Bài tập tổng hợp về Vecto

Đại cương về vectơ
1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành 
2.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác 
a)Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O. Chứng minh rằng BD = HC
b)Gọi K là trung điểm của AH và I là trung điểm của BC,chứng minh
 OK = IH
3.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Đường chéo BD lần lượt cắt AF và CE tại M và N. chứng minh rằng :
DM = MN = NB
4.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB
Chứng minh rằng GE = 0 
5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là giao điểm của AO và BC.Trên đường trung trực của đoạn AH lấy 1 điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O). Chứng minh rằng : |MA| = | MF | 
Các phép toán vectơ
1.Rút gọn các biểu thức sau:
a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD 
b)+ – + + + 
c) + + – + – + 
2. Chứng minh rằng 
a) + = + 
b) + = + 
c) + + = + 
d) + + = + + = + + 
e) + + + = + + 
3.Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý . Chứng minh rằng :
 + = + 
4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài của tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ ,BCPQ ,CARS. Chứng minh rằng : + + = 
5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC. Gọi N là giao điểm của AM và BE.Tính tổng
 + + + 
6.Cho tam giác đều ABC cạnh a.Tính độ dài của các vectơ + ,
 + , – 
7.Cho hai vectơ và ¹ .Tìm điều kiện của và để:
a) = + b) = 
8.Cho 3 điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ + nằm trên đường phân giác của góc AOB
9. Chứng minh rằng : = Û trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau 
10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành cắt AB và DC tại M và N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng :
a) + = + 
b) = + 
11.Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O
a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho:
 = + ; = + ; = + 
b)Chứng minh rằng + + = 
12.Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với một điểm O bất kỳ ta có : + + = + + 
13.Cho n điểm trên mặt phẳng .Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, , An. Bạn Bình ký hiệu chúng là B1, B2, , Bn. 
 Chứng minh rằng : ++...+= 
14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD
a)Chứng minh rằng + = 2
b)Xác định điểm M sao cho + + 2= 
c)Xác định điểm N sao cho +++= 
15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm của AA’,BB’ ,CC’ ,DD’. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành 
16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn:
 = 
17.Cho tam giác ABC
a)Xác định điểm I sao cho : + 2 = 
b)Xác định điểm K sao cho : + 2 = 
18.Cho tam giác ABC
a)Tìm điểm M thoả mãn : – + = 
b)Tìm điểm N thoả mãn : = + + 
c)Tìm điểm K thoả mãn :+ + + = 
d)Tìm điểm M thoả mãn :+ – 2 = 
e)Tìm điểm N thoả mãn :+ + 2 = 
f)Tìm điểm P thoả mãn : – + 2 = 
19.Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M thoả mãn:
 4= + + 
20.Cho lục giác ABCDEF .Tìm điểm O thoả mãn :
 +++ ++ = 
21.Cho tam giác ABC
a)Xác định các điểm D,E thoả mãn: 4 – = ; + 2= 
b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4 – | = |+ 2|
22.Cho hai điểm phân biệt A,B
a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả:
 2 + 3 = ; – 2 + = ; – 3 = 
b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh rằng :
 = + ; = 2– ;= – + 
23.Cho tam giác ABC,xác định các điểm G,P,Q,R,S sao cho
 + + = ;2+ + = ;+ 3+ 2 = 
 – + = ; 5– 2– = 
24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng + = + 
25.Cho lục giác đều ABCDEF , M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng 
 + + = + + 
26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm BC, CA ,AB
Chứng minh rằng : + + = 
27.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của MP và NQ
Chứng minh rằng : IJ // AE và IJ = AE 
28.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’
a)Chứng minh rằng : + + = 3
b)Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm
29.Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm
30.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh rằng :
a) + + = 
b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
31.Cho tam giác ABC. Gọi M ,N ,P là các điểm được xác định như sau:
 = 3 ; = 3 ; = 3
a)Chứng minh rằng : 2 = 3 – "O
b)Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
32.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC
Chứng minh rằng : = + 
33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AB = 5AK
a)Tính các vectơ ,,,theo hai vectơ và 
b)Chứng minh rằng 3 điểm C,I ,K thẳng hàng
34.Cho 3 điểm phân biệt A, B, C. 
a)Chứng minh rằng nếu có một điểm I và một số t sao cho 
= t+ (1 – t) thì " điểm M ta đều có : = t+ (1 – t)
b)Chứng minh rằng : = t+ (1 – t) Û A, B, C thẳng hàng
35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A B cố định. Chứng minh rằng điểm M Îd Û có số a sao cho: = a+ (1 – a)
Với điều kiện nào của a thì M Î đoạn thẳng AB
36.Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số m, n, p ¹ 1. Chứng minh rằng :
a)M, N, P thẳng hàng Û m.n.p = 1 (định lý Mênêlauýt)
b)AN, CM, BP đồng qui hoặc song song Û m.n.p = – 1(định lý Xêva)
37.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN
a)Chứng minh rằng : = + 
b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh rằng : = + 
38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng vectơ
 = – 3+ 2 không phụ thuộc vào vị trí điểm M
39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P sao cho
BM = MC , CN = NA , AP = BP
a)Chứng minh rằng : = (2+ ) ; = (2+ )
 = (2+ )
b)Chứng minh rằng : + + = 
40*.Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng 
	 + + + + = 
41*.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC ,CA ,AB .Đặt = ; = .Tính các vectơ ; ; theo các vectơ và 
42* Cho tam giác ABC .Đặt = ;= . Lấy các điểm A’ và B’ sao cho = m ; = n. Gọi I là giao điểm của A’B và B’A. Hãy tính vectơ theo hai vectơ và 
43*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b
a)Gọi CM là đường phân giác trong của góc C. Hãy tính vectơ theo các vectơ và 
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :
	a + b+ c= 
44*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG//AC. Chứng minh rằng = . Suy ra hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau 
45*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD. Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm M nằm trên cạnh AD thì sẽ tìm được một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB
46*.Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B. Gọi M = AA’BB’;
N = AA’CC’; P = BB’CC’
a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’
b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP
47*.Cho tam giác đều ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên trong của tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của M xuống 3 cạnh . Chứng minh rằng :
	 + + = 
48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M
b)Dựng điểm D sao cho = ,CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng 
 + 2 = và = 3 
49*.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác , gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm O
Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành 
Chứng minh rằng + + = 2
 và + + = 
c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng = 3
Kết luận gì về ba điểm O, H ,G
50*.Trong đường tròn (O) cho 3 dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 . Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng
51*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định bởi :
	 = + 3
Chứng minh rằng đường thẳng MP đi qua một điểm cố định
52*.Cho tam giác ABC .Gọi M ,N ,P là những điểm xác định bởi:
 = k ; = k ; = k (k ¹ 1)
a)Vẽ các điểm M,N,P khi k = 3
b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh rằng : (k – 1) = k – với O là một điểm tuỳ ý 
c)Chứng minh rằng " k ¹ 1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
53*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định bởi + k = ; + k = (k ¹ – 1).Gọi O là trung điểm MN
a)Chứng minh rằng : = ( + ) và = ( + )
b)Từ đó chứng minh : + k = .Kết luận gì về ba điểm O , I , J ?
c)Gọi P và Q là hai điểm xác định bởi + k = và + k =
Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn PQ
54.Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ 
= + + 2có độ dài nhỏ nhất 
55*.Cho tứ giác ABCD. Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N sao cho 
= kvà = k.Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN 
56.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh rằng :
a) + + = b) = (+ )
57.Cho ba vectơ ;; có độ dài bằng nhau và 
+ + = .Tính các góc AOB ;BOC ;COA
58.Gọi G,G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’
a)Chứng minh rằng : + + = 3
b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: = , = , = 
Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm
59.Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là các điểm chia các đoạn thẳng AB,BC,CA theo cùng một tỉ số k ¹ 1 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2+ 3 = 
và + 3 = . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
61.Cho tam giác ABC và 3 vectơ cố định ;;. Với mỗi số t Î R,lấy các điểm A’, B’ ,C’ sao cho = t, = t, = t.Tìm quĩ tích trọng tâm G của tam giác A’B’C’ khi t thay đổi
62.Cho tam giác ABC và một điểm O bất kỳ. Chứng minh rằng "điểm M ta luôn luôn tìm được 3 số a, b, g sao cho: a + b + g = 1 và 
= a+ b+ g.Nếu điểm M trùng với trọng tâm của tam giác ABC thì các số a, b, g bằng bao nhiêu?
63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G . Gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ 
Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác G1G2G3
64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng của trọng tâm G qua B. Phân tích theo và 
65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi:
= 2 ; 5 = 2
a)Tính và theo và 
b)Chứng minh rằng 3 điểm D,E,G thẳng hàng
 c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định bởi = x
Tính ; theo ; và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng
66. Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và K là các điểm đối xứng với A qua B
 a)Chứng minh rằng: 3= 5 – 
b)Chứng minh rằng: 3 = 5 + 2
 c)Gọi M là điểm xác định bởi = x xác định x để H,K,M thẳng hàng
67.Cho tam giác ABC. M là điểm sao cho = 3 ,N là điểm sao cho = 3, L là điểm sao cho = x . Xác định x để M,N,L thẳng hàng
68.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn = – 2 và N là điểm thỏa = x – 
a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng
b)Xác định x để MN đi qua trung điểm I của BC.Tính tỉ số 
69.Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI = CA, J là điểm thỏa
 = – 
a)Chứng minh rằng : =  ...  hướng không?
a) = (2;3) , = (– 10;– 15) b) = (2;3) , = (– 10;– 15)
c) = (0;7) , = (0;8) d) = (– 2;1) , = (– 6;3) 
e) = (0;5) , = (3;0)
6.Cho các vectơ = (3;1) , = (2;1) = (4;1)
Tìm các số x,y sao cho x.+ y. + 7 = 
7.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2).
a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
b)Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm tam giác ABD
c) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành 
8.Cho 3 điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1)
a)Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành 
b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Chứng minh rằng ACBE là hình bình hành
9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng tâm G nằm trên trục Ox. Tìm toạ độ đỉnh C
10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm của BC là D(– 1;– 1), trung điểm cạnh AC là E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C
11.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để 3 điểm A,B,M thẳng hàng
12.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng
13.Cho 3 điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4). Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng
14.Cho 4 điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 
15.Cho 4 điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5). Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 
16.Cho các điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3)
a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác 
b)Tìm tọa độ điểm D sao cho = – 3 + 
c)Tìm tọa độ điểm E sao cho O là trọng tâm của tam giác ABE
17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB lần lượt có trung điểm là M(– 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2)
a)Tìm tọa độ các đỉnh A ,B ,C
b)Chứng minh rằng: các tam giác ABC và MNP có trọng tâm trùng nhau
Đề kiểm tra
Đề 1(CB)
1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính các vectơ sau:
a) + + + b) + + c) – 
2.Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,BC ,CD ,DA. Chứng minh rằng:
a) = b = + 
3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB ,BC ,CA. Chứng minh rằng: + + = 
4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng không: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5)
Đề 2(CB)
1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O
a) Chứng minh rằng: = 
b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: + = + 0 
2.Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm của BC ,K là trung điểm của BI
Chứng minh rằng: = + 
3.Cho tam giác đều ABC cá cạnh bằng 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB song song với Ox,A là điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A và B
Đề 3 (NC)
1. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A. Chứng minh rằng :
a) + = 
b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2). Đường thẳng đi qua hai điểm A và B cắt trục Ox tại M và cắt trục Oy tại N.Tính diện tích tam giác OMN
Đề 4(NC)
1.Cho tam giác OAB.Đặt = , = .Gọi C ,D ,E là các điểm sao cho = 2 , = ; = 
a)Hãy biểu thị các vectơ ,, qua các vectơ và 
b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng
2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A Î Ox và điểm B Î Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB
Tích vô hướng
1.Cho hai vectơ và. Chứng minh rằng :
.= = = 
2.Cho hai vectơ , có = 5 , = 12 và = 13.Tính tích vô hướng .( + ) và suy ra góc giữa hai vectơ và + 
3.Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi H là trung điểm BC,tính 
a) . b). c) .
4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính:
a). b). c) .
5. Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o ,tính .
6. Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o 
a)tính . b) Gọi M là trung điểm AC tính .
7. Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8 
a)Tính . rồi suy ra giá trị góc A
b)Tính .
c)Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = CA .Tính .
8.Cho hai vectơ và thỏa mãn || = 3 , || = 5 và (,) = 120o
Với giá trị nào của m thì hai vectơ + m và – mvuông góc nhau
9. Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60o .Trên tia AC lấy điểm M và đặt = k.Tìm k để BM vuông góc với trung tuyến AD của tam giác ABC
10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN vuông góc nhau . Tính cosA
11. Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11
a)Tính .
b)Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 4.Tính .
12.Cho O là trung điểm AB,M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng :
. = OM2 – OA2 
13.Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính .
và .
14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh rằng :
a) . = IA2 – IB2
b) . = (AB2 + AC2 – BC2)
c) . = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2)
15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng :
	MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
16.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi G là trọng tâm,hãy tính:
a) . b). c) . + . + . 
d) Chứng minh rằng : . + . + . = – (a2 + b2 + c2)
e)Tính AG theo a ,b ,c 
17.Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng :
	. + . + .= 0
18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên (O) và I = AM∩BN. Chứng minh rằng :
a) . = .
b) . = .
c) . + .= 4R2 
19.Cho 4 điểm A,B,C,D tuỳ ý
a) Chứng minh rằng : .+ .+ .= 0
b)Từ đó chứng minh rằng trong một tam giác,ba đường cao đồng qui
20.Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC,và D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM ^BD
21.Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và CD. Chứng minh rằng : AN ^ DM
22.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AK và DC . Chứng minh rằng : BM ^ MN
23.Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện giữa a ,b ,h để
a) AC ^ BD b) IA ^ IB với I là trung điểm CD 
24.Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o . Gọi L là chân đường phân giác trong của góc A
a)Tính .
b)Tính theo và Þ độ dài của AL
c)M là điểm trên cạnh AC sao cho AM = x. Tìm x để AL ^ BM
25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120o
a) Tính BC và .
b)Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính theo và ,x
c)Tìm x để AN ^ BM
26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: 
 AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2.
27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm của BC
Chứng minh rằng : . = BC2 
28.Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H ,K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng HK ^ IJ
28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuông góc nhau tại S. Gọi M là trung điểm của AB. chứng minh rằng: SM ^ A’B’
29.Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích những điểm M thoả mãn : 
a) . = .
b) MA2 + . + . = 0
c) MA2 = .
d) (+ ).(+ ) = 0
e) ( – ).(2 – ) = 0
30.Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng D, H là hình chiếu của A trên D.Với mỗi điểm M trên D, ta lấy điểm N trên tia AM sao cho . = AH2. Tìm quĩ tích các điểm N
31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,gọi P là trung điểm đoạn thẳng AD. 
Chứng minh rằng MP ^ BC Û .= .
32*. Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng:
 (.) + (.) +(.) = 
33.Cho hình vuông ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM = 
N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân
34.Cho AA’ là một dây cung của đường tròn (O) và M là một điểm nằm trên dây cung đó. Chứng minh rằng 2.= MA(MA – MA’) 
35.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các góc AMB ,BMC ,CMA đều bằng 120o .Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) lần lượt tại A’ ,B’ ,C’. Chứng minh rằng: 
MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’
36*.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB
a)Xác định trên đường thẳng AC một điểm N sao cho tam giác MDN vuông tại D.Tính diện tích tam giác đó.
b)Xác định trên đường thẳng AC một điểm P sao cho tam giác MPD vuông tại M.Tính diện tích tam giác đó.
c) Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD
37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh rằng :
a) + = +
b) . = .
c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 
d) MA2 + . = 2.
38.Cho tam giác ABC và các hình vuông ABED, ACHI ,BCGH
 Chứng minh rằng : 
a) (+ ).= 0 
b) (+ + ).= 0
c) + + = 
d) + + = 
39.Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB sao cho BN = 2AN
 a) Tính vectơ vàtheo hai vectơ và
b)Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c sao cho AM ^ CN 
40.a)Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm (O,R). M là một điểm tuỳ ý trên đường tròn . Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2
 b) Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh
41*.Cho lục giác đều A1A2A6 nội tiếp trong đường tròn (O,R) và một điểm M thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng :
a) cos + cos + + cos= 0
b) MA12 + MA22+ + MA62 là một hằng số ( = 12R2)
42*.Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) ,M là một điểm bất kỳ trên đường tròn 
a)Chứng minh rằng : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 
b)Chứng minh rằng : MA2 + 2. = 3R2 
c)Suy ra nếu M ở trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC
43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = 6 ,AC = 8 , gọi M là trung điểm BC
a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác trong của góc A
44*. Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng:
 (.)+ (.)+ (.) = 
45.Cho tam giác ABC có AB = AC = 5 , góc BAC = 120o nội tiếp trong đường tròn tâm I. Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm của tam giác ADC
a)Tính .
b)AH là đường cao của tam giác ABC.Tính theo và 
c)Chứng minh rằng IE ^ CD
46.Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M ,N ,P ,Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, BC và AD. Đặt = , = , = 
a)Chứng minh rằng : = ( + – ) ; = ( + – )
b)Chứng minh rằng :nếu MN = PQ thì AB ^ CD.Điều ngược lại có đúng không?
47.Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a ,b ,c. Gọi D là trung điểm AB và I là điểm thỏa + 3 – 2 = 
a)Chứng minh rằng BCDI là hình bình hành 
b)Tính . theo a ,b ,c
c)M là một điểm tùy ý, chứng minh rằng :
 MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2
d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí của M để biểu thức 
 MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ nhất 
48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý
a)Chứng minh rằng vectơ = + 2 – 3 không phụ thuộc vị trí điểm M
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, chứng minh rằng :
 2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2.
c)Tìm quĩ tích điểm M sao cho 2MA2 + MB2 = 3MC2
49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1)
Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân tại A
50 .Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1)
a)Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành 
b)Kẻ đường cao AH .Tìm tọa độ chân đường cao H
51.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân
52.Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0)
a)Chứng minh rằng: 3 điểm A ,B ,C tạo thành một tam giác 
b)Tính góc B của tam giác ABC
53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trên trục hoành.Tìm giá trị nhỏ nhất của 
54.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn 
55.Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5). Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn