Bài tập trắc nghiệm môn Toán Lớp 12 - Thể tích khối đa diện (Có đáp án)

KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Vấn đề 1. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Câu 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và Tính thể tích của khối chóp 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2. Cho hình chóp có tam giác là tam giác vuông cân tại , và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng Tính theo thể tích của khối chóp 
	A. .	B. . 	C. 	D. .
Câu 3. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp có vuông góc với đáy, và . Tính thể tích của khối chóp .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật có cạnh , . Hai mặt bên và cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh . Tính theo thể tích của khối chóp 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 5. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Tính theo thể tích khối chóp 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 6. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và . Cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. ... 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 7. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , . Cạnh bên và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 8. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và có , . Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 9. Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 10. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11. Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Tính theo thể tích của khối chóp đã cho.
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh và thể tích bằng . Tính chiều cao của hình chóp đã cho. 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , . Cạnh bên , hình chiếu của điểm lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền . Tính theo thể tích của khối chóp 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 14. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh bằng góc Cạnh bên Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là điểm thuộc đoạn thỏa Tính thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 15. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Hình chiếu vuông góc của trên là điểm thỏa . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 16. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh . Cạnh bên vuông góc với đáy, góc . Tính thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 17. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , . Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 18. Cho hình chóp có đáy là hình vuông. Cạnh bên và vuông góc với đáy; diện tích tam giác bằng (đvdt). Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 19. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , cạnh huyền bằng . Hình chiếu vuông góc của xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác và . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. .	D. .
Câu 20. Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc . Tính theo thể tích của khối chóp .
A. . 	B. .	C. . 	D. . 
Câu 21. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với , . Đường thẳng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 22. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt phẳng ; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 23. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , góc . Cạnh bên vuông góc với đáy và tạo với đáy một góc . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 24. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh , góc giữa và mặt đáy bằng . Tính thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 25. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Đỉnh cách đều các điểm Biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính theo thể tích của khối chóp 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 26. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , . Cạnh bên vuông góc với đáy . Gọi là trung điểm của , tạo với mặt phẳng góc Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 27. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 28. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ; đỉnh cách đều các điểm Biết ; góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 29. Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , . Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy là trung điểm . Đường thẳng tạo với mặt đáy một góc bằng . Tính thể tích khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 30. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh . Tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác . Đường thẳng hợp với mặt phẳng góc . Tính theo thể tích của khối chóp 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 31. Cho hình chóp có đáy là hình thang cân với cạnh đáy và Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và tạo với mặt phẳng góc . Tính thể tích của khối chóp đã cho.
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 32. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, mặt bên là tam giác vuông tại . Hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là điểm thuộc cạnh sao cho . Biết rằng và tạo với đáy một góc bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 33. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là trung điểm , đường thẳng hợp với đáy một góc . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 34. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt đáy, tạo với mặt phẳng một góc bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 35. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc . Tính thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 36. Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 37. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc đáy và mặt bên hợp với đáy một góc bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 38. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật, , vuông góc với đáy và mặt phẳng tạo với đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 39. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. .	D. . 
Câu 40. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , đường chéo , tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa và đáy bằng . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. .	D. . 
Câu 41. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , ; cạnh bên vuông góc với đáy; mặt phẳng tạo với mặt đáy một góc . Tính thể tích của khối chóp .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 42. Cho tứ diện có , , . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính thể tích của khối tứ diện đã cho.
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 43. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho tứ diện có các cạnh và đôi một vuông góc với nhau; và Gọi tương ứng là trung điểm các cạnh Tính thể tích của tứ diện 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 44. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho tứ diện có thể tích bằng và là trọng tâm của tam giác . Tính thể tích của khối chóp .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 45. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối chóp đã cho. 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 46. Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân ở , , và vuông góc với đáy . Gọi là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng qua và song song với cắt , lần lượt tại , . Tính theo thể tích của khối chóp .
	A. .	B. . 	C. .	D. . 
Câu 47. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và ; là giao điểm của và . Biết vuông góc với mặt phẳng và . Tính thể tích khối chóp .
	A. .	B. . 	C. .	D. .
Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông tâm , cạnh . Mặt bên tạo với đáy góc . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Tính theo thể tích của khối tứ diện .
	A. .	B. . 	C. .	D. .
Câu 49*. Cho hình chóp có và . Tính thể tích của khối chóp 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 50. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và tổng diện tích hai tam giác và bằng Tính thể tích của khối chóp 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 51. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 52. Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng và tổng diện tích các mặt bên bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 53. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng có , đáy là tam giác vuông cân tại và . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 54. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác với , , , . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
	A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 55. Tính thể tích của khối lập phương biết 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo , biết .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 57. Cho hình hộp chữ nhật có , , . Tính theo thể tích khối hộp đã cho.
	A. . 	B. . 	C. .	D. . 
Câu 58. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng một đỉnh là Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đã cho.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội Thể tích của khối hộp chữ nhật là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 60. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại và . Cạnh tạo với mặt đáy góc . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật có , đường chéo hợp với mặt đáy một góc thỏa mãn . Tính theo thể tích khối hộp đã cho.
A. . 	B. . 	C. . 	D. .
Câu 62. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân với mặt phẳng tạo với đáy một góc Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 63. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân, và , góc giữa mặt phẳng và mặt đáy bằng . Tính theo thể tích khối lăng trụ.
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 64. Tính theo thể tích của khối hộp chữ nhật . Biết rằng mặt phẳng hợp với đáy một góc , hợp với đáy một góc và .
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 65. Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi cạnh bằng , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ.
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 66. Cho hình  ...  có (do là hình vuông).	
Lại có (do vuông góc với đáy ).	
Từ và , suy ra . Do đó tam giác vuông tại . 
D
C
B
A
S
Đặt cạnh hình vuông là .
Tam giác vuông tại nên
	 .
Theo chứng minh trên, ta có tam giác vuông tại nên 
Diện tích hình vuông là .
Vậy Chọn C.
Câu 19. Gọi lần lượt là trung điểm . Suy ra là trọng tâm tam giác . Theo giả thiết, ta có .
Tam giác vuông cân tại , suy ra và .
Ta có , suy ra 
Diện tích tam giác là .
Vậy Chọn C.
N
A
B
C
S
G
M

Câu 20. Gọi Do là hình chóp đều nên .
Suy ra là hình chiếu của trên .
Khi đó .
Tam giác vuông , có 
Diện tích hình vuông là 
Vậy Chọn A.
S
A
C
B
O
D
Câu 21. Trong tam giác vuông , ta có .
Vì nên hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là .
Do đó .
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình chữ nhật 
Vậy Chọn C.

Câu 22. Do nên ta có 
Tam giác vuông , có 
Diện tích tam giác đều là .
Vậy Chọn A.
C
B
A
S

Câu 23. Do nên ta có 
Tam giác vuông , có 
Diện tích hình thoi 
Vậy thể tích khối chop 
Chọn C.
B
S
A
C
D

Câu 24. Vì nên hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng đáy là . Do đó .
Tam giác vuông , có 
Tam giác vuông , có 
Diện tích hình vuông là . 
Vậy Chọn B.
H
B
D
C
A
S

Câu 25. S
A
C
B
O
D
Gọi là trung điểm , suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Theo giả thiết đỉnh cách đều các điểm nên hình chiếu của xuống đáy là điểm hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là . Do đó .
Tam giác vuông , có .
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình chữ nhật 
Vậy Chọn D.
Câu 26. Vì nên hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là . Do đó .
I
C
B
A
S
Tam giác vuông tại , suy ra trung tuyến .
Tam giác vuông , có .
Diện tích tam giác vuông 
Vậy Chọn D.
Câu 27. Vì nên hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là . Do đó .
Tam giác đều cạnh nên .
Tam giác vuông , có .
Diện tích tam giác đều là .
Vậy Chọn A.
H
C
B
A
S

Câu 28. Gọi là trung điểm . Do tam giác vuông tại nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đỉnh cách đều các điểm nên hình chiếu của trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , suy ra . Do đó .
Tam giác vuông , có 
Tam giác vuông , có 
Diện tích tam giác vuông .
Vậy Chọn C.
S
A
B
C
H

Câu 29. Vì nên hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là . Do đó .
Tam giác vuông , có 
.
Trong hình vuông , có .
Diện tích hình vuông là 
Vậy Chọn A.
O
H
S
A
C
D
B

Câu 30. Gọi ; là trung điểm . Suy ra .
Theo giả thiết nên hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là . Do đó 
Tam giác và đều cạnh , suy ra
S
A
C
D
B
O
H
M
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình thoi 
Vậy Chọn C.
Câu 31. Ta có .
H
D
C
B
A
S
Suy ra tam giác vuông cân tại nên .
Trong hình thang , kẻ .
Do là hình thang cân nên 
Tam giác , có 
Diện tích 
Vậy Chọn B.
Câu 32. Hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là nên 
H
S
D
C
B
A
	.
Tam giác vuông , có 
Suy ra , , , 
Diện tích hình chữ nhật là .
Vậy thể tích khối chop Chọn D.
Câu 33. Tam giác vuông tại , có là trung tuyến nên .
Gọi là trung điểm , suy ra nên .
Do đó .
N
M
S
D
C
B
A
Tam giác vuông , có .
Tam giác , có .
Suy ra nên . 
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy Chọn B.
Câu 34. A
B
C
D
S
 là hình vuông suy ra .	 
Vì 	 
Từ và , suy ra .
Khi đó là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Do đó 
Tam giác vuông tại , có 
Vậy thể tích khối chóp Chọn D.
Câu 35. Kẻ . Vì theo giao tuyến nên 
Ta có . Do đó .
Từ 
Tam giác vuông có .
Tam giác vuông , có 
.
Diện tích hình vuông là 
Vậy Chọn C.
H
S
D
C
B
A
Câu 36. Gọi lần lượt là trung điểm và.
Do là hình chóp đều nên .
Khi đó .
Tam giác vuông , có 
	.
Diện tích tam giác đều là .
Vậy Chọn A.
A
B
C
S
O
E
F

Câu 37. Ta có nên có
Do , suy ra .
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình vuông là .
Vậy thể tích khối chóp 
Chọn D.
D
S
A
B
C

Câu 38. Ta có nên có
Do , suy ra .
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình chữ nhật là 
Vậy thể tích khối chóp 
Chọn C.
C
B
A
S
D

Câu 39. Vì .	
Gọi , suy ra .	
O
D
S
A
B
C
Từ và , suy ra .
Do , suy ra 
	.
Tam giác vuông , ta có .
Diện tích hình vuông là .
Vậy Chọn C.
Câu 40. Gọi là trung điểm , suy ra . 
Mà theo giao tuyến nên .
H
D
C
B
A
S
Tam giác đều cạnh nên 
Ta có suy ra 
	.
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình thoi là .
Vậy thể tích khối chóp Chọn A.
Câu 41. Gọi là trung điểm , suy ra .
Do đó tam giác vuông tại . Suy ra nên 
I
B
S
A
C
D
.
Ta có .
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình thang .
Vậy thể tích khối chóp 
Chọn C.
Câu 42. K
H
C
B
A
D
Kẻ . Ta có 
Gọi là chân đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh . 
Xét tam giác vuông , ta có 
Vậy thể tích khối tứ diện Chọn D.
Câu 43. P
N
M
D
A
B
C
Do và đôi một vuông góc với nhau nên
Dễ thấy .
Suy ra . Chọn D.
Câu 44. Vì là trọng tâm của tam giác nên .
Suy ra Chọn B.
Câu 45. Gọi là hình chiếu của trên 
Ta có 
Suy ra 
Tam giác vuông tại , có 
Vậy Chọn D.
H
D
S
A
B
C

Câu 46. Từ giả thiết suy ra .
S
A
B
C
M
N
I
G
Diện tích tam giác . Do đó .
Gọi là trung điểm . 
Do là trọng tâm nên .
Vì song song với giao tuyến 
 theo tỉ số 
Vậy thể tích khối chóp 
Chọn A.
Nhận xét. 1) bạn đọc có thể tham khảo cách giải khác bằng tỉ số thể tích ở Bài ???
2) Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số thì tỉ số thể tích bằng 
Câu 47. Theo giả thiết, ta có .
Diện tích tứ giác 
Vậy Chọn B.
N
M
C
B
A
S
D
H

Câu 48. Gọi là trung điểm , suy ra nên 
M
O
D
C
B
A
S
K
H
	.
Tam giác vuông , có .
Kẻ nên .
Tam giác vuông , ta có 
Diện tích tam giác .
Vậy Chọn C.
Câu 49*. M
C
B
A
S
Gọi là trung điểm của 	 
Ta có đều
Tam giác , có 
Tam giác , có 
Tam giác , có 
Ta có vuông tại . 	
Từ và , ta có 
Diện tích tam giác 
Vậy thể tích khối chop Chọn D.
Cách 2. (Dùng phương pháp tỉ số thể tích-Bạn đọc sẽ hiểu rõ hơn vấn đề này ở Bài ??? đến Bài ???).
Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Dễ dàng suy ra 
I
2a
a
a
a
D
C
B
A
S
Lại có nên hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm của .
Ta tính được và 
Suy ra 
Ta có 
Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. Cho hình chóp có và Khi đó ta có: 
Áp dụng công thức, ta được 
Câu 50. Gọi lần lượt là trung điểm của và 
H
N
M
D
S
A
B
C
Tam giác cân tại suy ra với 
Vì suy ra và 
Kẻ 
Ta có 
Tam giác vuông tại nên 
Giải hệ 
Vậy thể tích khối chóp Chọn C.
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 51. Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 
Diện tích tam giác đều cạnh là 
Chiều cao của lăng trụ 
Vậy thể tích khối lăng trụ là 
Chọn D.
C'
B'
A'
C
B
A

Câu 52. Xét khối lăng trụ có đáy là tam giác đều và 
Diện tích xung quanh lăng trụ là 
Diện tích tam giác là 
Vậy thể tích khối lăng trụ là 
Chọn D.
C'
B'
A'
C
B
A

Câu 53. Tam giác vuông cân tại ,
suy ra 
Vậy thể tích khối lăng trụ 
Chọn C.
A
B
C
A'
B'
C'

Câu 54. Diện tích tam giác là .
Vậy thể tích khối lăng trụ Chọn B.
Câu 55. Đặt cạnh của khối lập phương là 
Suy ra .
Tam giác vuông , có 
Vậy thể tích khối lập phương Chọn A.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'

Câu 56. Do là lăng trụ đứng nên .
Xét tam giác vuông , ta có .
Diện tích hình vuông là .
Vậy Chọn B.
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A

Câu 57. Trong tam giác vuông , có .
Diện tích hình chữ nhật là .
Vậy Chọn D.
Câu 58. A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
Xét hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật. 
Theo bài ra, ta có 
Nhân vế theo vế, ta được 
Vậy Chọn A.
Câu 59. Xét hình hộp chữ nhật có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là và có đường chéo 
Theo bài ra, ta có lập thành cấp số nhân có công bội . Suy ra 
Mặt khác, độ dài đường chéo 
Ta có hệ 
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật Chọn A.
Câu 60. Vì là lăng trụ đứng nên , suy ra hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là .
Do đó .
Tam giác vuông , ta có 
Diện tích tam giác là 
Vậy Chọn C.
C'
B'
A'
C
B
A

Câu 61. Ta có nên 
.
Tam giác vuông , ta có .
Tam giác vuông , ta có .
Diện tích hình chữ nhật là .
Vậy Chọn A.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'

Câu 62. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng Tam giác cân tại tam giác cân tại 
Lại có . Từ đó suy ra 
Do đó 
Tam giác vuông , có
Tam giác vuông , có
Diện tích tam giác 
Vậy Chọn A.
M
A
B
A'
C'
C
B'
Câu 63. Tương tự như bài 62. Chọn B.
Câu 64. Ta có 
.
Tam giác vuông , có .
Tam giác vuông , có .
Tam giác vuông ,có .
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy Chọn A.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'

Câu 65. Hình thoi có , suy ra . Do đó tam giác và là các tam giác đều. Gọi là trung điểm nên 
Suy ra .
Tam giác vuông , có 
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình thoi .
Vậy Chọn C.
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
N
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ XIÊN
Câu 66. Gọi là tâm của hình vuông ,
suy ra .
Tam giác vuông , có 
.
Diện tích hình vuông .
Vậy Chọn D.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
O

Câu 67. Theo giả thiết, ta có .
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình vuông .
Vậy Chọn B.
H
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A

Câu 68. Từ giả thiết suy ra 
Tam giác vuông , có 
Diện tích tam giác là 
Vậy Chọn C.
H
C'
B'
A'
C
B
A

Câu 69. Diện tích tam giác đều . Chiều cao khối lăng trụ . 
Vậy thể tích khối lăng trụ Chọn A.
Câu 70. N
M
G
C'
B'
A'
C
B
A
Gọi lần lượt là trung điểm .
Khi đó là trọng tâm 
Theo giả thiết, ta có .
Tam giác đều cạnh nên suy ra 
Tam giác vuông , có 
Diện tích tam giác là 
Vậy thể tích khối lăng trụ Chọn D.
Câu 71. Gọi là trung điểm . Từ , suy ra hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Suy ra .
Tam giác , có 
Tam giác vuông , có .
Diện tích tam giác là .
Vậy Chọn C.
I
C
B
A
C'
B'
A'

Câu 72. Gọi là chân đường cao hạ từ trong . 
A
B
C
A'
B'
C'
H
Theo giả thiết, ta có 
Tam giác vuông , có
	; .
Tam giác vuông , có .
Diện tích tam giác là 
Vậy Chọn A.
Câu 73. Ta có thể tích khối chóp 
Suy ra Chọn D.
Câu 74. Gọi là diện tích mặt đáy và là chiều cao khối hộp.
Thể tích khối hộp 
Chia khối hộp thành khối tứ diện và khối chóp: , (như hình vẽ). Ta thấy bốn khối chóp này có thể tích bằng nhau và cùng bằng Suy ra tổng thể tích khối chóp bằng 

Vậy thể tích khối tứ diện Chọn C.
Câu 75. Vì nên 
.
Đường chéo hình chữ nhật 
.
Suy ra tam giác vuông cân tại nên 
.
Diện tích hình chữ nhật .
Vậy Chọn D.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
O

Câu 76. Tam giác đều cạnh bằng nên . Vì nên hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là Do đó . Suy ra tam giác vuông cân tại nên .
Diện tích tam giác đều là .
Vậy Chọn A.
A
B
C
A'
B'
C'
H

H
A'
B'
C'
B
C
A
Câu 77. Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Suy ra là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Do đó 
Tam giác vuông , có 
Thể tích khối lăng trụ 
Suy ra thể tích cần tính Chọn D.
Câu 78. Xét khối lăng trụ có đáy là tam giác 
Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng Suy ra là hình chiếu của trên mặt phẳng Do đó 
Tam giác vuông tại , có 
Vậy Chọn B.
A
C
B
C'
B'
A'
H

Câu 79. Từ giả thiết suy ra tam giác đều cạnh .
B'
O
A
B
C
D
A'
C'
D'
H
Gọi là tâm tam giác . Vì cách đều các điểm nên .
Do đó .
Ta có 
Tam giác vuông , có .
Diện tích hình thoi .
Vậy Chọn C.
Câu 80. O
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Từ giả thiết, suy ra tam giác đều cạnh 
Vì nên 
Tam giác vuông , có 
Suy ra thể tích khối hộp 
Ta có 
 Chọn C.