Bài tập Tứ giác nội tiếp - Ôn thi vào 10

Bµi 1: (3.5 điểm )
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, C là điểm trên đường tròn (khác A,B). Gọi M là trung điểm của cung BC (cung nhỏ)
Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC
Hướng dẫn giải: vẽ đúng hình theo đề .
Xét góc BAC có :
+Tia AM là tia nằm giữa (1)
 + BAM = MB ; MAC = MC và MB = MC => BAM = MAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AM là phân giác của góc BAC .
Cho biết AC = R. Tính BC, MB
Hướng dẫn giải
 Ta có : ACB = 900 ( vì chắn nửa đường tròn )
Xét vuông ACB , theo pitago : BC =
Ta có : AMB = 900 ( vì chắn nửa đường tròn )
Nối O với C có : AOC là đều ( ví OA=OC=AC=R)
A = BAC =600 ( góc của tam giác đều )
BAM = BAC = . 600 = 300 ( vì AM là phân giác BAC )
Xét tam giác vuông AMB , theo hệ thức trong tam giác vuông ta có:
Giả sử BC cắt AM ở N. Chứng minh : MN.MA = MC2
Hướng dẫn giải
Từ chứng minh trên ta có : AC = BM ( = R) => AC = BM
BCM = AMC (vì cùng chắn 2 cung bằng nhau)
Xét ACM và CNM có :
 CNM = ( có đỉnh trong đường tròn) 
 ACM =(góc nội tiếp)
Mà CM = BM (gt) => góc CNM = góc ACM (1)
 BCM = AMC ( cm trên ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : ACM ∽ CNM (g.g) 
 (đpcm)
Bài 2( 3,0 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng (d) cố định , (d) và đường tròn không giao nhau . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng (d) , M là một điểm thay đổi trên (d) ( M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ( A, B là tiếp điểm) . Dây cung AB cắt OH tại I .
 a) Chứng minh năm điểm O, A, B, H, M cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Chứng minh IH . IO = IA . IB
 c) Chứng minh khi M thay đổi trên (d) thì tích IA . IB không đổi
 Gi¶i
a) Ta có => A, B đường tròn đường kính MO (1)
 và => H đường tròn đường kính MO (2)
Từ (1) và (2) => A, B , H đường tròn đường kính MO 
Hay năm điểm O, A, B, H, M cùng nằm trên một đường tròn đường kính MO.
b) Xét và có :
 ( đối đỉnh)
 ( cùng chắn cung OB do tứ giác AOBHM nội tiếp)
 đồng dạng 
c) Ta có cân taị O vì OA = OB => mà CM trên
 => và là góc chung
 => đồng dạng 
 => 
 => 
Mà IH = OH - OI = 
 Vậy IH . IO = . Do (d) cố định , O cố định => OH cố định => OH2 cố định => IH .IO không đổi 
Mà => IA. IB = IH . IO = không đổi .
Câu 3 (4điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O dường phân giác trong của góc A cắt đường tròn (O) tại điểm M ( khác điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ M của (O) cắt các tia AB và AC lần lượt ở D và E.
Chứng minh: BC song song với DE.
Chứng minh: DAMB~DMEC ; DAMC~DMDB Cho . 
Chứng minh: 
( lưu ý: thí sinh có thể sử dụng định lí Ptô-lê-mê “nếu VLTC là tứ giác nội tiếp, thì VT.LC=VL.TC+VC.LT” để chứng minh ý d ) 
O
C
B
A
M
D
E
1
1
2
1
B'
a) Chứng minh: BC song song với DE.
mà 
Do đó và đồng vị 
nên BC song song DE.
b) Chứng minh: DAMB~DMEC ; DAMC~DMDB .
ta có 
 ( cùng bằng góc )	 (1)
 ( cùng chắn cung ) (2)
 ( đồng vị )	 (3)
từ (2) và (3) suy ra 	 (4)
từ (1) và (4) suy ra DAMB~DMEC (g-g)
* chứng minh tương tự ta có DAMC~DMDB (g-g) - thí sinh phải chứng minh
c) Cho . Chứng minh: 
Vì DAMB~DMEC Þ và AC=CE (gt) nên (5)
Lại có: DAMC~DMDB Þ 	 (6)
từ (5) và (6) suy ra (đpcm)
d) Chứng minh: 
trên tia đối của tia AC lấy điểm B’ sao cho CB’=AB (7)
ta có AM là tia phân giác của góc (gt) Þ (8)
 ( cùng bù góc ) (9)
từ (7), (8) và (9) suy ra DMBA=DMCB’ (c-g-c) 
Þ MA=MB’ 
Mặt khác: 
Theo BĐT tam giác
DAMB’ có AM+MB’>AB’
Mà AB’= AC+CB’=AC+AB
Do đó AM+MB’>AB’=AB+AC
Hay AM+AM > AB+AC Þ 2AM > AB+AC
Þ (đpcm)