bx + c nghịch biến trên toàn trục số .
Bài toán 5 : Chứng minh bất đẳng thức nhờ sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
1. Nhận dạng : Bất đẳng thức chứa hai loại hàm khác nhau (lượng giác và đa thức)
2. Cách làm 
 Chứng minh bất đẳng thức : A(x) > B(x) với x ẻ D 
ã Biến đổi : A(x) > B(x) Û A(x) - B(x) > 0 
ã Đặt f(x) = A(x) - B(x) với x ẻ D và tính đạo hàm f'(x) 
ã Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên D . Khi đó 
 x > x1 Û f(x) > f(x1) hoặc f(x) < f(x1) với x1 ẻ D và f(x1) = 0 
3. Bài tập 
Chứng minh các bất đẳng thức sau nhờ tính đơn điệu của hàm số 
1/ 2x < sin2x + tanx với x ẻ 
7/ với "x > 0 
Gợi ý : Chứng minh sinx > x - với "x > 0 
2/ sinx > x - với "x > 0 
9/ tanx > x với x ẻ 
3/ xcosx - sinx < 0 với "x ẻ 
4/ với "x ẻ 
10/ tanx > x + với x ẻ 
5/ với "x ẻ 
11/ cosx > 1 - với "x ≠ 0 
6/ tanx > sinx với "x ẻ 
12/ 1+ với x>0
Cực trị của hàm số
3. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
a/ Định lý 1 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, x0 là điểm cực trị của hàm số . Nếu hàm số f tồn tại đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0 
Bài toán 1 : Tìm cực trị của hàm số
Sử dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của các hàm số sau :
1/ y = 2x3 - 9x2 + 12x + 3
3/ y = 4x3 + x - 1
2/ y = - x3 + x2 + 6x - 3 
4/ y = - 5x3 + x2 - 4x + 7
Bài 5 : Hàm số vô tỉ 
1/ y = 
8/ y = x + 
2/ y = 
9/ y = 2x - 1 - 
3/ y = 
10/ y = 1 + 
4/ y = x + 1 - 
11/ y = 
Bài 7 : Các hàm số khác 
1/ y = 
8/ y = (x-1)8 + 1000
2/ y = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 10 
9/ y = 
3/ y = 
10/ y = 
4/ y = x3 - 
11/ y = 
5/ y = 
12/ y = 
6/ y = (x+2)2(x-3)3
13/ y = 
7/ y = 
14/ y = x-3 + 
Bài 8 : Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 
1/ y = ỗxỗ
3/ y = x ỗx-2ỗ
2/ y = ỗxỗ(x+2)
4/ y = x2 - 2 ỗxỗ + 2
Bài 9 
1/ y = 
1/ y = 
2/ y = 9x7 - 7x6 + 
2/ y = 
Bài 10 : Hàm số lượng giác 
1/ y = x + cox2x
6/ y = x - sin2x + 2
2/ y = sinx
7/ y = 3 - 2cosx - cos2x
3/ y = sinx - cosx
8/ y = 2sin2x - 3
4/ y = 2sinx + cos2x , x ẻ[0; p]
9/ y = sinx + cosx , x ẻ(- p ;p)
5/ y = cos2x
10/ y = sin2x - cosx , x ẻ [0; p]
Bài toán 2 : Điều kiện để hàm số có cực trị tại một điểm
. Bài tập vận dụng 
1/ Cho hàm số y = x3 - mx2 + + 5 . Tìm m để hàm số có cực trị tại điểm 
x = 1. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu . Tính cực trị tương ứng ? 
2/ Cho hàm số y = - (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 5 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 . 
3/ Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .
4/ Cho hàm số y = x3 + ax2 - a2x + 5a - 1 . Tìm a để hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 1
5/ Cho hàm số y = mx3 - mx2 + 1 . Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu khác 0 . 
6/ Tìm các hệ số m, n sao cho đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + mx + n nhận điểm (3;-32) làm điểm cực tiểu . 
7/ Tìm m để hàm số y = đạt cực đại tại điểm x = 2 .
8/ Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = đều là những số dương và x0 = - là điểm cực đại . 
9/ Tìm các hệ số a,b,c,d của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0 , f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1 , f(1) = 1 .
10/ Xác định các hệ số a,b,c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = - 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0) . 
11/ Tìm các hệ số a;b;c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại x= 1;
f(1) = - 3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . 
12/ Tìm các số thực m, n sao cho hàm số : f(x) = x + m + đạt cực đại tại điểm 
x = - 2 và f(-2) = - 2 . 
13/ Tìm m để hàm số y = x3 - 2mx2 + m2x - 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .
14/ Cho hàm số y = . Tìm a,b,c biết rằng hàm số đạt cực trị bằng 1 tại điểm 
x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = . 
15/ Cho hàm số y = (x-m)3 - 3x . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 
x = 0 . 
16/ Tìm các hệ số m,n sao cho hàm số y = - x3 + mx + n đạt cực tiểu tại điểm x = - 1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1;4) .
17/ Cho hàm số y = x3 + (m+3)x2 + 1 - m . Tìm m để hàm số có điểm cực đại là x = - 1 .
18/Tìm m để đạt cực tiểu tại x = 2
19/Tìm m để đạt cực tiểu tại x = 2
Bài toán 3 : Cực trị của hàm số bậc ba
B. Bài tập áp dụng 
1/ Tìm m để hàm số y = x3 + mx2 - 3 luôn có CĐ, CT ?
2/ Chứng minh rằng hàm số sau luôn có cực trị với "m : y = x3 - mx2 - 2x + 1 
3/ Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 . Tìm m để hàm số có một CĐ, một CT ? 
4/ Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1-m2)x + m3 - m2 . Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ? 
5/ Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4m . Chứng minh đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị , Khi đó xác định m để một trong hai điểm cực trị này thuộc trục hoành . 
6/ Cho hàm số y = (m2 + 1)x3 - 3(m2 + 1)x có đồ thị (Cm) . Tìm m để tung độ của điểm CT là lớn nhất ? Với m tìm được , nhận xét về tung độ của điểm CĐ của (Cm) .
7/ Cho hàm số y = x3 - 3(m+1)x2 + 3m(m+2)x + 1 . Chứng minh rằng hàm sô luôn có CĐ, CT . Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại các điểm có hoành độ dương ? 
8/ Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu 
a/ b/
9/CMR với mọi m hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 với x1 – x2 không phụ thuộc m
11/Tìm m để không có cực trị
14/Tìm m để có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
15/Tìm m để có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2 .
17/Tìm a để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn 
18/Cho hàm số 
a/Tìm a để hàm số luôn đồng biến
b/Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn 
19/Tìm m để hàm số 
Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đường thẳng y = x .
21/ Tìm m để hàm số sau không có cực trị : y = mx3 - 3mx2 + (2m+1)x + 3 - m 
22/ Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + (2m-1)x + 2 có hai điểm cực trị dương .
23/ Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + (m+6)x + 5 có hai điểm cực trị dương .
Bài toán 4 : Cực trị của hàm trùng phương
B. Bài tập vận dụng 
1/ Tìm m để hàm số y = x4 + mx2 - m - 5 có ba điểm cực trị .
2/ Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = - x4 + 2mx2 - 2m + 1 .
3/ Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị : y = x4 - 2mx2 + 2m .
4/ Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại . 
5/ Tìm m để có đúng một cực trị .
Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số
III . Các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Phương pháp chiều biến thiên của hàm số
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trong các trường hợp sau : 
 1/ y = x3 + 5x – 4 trên đoạn [- 3 ; 1]
 2/ y = x4 – 8x2 + 16 trên đoạn [- 1 ; 3]
3/ y = trên nửa khoảng ( - 2 ; 4] 
 4/ y = x + 2 + trên khoảng (1 ; + Ơ) 
5/ y = (3 – x) trên [0 ; 2] 
6/ y = x2ex trên [ - 3 ; 2] 
7/ y = trên [ - ; 3]
8/ y = trên đoạn [3 ; 6] . 
9/ y = x + trên đoạn [0 ; 5] 
10/ y = 1 + trên đoạn [- 3 ; 3] 
11/ y = 2sinx + sin2x trên [0 ; ]
12/ y = x + cosx trên [ 0 ; ] 
Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trong các trường hợp sau : 
1/ y = f(x) = x
2/ y = f(x) = 1 + 4x3 – 3x4
3/ y = f(x) = 3 + 
4/ y = f(x) = x + 
5/ y = f(x) = max = 
6/ y = f(x) = 
 7/ y = f(x) = x + 
Nhận xét : ở bài này không cho trên miền D cụ thể nào nên ta xét trên TXĐ của các hàm số . Phương pháp đặt ẩn phụ
b) Một số phép biến đổi hay dùng 
ã sin2x + cos2x = 1
ã cos2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x
ã sin4x + cos4x = 1 - sin22x
ã (a - )(a + ) = a2 – b 
ã sin3x + cos3x = (sinx + cosx)(1 – sinxcosx)
ã sin3x – cos3x = (sinx – cosx)(1 + sinxcosx)
d) áp dụng 
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trong các trường hợp sau : 
1/ y = cos3x – 6cos2x + 9cosx + 5
2/ y = sin3x – cos2x + sinx + 2
3/ y = 2sinx - sin3x trên đoạn [0 ; p]
4/ y = (3sinx – 4cosx – 10)(3sinx + 4cosx – 10)
5/ y = 2(sin3x + cos3x) + 8sinxcosx
6/ y = 2(1+sin2xcos4x)-(cos4x – cos8x)
7/ y = 
9/ y = 
10/ y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1
11/ y = 2cos2x - 3cosx – sin2x + 5
12/ y = 2sin8x + cos42x 
13/ y = sin6x + cos6x + 4sinxcosx
14/ y = (2 + )2x + (2 - )2x – 8[(2 + )x +(2 - )x ]
15/ y = sin5x - 3cos2x + 2
16/ y = 
Phương pháp miền giá trị của hàm số
đường tiệm cận của đồ thị hàm số
I.Phần lý thuyết 
1. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
1.1.Định nghĩa
Đường thẳng y = y0 gọi là đường tiệm cận ngang (tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau : 
ã 
ã 
Hình vẽ minh hoạ
1.2.Các chú ý về tiệm cận ngang 
ã Vì sao có tên gọi là tiệm cận ngang ? 
ã Tập xác định của hàm số là các khoảng vô hạn : (- Ơ ; a) ; (b ; + Ơ) hoặc (- Ơ ; + Ơ) .
ã Nếu kết quả của các giới hạn ; là vô cùng thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang . 
ã Đồ thị hàm số đa thức(bậc nhất,bậc hai, bậc ba, trùng phương, ) , hàm phân thức mà bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu  không có tiệm cận ngang . 
1.3.Cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) 
ã Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số . Nếu tập xác định là khoảng vô hạn thì chuyển sang bước 2 .
ã Bước 2 : Tìm các giới hạn ; nếu kết quả là một số y0 thì ta kết luận đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x đ + Ơ hoặc khi x đ - Ơ 
hoặc khi x đ + Ơ và khi x đ - Ơ .
ã Chú ý : Với m, n ẻ N và m > n 
 Tính = =
2. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
1.1.Định nghĩa
Đường thẳng x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng (tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau : 
ã 
ã 
ã 
ã 
Hình vẽ minh hoạ
2.2.Các chú ý về tiệm cận đứng 
ã Vì sao có tên gọi là tiệm cận đứng ? 
ã Các hàm số có tập xác định là R thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng .
ã Nếu đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x0 điểm mà hàm số không xác định hay x0 thường là nghiệm của mẫu số .
ã Hàm số phân thức mà mẫu có nghiệm thì đồ thị của nó mới có khả năng có tiệm cận đứng . 
2.3.Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f( ... i , cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng D : x + y + 2 = 0 .
18/ Cho hàm số y = (C) . Tìm trên (C) điểm có khoảng cách đến I là nhỏ nhất . ( với I là tâm đối xứng của (C)) . 
19/ Cho hàm số y = x3 - mx2 - x + m + 1 (Cm) . Chứng minh rằng hàm số luôn có CĐ, CT với mọi m . Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của (Cm) là nhỏ nhất . 
20/ Cho hàm số y = (C) . Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục toạ độ . 
21/ Cho hàm số y = (Cm) . Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên của (Cm) . Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất . 
22/ Cho hàm số y = (C) . Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất . 
23/ Cho hàm số y = (C) .Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất . 
Bài toán 8 : Đối xứng
I. Phần lý thuyết 
1. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
1.1. Nhận xét : Hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng .
1.2. Chứng minh điểm I(x0;y0) làm tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) 
ã Phép đổi hệ trục toạ độ 
 + Đặt 
 + Thay x, y vào hàm số y = f(x) , biến đổi đưa về dạng Y = g(X) .
 + Ta chứng minh hàm số Y = g(X) là hàm số lẻ trong hệ toạ độ IXY .Khi đó đồ thị đối xứng với nhau qua điểm gốc toạ độ I trong hệ toạ độ IXY . 
 Vậy I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ toạ độ Oxy.
1.3. Các chú ý 
ã Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 
ã Đồ thị hàm số bậc nhất/bậc nhất y = nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng . (tiệm cận đứng và ngang) . 
ã Đồ thị hàm số bậc hai/bậc nhất y = nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng . ( tiệm cận đứng và xiên) .
2. Trục đối xứng của đồ thị hàm số
2.1. Nhận xét 
Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng với nhau qua trục tung (trục Oy) .
2.2. Chứng minh đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số 
 y = f(x) 
ã Phép đổi hệ trục toạ độ 
 + Đặt 
 + Thay x, y vào hàm số y = f(x) , biến đổi đưa về dạng Y = g(X) .
 + Ta chứng minh hàm số Y = g(X) là hàm số chẵn trong hệ toạ độ IXY .Khi đó đồ thị đối xứng với nhau qua trục IY trong hệ toạ độ IXY . 
 Vậy đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ toạ độ Oxy.
3. Chứng minh đường thẳng d : y = ax + b là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) .
ã Lấy một điểm M ẻ (C) bất kỳ . Gọi M' là điểm đối xứng của M qua d . 
ã Ta chứng minh M' ẻ (C) .
4. Hai điểm đối xứng với nhau 
4.1. Hai điểm M1(x1;y1) và M2(x2;y2) gọi là đối xứng với nhau qua điểm I Û I là trung điểm của M1M2 .
ã Biểu thức toạ độ : 
4.2.Hai điểm M1(x1;y1) và M2(x2;y2) gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d Û d là trung trực của M1M2 Û M1M2 ^ d và trung điểm I của M1M2 thuộc d .
II. Bài tập áp dụng 
Bài 1 : 
1/ Chứng minh đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng .
2/ Chứng minh rằng đường thẳng x = - 1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số 
 y = x4 + 4x3 + 4x2 . 
3/ Chứng minh rằng đường thẳng x = 1 là trục đối xứng của đồ thị hàm số 
 y = x4 - 4x3 + 5x2 - 2x + 1 .
4/ Chứng minh rằng đường thẳng y = - x và y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số 
y = 
Bài 2 : Tìm m để đồ thị các hàm số sau có trục đối xứng song song với trục tung 
1/ y = x4 + 4x3 + mx2 (m = 4) 
2/ y = x4 + (m+3)x3 + 2(m+1)x2 (m = 1 ; m = - 3) 
3/ y = x4 + 4mx3 - 2x2 - 12mx (m = 0 ; m = -1 ; m = 1)
Bài 3 : 
1/ Cho hàm số y = (C) . Tìm toạ độ hai điểm A, B trên (C) và đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x - y + 4 = 0 .
2/ Cho hàm số y = (C) . Tìm toạ độ hai điểm A, B trên (C) và đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x - y - 1 = 0 .
3/ Cho hàm số y = (C) . Tìm toạ độ hai điểm A, B trên (C) và đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x - y = 0 .
4/ Cho hàm số y = (C) . Tìm toạ độ hai điểm A, B trên (C) và đối xứng với nhau qua đường thẳng d : y = x - 1 . 
5/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để đường thẳng d : y = - x + 4 cắt (Cm) tại hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d : y = x .
6/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để (Cm) có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ .
7/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để (Cm) có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ .
8/ Cho hàm số y = x3 - 3x2 + m2x + m (Cm) . Tìm m để (Cm) có điểm cực trị và hai điểm cực trị của (Cm) đối xứng với nhau qua đường thẳng d : y = .
9/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để (Cm) có điểm cực trị và hai điểm cực trị của (Cm) đối xứng với nhau qua đường thẳng d : x + 2y + 8 = 0 .
10/ Cho hàm số y = (C) . Viết phương trình đường cong (C1) đối xứng với (C) qua : 
a. Điểm I(1;2) 
b. Đường thẳng d : x + y - 3 = 0 
11/ Cho hàm số y = (C) . Tìm m để đường thẳng dm : y = m(x-5) + 10 cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua điểm M(5;10). 
12/ Cho hàm số y = (C) và điểm M . Đường thẳng d qua M và có hệ số góc m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua điểm M . 
13/ Cho hàm số y = (Cm) 
a. Tìm m để (Cm) có hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) sao cho : 
b. Tìm m để A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng D : x + 5y + 9 = 0 .
14/ Cho hàm số y = x3 - (Cm) .Tìm m để (Cm) có điểm cực trị và hai điểm cực trị của (Cm) đối xứng với nhau qua đường thẳng d : y = x .
15/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để (Cm) có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ .
16/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để tâm đối xứng của (Cm) nằm trên (P) : y = x2 + 1 . 
17/ Cho hàm số y = x(x-m)(x-n) . Tìm mối liên hệ giữa m và n để tâm đối xứng của đồ thị hàm số nằm trên đường cong : y = x3 . 
18/ Cho hàm số y = (C) . Tìm trên (C) nhữn cặp điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ . 
Bài toán 9 : Quỹ tích đại số
I. Phần Lý thuyết
1.Bài toán
Cho điểm M(j(m);y(m)) với m là tham số . Tìm quỹ tích các điểm M 
2. Giải 
ã Gọi các điểm phải tìm quỹ tích là M(x;y) . Dựa vào bài toán ta tìm được 
ã Khử tham số m từ hệ (1), (2) bằng cách rút m từ một phương trình thay vào phương trình còn lại . Khi đó ta được một biểu thức liên hệ giữa x và y . Ví dụ như : y = f(x) hoặc x = g(y) .
Đường y = f(x) hoặc x = g(y) chữa quỹ tích cần tìm .
ã Giới hạn quỹ tích 
Có hai cách giới hạn quỹ tích 
+ Cách 1 : Giới hạn trên biến x
+ Cách 2 : Giới hạn trên biến y 
Dựa vào điều kiện đặt lên tham số m ta suy ra điều kiện đặt lên biến x (hoặc y) . 
Ví dụ tìm được x ẻ D . Khi ấy quỹ tích phải tìm là một phần của đường cong y = f(x) với x ẻ D .
ã Chú ý : Trong những chừng mực nhất định , nếu có thể được ta nên vẽ quỹ tích cần tìm với đầy đủ giới hạn của quỹ tích ấy . 
II. Bài tập áp dụng 
1/ Cho hàm số y = - x3 + 3x2 - 3 (C) và đường thẳng dm : y = mx + m + 1 
a. Tìm m để dm cắt (C) tại ba điểm phân biệt M, N, E trong đó E(-1;1) . 
b. Gọi I là trung điểm của MN . Tìm quỹ tích của I 
2/ Cho hàm số y = x3 + (m + ỗmỗ)x2 - 4x - 4(m + ỗmỗ) (Cm) . Tìm quỹ tích điểm uốn của (Cm) . 
3/ Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) . Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt A, B . Khi đó tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi . 
4/ Cho hàm số y = x4 - 3x2 + (C) 
a. Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ m . Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm của d với (C) là nghiệm của phương trình : (x-m)2(x2+2mx+3m2-6) = 0 
b. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khác M . Khi đó tìm quỹ tích trung điểm I của AB . 
5/ Cho hàm số y = (C) . Gọi d là đường thẳng qua M(-2;2) có hệ số góc m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Khi đó tìm quỹ tích trung điểm I của AB . 
6/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (Cm)
7/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để hàm số có cực trị . Khi đó tìm quỹ tích trung điểm I của hai điểm cực trị của (Cm) . 
8/ Cho hàm số y = (C) . Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau . 
9/ Cho hàm số y = (C) ( a ≠ kp , k ẻ Z) 
a. Viết phương trình tiệm cận xiên của (C) . 
b. Chứng minh rằng tiệm cận xiên đó luôn tiếp xúc với một (P) cố định . Tìm quỹ tích tiếp điểm . 
10/ Cho hàm số y = (C) 
a. Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B . 
b. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB . 
11/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm quỹ tích các giao điểm của (Cm) với hai trục tọa độ . 
12/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm quỹ tích các giao điểm của (Cm) với hai trục tọa độ . 
13/ Cho hàm số y = (C) 
a. Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B . 
b. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB . 
14/ Cho hàm số y = (C) 
 Gọi d là đường thẳng song song với đường thẳng D: y = , d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB . 
15/ Cho hàm số y = (C) . Gọi d là đường thẳng qua M(0;m) và song song với tiếp tuyến của (C) tại O . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB . 
16/ Xét phương trình : x4 - 5x0x2 + 3y0 = 0 với (x0;y0) là toạ độ của điểm M trong mặt phẳng . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng . 
17/ Cho hàm số y = 4x3 - 3x + 1 (C) . 
a. Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1 và d là đường thẳng qua A có hệ số góc m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N khác với A . 
b. Gọi E là điểm ẻ d và có xE thoả mãn : . Tìm quỹ tích điểm E . 
18/ Cho hàm số y = x3 - mx2 + 1 (Cm) . Tìm quỹ tích các điểm cực trị của (Cm) . 
19/ Cho hàm số y = x3 + mx2 - m - 1 (Cm) . Tìm các điểm cố định của (Cm) . Viết phương trình tíêp tuyến của (Cm) tại các điểm đó . Tìm quỹ tích các giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi . 
20/ Cho hàm số y = - x3 + 3x (C) . Gọi d là đường thẳng qua A(3;0) và có hệ số góc m . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A . Tìm quỹ tích trung điểm I của BC khi m thay đổi . 
21/ Cho hàm số y = (C) 
a. Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B . 
b. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán 10 : Một số dạng toán khác
1/ Cho hàm số y = (C) . Tìm các điểm trên (C) có toạ độ nguyên .
2/ Cho hàm số y = (C) . Tìm các điểm trên (C) có toạ độ nguyên .
3/ Cho hàm số y = (C) . Tìm các điểm trên (C) có toạ độ nguyên .
4/ Cho hàm số y = (C) . Tìm m để bất phương trình : mx4 - 4x + m ³ 0 nghiệm đúng với "x .
5/ Cho hàm số y = (Cm) (m ≠ 0 ) . Tìm m để (Cm) đi qua gốc toạ độ . 
6/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để (Cm) không có tiệm cận đứng . 
7/ Cho hàm số y = (Cm) 
a. Chứng minh rằng với "m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu . 
b. Chứng minh rằng trên mặt phẳng tồn tại một điểm duy nhất với tính chất : Nó là điểm CĐ của (Cm) ứng với m nào đó và nó là điểm CT của (Cm) ứng với các giá trị khác của m 
8/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để qua A(0;1) không kẻ được tiếp tuyến nào tới (Cm) .
9/ Cho hàm số y = (Cm) . Tìm m để (Cm) qua điểm A(2;0) . 
10/ Cho hàm số y = x - 1 + (Cm) . Tìm điều kiện cần và đủ để trên mặt phẳng toạ độ tồn tại ít nhất một điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau . 
11/ Cho hàm số y = (x2 - 3)2 + m (Cm) . Tìm m để đường cong (Cm) đi qua điểm I(1;0) . Điểm này có gì đặc biệt . 
12/ Cho hàm số y = (C) . Tìm các điểm trên (C) có toạ độ nguyên . 
---------------- Hết ----------------